Aula 3.2 - Interferência, reflexão e modos normais de vibração

Escrita por Antônio Ítalo

Introdução

Ao longo dessa aula, diversas fórmulas de trigonometria serão muito importantes, sendo assim, façamos uma breve revisão das mesmas:

• $\cos \left( \alpha +\beta \right)=\cos \left( \alpha \right) \cos \left( \beta \right) - \sin \left( \alpha \right) \sin \left( \beta \right)$
• $\sin \left( \alpha + \beta \right) =\sin \left( \alpha \right) \cos \left( \beta \right) +\sin \left( \beta \right) \cos \left( \alpha \right)$
• $\sin \left(-x \right) =-\sin \left( x \right)$
• $\cos\left(-x \right) =\cos \left( x \right)$
• $\cos \left( p \right)+\cos \left( q \right)=2 \cos \left( \dfrac{p+q}{2} \right) \cos \left( \dfrac{p-q}{2} \right)$

A primeira parte dessa aula visará o estudo da interferência entre diferentes ondas harmônicas, em seguida, apresentaremos o conceito da reflexão de uma onda unidimensional e, após isso, utilizaremos os conceitos anteriores para estudar os modos normais de vibração de uma corda finita. Outra opção ao invés de usar trigonometria para representar as ondas é utilizarmos números complexos, mais especificamente, a identidade:

$e^{i \theta}=\cos \left( \theta \right)+i \sin \left( \theta \right)$

Podemos então escrever a onda no formato de uma exponencial complexa e extrair a parte real para obter o resultado físico. Essa ferramenta é muito útil principalmente ao calcular a interferência de diversas ondas pois a soma pode vir a se tornar uma soma de $P.G.$ que tem resultado bem conhecido. Contudo, utilizaremos principalmente trigonometria nessa aula.

Interferência

Caso 1: Batimento

Suponhamos que em um determinado meio (não necessariamente uma corda) se propague duas ondas harmônicas progressivas para a direita de mesma amplitude com frequências angulares $\omega$ ligeiramente diferentes: $\omega_{1}$ e $\omega_{2}$ e também números de onda ligeiramente diferentes: $k_{1}$ e $k_{2}$. Definamos $t=0$ de forma que as ondas estejam inicialmente em fase, sendo assim, podemos escrever:

$y_{1}(x,t)=A \cos \left( k_1x-\omega_{1} t \right)$

$y_{2}(x,t)=A \cos \left( k_2x - \omega_{2} t \right)$

(Note que definimos $t=0$ de tal forma que $\phi_{0}=0$)

Sabemos então que:

$y(x,t)=y_{1}+y_{2}$

$y(x,t)=A \cos \left( k_{1}x-\omega_{1} t \right)+A \cos \left( k_{2}x - \omega_{2} t \right)$

$y(x,t)=2 A \cos \left( \dfrac{k_{1}x-\omega_{1}t+k_{2}x-\omega_{2}t}{2}\right) \cos \left(\dfrac{\Delta k x - \Delta \omega t}{2} \right)$

Defina $\overline {k}=\dfrac{k_{1}+k_{2}}{2}$ e $\overline{\omega}=\dfrac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}$, $\Delta k=k_1-k_2$,$\Delta \omega=\omega_1-\omega_2$, e $A'=2A$:

$y(x,t)=A' \cos \left( \overline{k} x - \overline{\omega} t \right) \cos \left( \frac{\Delta k x - \Delta \omega t}{2} \right)$

Note que como $\Delta k$ e $\Delta \omega$ são pequenos a segunda função cosseno variará bem menos tanto com o tempo como quanto o espaço sendo assim, ela agirá como uma espécie de envoltório para a primeira função cosseno, para entender melhor isso, veja as seguintes imagens:

Nas figuras anteriores, plotamos em vermelhos os gráficos:

$y(x,t)=20 \cos \left( 2x - 1,5 t \right) \cos \left( 0,4 x - 0.15 t \right)$

Para $t=0$ $s$ e $t=10$ $s$. Enquanto isso, temos as duas curvas azuis que são:

$y(x,t)=\pm \cos \left( 0,4 x - 0,15 t \right)$

Pode-se perceber que instantaneamente essas curvas azuis funcionam como um envoltório para a outra parte da função, pois essa parte varia mais lentamente. Note que tanto o envoltório, como o restante da função se movem para a direita, com diferentes velocidades. Como visto anteriormente, cada uma dessas funções se move com velocidade, respectivamente:

$V_{\phi}=\dfrac{\overline{\omega}}{\overline{k}}$

E:

$V_{g}=\dfrac{\Delta \omega}{\Delta k}$

Sendo essas respectivamente as chamadas velocidade de fase e velocidade de grupo. A velocidade de grupo é importante pois, em outros meios que não cordas, pode haver uma "relação de dispersão" não linear entre $\omega$ e $k$, uma parábola por exemplo. Nesse caso, teríamos um caso mais contínuo, logo:

$V_{g}=\dfrac{d\omega}{dk}$

Outra característica muito importante de um batimento é a chamada frequência de batimento que é definida por:

$f_{bat}\Delta t=N_{bat}$

Onde um batimento representa uma "pancada", ou seja, em cada um dos intervalos entre dois zeros do envoltório há um batimento, logo, a frequência angular do batimento é duas vezes a frequência angular do envoltório:

$\omega_{bat}=2 \dfrac{\Delta \omega}{2}=\Delta \omega$

$f_{bat}=\Delta f$

O fenômeno de batimento pode ser observado melhor quando há uma frequência de batimento muito menor que as frequências das duas ondas que interferem.

