Comentário OBFEP Segunda fase Nível A

Vazão, cálculo de volumes

a)

O enunciado do problema já forneceu a relação entre o volume da tubulação e o tempo: $V=-13-6t+t^2$. Agora, para encontrar o tempo $t$, precisamos calcular o volume $V$ da tubulação. A área do cano foi fornecida, então basta aplicar a fórmula do volume de um prisma:

$V_{prisma}=A_{base}\times H$

Em que $V_{prisma}$ é o volume do prisma, $A_{base}$ é a área da base (no caso é a área do cano) e $H$ é a altura (no nosso caso, é comprimento total da tubulação). O valor de H é simplesmente a soma de todos os segmentos do cano:

$H=AB+BC+CD+DE+EF+FG$

$H=2+1+6+6+2+1$

$H=18m$

Agora podemos calcular o volume $V$, porém, antes, é interessante transformar as unidades para $dm$, pois o valor de $V$ deve ser em litros, conforme o enunciado. Dessa forma:

$H=18m=180dm$

$A_{base}=15cm^2=0,15dm^2$

Logo, o volume é $V=180\times 0,15=27dm^3=27L$. Aplicando esse valor na fórmula mencionada anteriormente:

$V=-13-6t+t^2$

$0=-40-6t+t^2$

Temos que resolver, portanto, uma equação de segundo grau. Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

$t=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\times (1)\times (-40)}}{2\times 1}$

$t=\dfrac{6\pm 14}{2}$

$t=3\pm 7$

Ou seja, temos duas raízes para a equação, $t_1=10min$ e $t_2=-4min$. No entanto, é impossível obter um valor negativo para o tempo (afinal isso não faz sentido na vida real), logo, a solução desejada é:

$\boxed{t_1=10min}$

b)

Para calcular o tempo que leva para o tanque encher completamente, é necessário utilizar o conceito de vazão:

$Z=\dfrac{\Delta V}{\Delta t}$

Ou seja, a vazão é uma variação de volume $\Delta V$ por uma variação de tempo $\Delta t$. O volume que deve ser preenchido pode ser calculado por meio da fórmula do volume de um cilindro (prisma de base circular):

$\Delta V=\pi r^2 h$

Aplicando os valores $\pi=3$, $r=0,5m$ e $h=2,0m$:

$\Delta V= 1,5 m^3$

Em $dm^3$:

$\Delta V=1500dm^3=1500L$

Logo, o tempo é:

$\Delta t=\dfrac{\Delta V}{Z}$

$\Delta t=\dfrac{1500}{10}$

$\Delta t=150s$

Convertendo para minutos:

$\boxed{\Delta t=2,5min}$

a)

$\boxed{t_1=10min}$

b)

$\boxed{\Delta t=2,5min}$

Leis de Newton

a)

Durante o minuto descrito, Rita não sentiu nenhuma aceleração por parte do carro, portanto a força resultante no sistema casa+carro era nula. De acordo com a primeira lei de Newton, a lei da inércia, um corpo permanecerá em movimento retilíneo uniforme (ou em repouso) até que uma força resultante mude o seu estado de movimento. No caso de Rita, como não havia nenhuma força resultante, o carro estava em movimento retiníneo uniforme (ou em repouso).

b)

Do ponto de vista de Rita, ela foi lançada bruscamente empurrada para frente, porém, na realidade, era apenas o carro que estava freando. Para um observador fora da casa, Rita estava se movento com uma velocidade igual a da casa, porém, quando o carro começa a frear, a casa desacelera, porém, Rita não (devido à lei da inércia). Isso gera uma diferença de velocidades entre a pessoa e a casa. De forma que uma pessoa (dentro da casa) tem a impressão de que uma força misteriosa está empurrando ela, quando, na realidade, é apenas uma consequência da inércia.

c)

Usando um raciocínio parecido com o do item b), se Rita for lançada bruscamente para a direita, significa que o carro estava fazendo uma curva para a esquerda. De maneira geral, sempre que um veículo acelerar em um sentido, os passageiros se sentem empurrados no sentido oposto (pelas mesmas razões discutidas anteriormente).

a)

