Soluções Astronomia - Semana 85

Iniciante

Em Busca do Círculo

Representando o vetor velocidade no hodógrafo para dois instantes separados por um intervalo de tempo $\Delta t$ muito pequeno:

Como o hodógrafo possui raio $v$, temos, a partir do triângulo formado ($\Delta \theta << 1$):

$$\Delta v = 2v\sin{\dfrac{\Delta\theta}{2}} \approx v\Delta \theta$$

Como $\Delta \vec{v}$ é aproximadamente perpendicular a $\vec{v}$, concluímos que a aceleração se dá na direção radial, como esperado (a velocidade é tangencial na órbita real). Ainda, sabemos que $\Delta \theta/\Delta t=v/R$. Assim,

$$a_{cp}=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=v\dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}=\boxed{\dfrac{v^2}{R}}$$

 

Intermediário

Encontrando o Círculo

a) Da segunda lei de Newton:

$$-\dfrac{GMm}{r^2}\hat{r}=m\dfrac{d\vec{v}}{dt}$$

Utilizaremos a definição de momento angular para nos livrar da dependência temporal da equação acima:

$$L=mr^2\dfrac{d\theta}{dt}\Rightarrow dt=\dfrac{r^2}{h}d\theta$$

$$-\dfrac{\mu}{r^2}\hat{r}=\dfrac{h}{r^2}\dfrac{d\vec{v}}{d\theta}$$

$$\dfrac{d\vec{v}}{d\theta}=-\dfrac{\mu}{h}\hat{r}$$

Precisamos provar que tal equação realmente descreve um círculo e encontrar o seu raio. Perceba que, dada uma variação infinetesimal $d\theta$ da anomalia verdadeira, $d\vec{v}$ possui módulo constante igual a $\mu d\theta/h$, e aponta na direção $-\hat{r}$. Isso é idêntico ao problema anterior, com $\mu/h$ correspondendo ao raio do hodógrafo e $-\hat{r}$ à sua direção tangencial; porém, agora, o módulo da velocidade pode variar ao longo da órbita. Para conciliar isso com o formato circular da curva descrita por esse vetor, devemos ter que a origem do espaço de velocidades não corresponde necessariamente ao centro do hodógrafo e que $\theta$ é  medido a partir de uma dada direção em relação a esse centro. Assim, um círculo como o desenhado abaixo obedece a todas as restrições da equação acima e de uma órbita kepleriana arbitrária, devendo corresponder à solução do problema.

b) A maior velocidade ocorre no periastro e a menor ocorre no apoastro. Isso nos permite desenhar:

O raio é dado por

$$\boxed{\dfrac{v_p+v_a}{2}}$$

E a distância entre o centro e a origem é

$$v_p-\dfrac{v_p+v_a}{2}=\boxed{\dfrac{v_p-v_a}{2}}$$

c) Similarmente:

Com ambos o raio e a distância entre o centro e a origem iguais a

$$\boxed{\dfrac{v_p}{2}}$$

 

Avançado

Desvendando o Círculo

a) Para resolver esse item, utilizaremos a equação polar de uma cônica em função da anomalia verdadeira:

$$r(\theta)=\dfrac{p}{1+e\cos{\theta}}$$

Onde $e$ é sua excentricidade e $p=h^2/\mu$ o seu parâmetro. Começaremos calculando a velocidade radial em um ponto arbitrário da órbita:

$$v_r=\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{p}{(1+e\cos{\theta})^2}\cdot e\sin{\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{r^2e\sin{\theta}}{p}\dfrac{d\theta}{dt}$$

$$x=r\cos{\theta}\Rightarrow v_x=\dfrac{dr}{dt}\cos{\theta}-r\sin{\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=r\sin{\theta}\left(\dfrac{e\cos{\theta}}{1+e\cos{\theta}}-1\right)\dfrac{d\theta}{dt}$$

$$v_x=-\dfrac{r^2\sin{\theta}}{p}\dfrac{d\theta}{dt}=-\dfrac{h\sin{\theta}}{p}=-\dfrac{\mu}{h}\sin{\theta}$$

Onde utilizamos que $h=r^2\tfrac{d\theta}{dt}$. Analogamente, no eixo $y$

$$y=r\sin{\theta}\Rightarrow v_y=\dfrac{dr}{dt}\sin{\theta}+r\cos{\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=r\left(\dfrac{e\sin^2{\theta}}{1+e\cos{\theta}}+\cos{\theta}\right)\dfrac{d\theta}{dt}$$

$$v_y=\dfrac{r^2 (e+\cos{\theta})}{p}\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{\mu}{h}(e+\cos{\theta})$$

Dessas equações temos que

$$\boxed{v_x^2+\left(v_y-\dfrac{\mu e}{h}\right)^2=\left(\dfrac{\mu}{h}\right)^2}$$

Que é a equação de um círculo de raio $\mu/h$ e centro em $(v_x,v_y)=(0,\mu e/h)$.

b) Podemos encontrar o formato do hodógrafo diretamente de sua equação:

Com a principal diferença entre eles sendo a posição relativa de centro e origem.