Caso 2: Ondas estacionárias

Estudaremos agora a interferência de duas ondas harmônicas idênticas se propagando em sentidos diferentes, dessa forma, temos:

$y_{1}(x,t)=A\cos \left( kx - \omega t + \phi_{0} \right)$

$y_{2}(x,t)=A\cos \left( kx + \omega t +\phi_{0} \right)$

Somando:

$y(x,t)=2A \cos \left( \dfrac{kx-\omega t +\phi_{0} +kx +\omega t +\phi_{0}}{2} \right) \cos \left( \dfrac{kx+\omega t +\phi_{0} -kx +\omega t - \phi_{0}}{2} \right)$

$y(x,t)=2A\cos \left(kx + \phi_{0} \right) \cos \left( \omega t \right)$

Sendo assim, cada ponto da nossa onda terá como resultado da interferência uma amplitude bem definida em função somente da posição desse ponto e se moverá em um M.H.S. de frequência angular $\omega$. É importante notar que as ondas estacionárias não carregam energia. As ondas estacionárias serão muito importantes para o estudo dos modos normais de vibração de uma corda.

Reflexão

OBS: Consideramos aqui que as reflexões ocorrem na origem em $x=0$, caso ocorra em outro ponto deve-se trocar $x$ por um $x'$ tal que ocorra na origem.

Caso 1: Extremidade fixa

Uma onda progressiva para a direita do tipo $f(x-Vt)$ está se movendo para a direita quando se encontra com uma parede no qual a extremidade da corda está fixa. Nessa extremidade ocorrerá o fenômeno da reflexão, onde surgirá uma nova onda progressiva para a esquerda que se soma a primeira: $g(x-Vt)$. É importante notar que a extremidade da corda ligada à parede é totalmente fixa, ou seja, $f(x-Vt)$ e $g(x-Vt)$ devem se cancelar nesse ponto. Contudo, a partir daí $g$ se propagará para a direita no mesmo formato em que cancelou $f$, dessa forma, pode-se escrever:

$g(x,t)=-f(-x,t)$

Por exemplo, se tivermos uma onda incidente harmônica do tipo:

$f(x,t)=A \cos \left( kx - \omega t + \phi_{0} \right)$

Teremos:

$g(x,t)= -A \cos \left ( kx + \omega t + \phi_{0} \right)$

De maneira mais visual, se uma onda incide na extremidade fixa com um certo formato, ela será refletida com o mesmo formato, mas de cabeça para baixo e invertida lateralmente.

Perceba que a soma de $f$ com $g$ formará uma onda estacionária, esse fato será importante no momento que iremos estudar modos normais de vibração de uma corda.

Caso 2: Extremidade livre

Podemos também analisar o caso em que a extremidade da corda está ligada à um tipo de haste em que possa deslizar livremente. Consideraremos que o aro que liga a corda à essa haste não possui massa, sendo assim, para que a extremidade da corda não possua aceleração infinita, a corda deve estar sempre horizontal nessa extremidade, o que equivale à dizer que a derivada parcial em relação à $x$ é $0$. Após algumas manipulações envolvendo cálculo, encontra-se:

$g(x,t)=f(-x,t)$

Por exemplo, se possuímos uma onda incidente harmônica:

$f(x,t)= A \cos \left( kx - \omega t + \phi_{0} \right)$

Teremos:

$g(x,t)=A \cos \left( -\omega t -kx + \phi_{0} \right)= A \cos \left( \omega t + kx - \phi_{0} \right)$

De maneira mais visual, se uma onda incide na extremidade livre com um certo formato, ela refletirá com o mesmo formato, mas invertida lateralmente.

Modos normais de Vibração

Trabalharemos aqui os chamados modos normais de vibração de uma corda finita. Iniciaremos pelo caso mais conhecido.

Extremidades fixas

Imagine que uma onda harmônica de frequência angular $\omega$ e número de onda $k$ está se propagando para a esquerda em uma corda finita presa pelas extremidades em $x=0$ e $x=L$. Sendo assim, sua função pode ser dada por:

$y_{1}(x,t)=A \cos \left( kx + \omega t + \phi_{0} \right)$

Logo ela refletirá na extremidade da esquerda formando uma outra onda:

$y_{2}(x,t)=-A \cos \left( kx-\omega t -\phi_{0} \right)=A \cos \left( kx - \omega t + \pi - \phi_{0} \right)$

Sendo assim, a onda resultante é:

$y(x,t)=2A \cos \left( kx+\dfrac{\pi}{2} \right) \cos \left( \omega t + \phi_{0} - \dfrac{\pi}{2} \right)$

Definindo $\phi_{0}^{'}=\phi_{0}-\dfrac{\pi}{2}$:

$y(x,t)=-2A \sin \left( kx \right) \cos \left( \omega t + \phi_{0}^{'} \right)$

Sendo que a extremidade em $x=L$ deve ter ser sempre $y$ nulo, logo:

$\sin \left( kL \right) = 0$

$kL=n\pi$

Onde $n$ é um número inteiro.

Sendo assim, temos:

$\lambda = \dfrac{2L}{n}$

E:

$f=\dfrac{nV}{2L}$

Essas são as chamadas frequências dos modos normais de vibração, ou harmônicos. Diz-se que quando $n=1$ temos a frequência fundamental.

Por métodos completamente análogos é possível mostrar que no caso de uma corda presa por uma extremidade livre e uma extremidade fixa, vale:

$L=\left(n-\dfrac{1}{2}\right) \dfrac{\lambda}{2}$

$\lambda = \dfrac{2L}{n-\dfrac{1}{2}}$

$f=\left(n-\dfrac{1}{2} \right) \dfrac{V}{2L}$

Esses resultados são importantes pois são completamente análogos ao de tubos sonoros que estudaremos em Acústica.