Primeira Lei de Newton, lei da inércia, linha reta (ou repouso)

b)

O carro estava freando

c)

O carro poderia fazer uma curva para a esquerda

Lançamento oblíquo, funções do primeiro e segundo grau

a)

A altura do ponto A pode ser encontrada com a expressão da altura em função do tempo $y=0,25+2t-5t^2$. Já que em $t=0s$ o carrinho passou pelo ponto A, basta substituir esse valor na expressão:

$y=0,25+2t-5t^2$

$\boxed{y=0,25m}$

b)

Se carrinho passou pela altura máxima quando $x=60cm=0,6m$, podemos encontrar o instante em que isso aconteceu com a expressão dada no enunciado:

$x=3t$

$0,6=3t$

$t=0,2s$

Com o valor de $t$ em mãos, basta substituir esse valor na expressão para $y$:

$y=0,25+2t-5t^2$

$y=0,25+2(0,2)-5(0,2)^2$

$y=0,25+0,4-0,2$

$y=0,45m$

Convertendo para centímetros:

$\boxed{y_{max}=45cm}$

c)

Pela figura, o ponto C se localiza em um dos pontos em que $y=0m$, portanto:

$y=0,25+2t-5t^2$

$0=0,25+2t-5t^2$

Resolvendo a equação de segundo grau, encontramos:

$t=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\times (-5) \times 0,25}}{2\times 5}$

$t=\dfrac{-2\pm3}{-10}$

As duas soluções são $t_1=+0,5s$ e $t_2=-0,1s$. A solução negativa $t_2=-0,1s$ representa um instante antes do carrinho passar pelo ponto A, ou seja, ele ainda estava se movendo na rampa, logo, essa solução não é relevante. Portanto, o carrinho passa pelo ponto C no instante $t_1=+0,5s$.

Para calcular a distância, basta utilizar a expressão para $x$:

$x=3t$

$x=3\times 0,5$

$x=1,5m$

Convertendo para centímetros:

$\boxed{x=150cm}$

a)

$\boxed{y=0,25m}$

b)

$\boxed{y_{max}=45cm}$

c)

$\boxed{x=150cm}$

Termologia

a) Ao passar pelo congelador (2) o gás deve estar expandido, de modo que, como sua temperatura estará menor que a do ambiente, ele absorverá calor e, assim, resfriará o ambiente do congelador. Já ao passar pelo exterior da geladeira, o gás deve estar comprimido, de modo que, como sua temperatura estará maior que a do ambiente, ele cederá calor para o ar.

b) Pelo sentido $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3$. Após ceder calor para o ar, o ar expandirá e absorverá calor do congelador, resfriando-a e, após isso, irá ao compressor, recomeçando o ciclo.

c) O princípio físico envolvido nesse processo é a transferência de energia térmica por convecção. Nesse processo, o ar frio torna-se mais denso, pois suas moléculas estão menos agitadas, ocupando assim um menor volume (nas moléculas de ar); diferentemente do ar quente, que é mais denso que o frio em razão da maior agitação de suas moléculas que ocupam um maior volume.
Em virtude da diferença de densidade entre o ar quente e o ar frio dentro da geladeira, ocorre a troca de posição entre eles, pois a ação da gravidade atrairá o ar mais denso (ar frio) e logo a parte inferior da geladeira também é resfriada; eis o motivo do congelador estar localizado na parte superior da geladeira.

Explicação.

Fases da Lua

a) Note que:

Pela imagem do enunciado, concluimos que Roberto está no Hemisfério Sul. Como no Hemisfério Sul os astros rotacionam ao redor do Polo Celeste no sentido horário, sabemos que os pés de Roberto apontam para o ponto cardeal Sul, consequentemente, sua cabeça aponta para o ponto cardeal Norte e em sua direita e esquerda estão, respectivamente, os pontos cardeais Oeste e Leste.

b) Como vimos, Roberto está no Hemisfério Sul.

c) A Lua Crescente nasce 12h e se põem 00h, enquanto a minguante nasce 00h e se põem 12h. Pelos horários indicados no enunciado, a Lua Crescente é a única que pode estar acima do horizonte.

Explicação.