Soluções Astronomia - Semana 81

(INICIANTE)

a) A figura a seguir representa a situação limite em que a luz solar começa a chegar ao fundo do balde.

Tomando o centro do Sol como o ponto em que sua altura é medida, a maior distância zenital para a situação ocorrer é $z_{max} = \theta + D/2$.
O ângulo $\theta$ descrito na imagem é o maior ângulo para o qual os raios (paralelos) do Sol conseguem atingir o fundo do balde sem serem bloqueados pela sua parede, e tem o valor de $\theta = \arctan (\frac{D}{h})=30^{\circ} 58'$. Assim, a altura mínima para a situação ocorrer deve ser de: $a_{min} = 90 - z_{max} = 59^{\circ} 47'$.

b) Durante o equinócio, o Sol se encontra sobre o equador celeste, e então vale a relação: $\cos(z_{max})=\cos(\phi) \cos(H)$, o que implica em um ângulo horário de $H = 1h37m$. Então, o tempo que o baldinho terá seu fundo iluminado é de $2H = 3h15m$.

(INTERMEDIÁRIO)

a) A energia luminosa que a vela recebe por unidade de tempo, vale

$\dfrac{\Delta E}{\Delta t}=f\cdot A=\dfrac{L}{4\pi r^2}\cdot A$

Sabe-se também que a energia de um fóton obedece a relação $E=c\cdot p_f$.
Finalmente, utilizando a definição de força $F=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}$, é possível estabelecer que

$\vec{F}=\dfrac{E/c-(-E/c)}{\Delta t}A \hat{r}=\dfrac{2A}{c}\dfrac{L_{Sol}}{4\pi r^2} \hat{r}$

O fator de 2 surge do fato de que, após a colisão, o fóton é refletido, e então, por conservação de momento, $\Delta p = 2p_f$

b) Sim, o momento angular é de fato conservado, pois a força exercida pela radiação, assim como a gravitacional, é sempre radial. Isso pode ser provado mais formalmente da seguinte forma:

$\vec{L}=m(\vec{r}\times \vec{v})$
$\dfrac{d \vec{L}}{dt}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p}+\vec{r}\times\dfrac{d\vec{p}}{dt}$

$\dfrac{d \vec{L}}{dt}=\vec{v}\times\vec{p}+\vec{r}\times \vec{F}$

Como $\vec{p}$ possui a mesma direção de $\vec{v}$,$\vec{v}\times \vec{p}=0$, e sendo $\vec{F}$ uma força radial, $\vec{r}\times \vec{F}=0$. Assim, $\dfrac{d\vec{L}}{dt}=0$, então $\vec{L}$ de fato conserva.

c) A força exercida pela radiação tem um comportamento similar à gravitacional, com a diferença sendo o seu sentido. Então, o potencial associado deve ser da forma $U=\dfrac{L_{Sol}A}{c4\pi r}$, assim, por conservação de energia:

$\dfrac{mv_{r,0}^2}{2}+\dfrac{L^2}{2mr_0^2}-\dfrac{mMG}{r_0}+\dfrac{L_{Sol}A}{c4\pi r_0}=\dfrac{mv_{r}^2}{2}+\dfrac{L^2}{2mr_{\infty}^2}-\dfrac{mMG}{r_{\infty}}+\dfrac{L_{Sol}A}{c4\pi r_{\infty}}$

$m\omega_0^2r_0-\dfrac{mMG}{r_0}+\dfrac{L_{Sol}A}{c4\pi r_0}=\dfrac{mv_{r}^2}{2}$

$-\dfrac{mMG}{2r_0}+\dfrac{L_{Sol}A}{c4\pi r_0} = \dfrac{mv_{r}^2}{2}$

$v_r=\sqrt{\dfrac{L_{Sol}A}{mc2\pi r_0}-\dfrac{MG}{r_0}}=15,5km/s$

(AVANÇADO)

a) A área do buraco negro assumirá a relação:

$A\varpropto G^{\alpha}c^{\beta}M^{\gamma} \Rightarrow [A]=[G]^{\alpha}[c]^{\beta}[M]^{\gamma}$

Em termos das unidades:

$L^2=\left(\dfrac{L^3}{MT^2}\right)^{\alpha}\left(\dfrac{L}{T}\right)^{\beta}M^{\gamma}$

Equação com respeito a L: $3\alpha+\beta=2$
Equação com respeito a T: $-2\alpha-\beta=0$
Equação com respeito a M: $-\alpha+\gamma=0$
Resolvendo o sistema, obtém-se $\alpha=2$, $\beta=-4$ e $\gamma=2$
Assim:

$A \varpropto \dfrac{G^2M^2}{c^4}$

O que vai de acordo com a área calculada através do raio de Schwarzchild:

$A=4\pi R_s^2=\dfrac{16\pi G^2M^2}{c^4}$

Mas que não será usada na resolução.
Quanto a entropia, esta assume dimensões de $\dfrac{[Q]}{[T]}=\dfrac{ML^2}{\theta T^2}$, sendo $\theta$ uma unidade de temperatura. De forma similar à área:

$S \varpropto (G^{\alpha}c^{\beta}\hbar^{\gamma}k_B^{\delta})A$

$\dfrac{ML^2}{\theta T^2}=\left(\dfrac{L^3}{MT^2}\right)^{\alpha}\left(\dfrac{L}{T}\right)^{\beta}\left(\dfrac{ML^2}{T}\right)^{\gamma}\left(\dfrac{ML^2}{\theta T^2}\right)^{\delta}L^2$

Equação com respeito a L: $3\alpha+\beta+2\gamma+2\delta=0$
Equação com respeito a T: $-2\alpha-\beta-\gamma-2\delta=-2$
Equação com respeito a M: $-\alpha+\gamma+\delta=1$
Equação com respeito a $\theta$: $-\delta=-1$
Resolvendo o sistema, obtém-se $\alpha=-1$, $\beta=3$, $\gamma=-1$ e $\delta=1$
Assim:

$S \varpropto \left(\dfrac{k_Bc^3}{G\hbar}\right)A \varpropto \left(\dfrac{k_Bc^3}{G\hbar}\right)\left(\dfrac{G^2M^2}{c^4}\right)$

O que vai de acordo com o resultado obtido por Hawking $S=\dfrac{k_Bc^3}{4G\hbar}A$

b) Por rigor, vamos estabelecer uma constante adimensional $K$ na expressão da entropia para que a proporcionalidade seja na prática uma igualdade.

$S=K\cdot \left(\dfrac{k_Bc^3}{G\hbar}\right)\left(\dfrac{G^2M^2}{c^4}\right)=K\cdot \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)M^2$

$S+\Delta S=K\cdot \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)(M+\Delta M)^2=K\cdot \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)M^2\left(1+\dfrac{\Delta M}{M}\right)^2$

$S+\Delta S=K\cdot \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)M^2 + K\cdot \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)2M\Delta M$

$\Delta S=K\cdot \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)2M\Delta M$

$\Delta S \varpropto \left(\dfrac{k_BG}{\hbar c}\right)M\Delta M$

 

c) Da equação $E = mc^2$, se estabelece que $\Delta U = c^2\Delta M$. E de acordo com a primeira lei da termodinâmica ($\Delta U = T\Delta S + W$):

$c^2\Delta M=T\Delta S$

d) Relacionando as duas equações, obtém-se:

$\dfrac{T}{c^2}=\dfrac{\Delta M}{\Delta S} \varpropto \left(\dfrac{\hbar c}{k_BG}\right)\dfrac{1}{M}$

$T \varpropto \dfrac{\hbar c^3}{k_BGM}$

$T = \eta \dfrac{\hbar c^3}{k_BGM}$

O que também vai de acordo com o resultado obtido por Hawking $T = \eta \dfrac{\hbar c^3}{8\pi Gk_BM}$

e) Substituindo os dados experimentais na equação da temperatura, obtém-se que:

$\eta= \dfrac{TMGk_B}{\hbar c^3}=0,04\approx \dfrac{1}{8\pi}$

Para o caso de Sagittarius A:

$T_S = \eta \dfrac{\hbar c^3}{k_BGM}=1,54\cdot10^{-14}K$