Aula 4.3 - Associação de espelhos planos

Escrita por Antônio Ítalo

Ao longo dessa aula estudaremos as imagens formadas por uma associação de espelhos planos. É importante notar que devemos dividir esse tipo de associação em dois casos principais, onde um será mais simples e conseguiremos entender o sistema com uma certa fórmula fechada e outro será mais complicado e precisaremos realizar certas construções para entendermos as imagens formadas.

Introdução

A situação que estudaremos aqui será a da associação de dois espelhos planos, sendo assim, precisaremos de somente um parâmetro para caracterizar a situação dos espelhos: o ângulo entre os mesmos, note, contudo, que também precisaremos localizar o objeto. Lembre-se: Independentemente do tamanho dos espelhos, as imagens podem ser consideradas como formadas por um espelho infinito, no entanto, pode ser que nosso campo visual não nos permita a visualização das mesmas. Por simplicidade, consideraremos então dois espelhos semi-infinitos com origem no mesmo ponto $O$ e fazendo um ângulo $\alpha$ entre si, conforme na figura a seguir. Note também o objeto que está na linha que faz um ângulo $\theta < \alpha$ com o espelho $E_{1}$ .

Devemos agora entender a situação física por trás dessa associação. Á primeira vista, pode parecer que haverão somente duas imagens: uma devido à reflexão do nosso objeto no espelho $E_1$ e outra devido à reflexão no espelho $E_2$ , contudo, deve-se notar que essas imagens podem também ser refletidas, ou seja, a imagem formada por $E_1$ pode servir como objeto para $E_2$ e vice-versa, sendo assim, haverão infinitas imagens? Não, a não ser que o ângulo entre os espelhos seja de $0 ^{\circ}$ , pois haverá um momento em que as últimas imagens formadas estarão atrás de ambos os espelhos, o que chamamos de "zona morta", sendo assim, não podem agir como objeto. Note que a imagem estar na zona morta é equivalente a dizer que os raios de luz "provenientes" dela não tocam mais os espelhos. As principais perguntas que devemos responder ao longo dessa aula são então: Quantas imagens serão formadas? Podemos localizá-las?

Sistema de Coordenadas

Para facilitar nossos cálculos, utilizemos um sistema de coordenadas polares para localizarmos o objeto e as imagens. Caso não esteja acostumado com esse tipo de sistema, veja a figura a seguir:

Quando queremos localizar um certo ponto $P$ em um plano precisamos utilizar um sistema de coordenadas, na figura, representamos os dois mais utilizados. O primeiro e mais comum é o sistema de coordenadas cartesiano, onde associamos uma coordenada para dois eixos perpendiculares. O outro sistema representado na figura é o sistema de coordenadas polares, onde associamos uma coordenada $r_{p}$ , relacionada a distância do ponto $P$ até a origem e uma coordenada $\theta_{P}$ relacionada com o ângulo que a linha ligando o ponto $P$ à origem faz com o eixo $x$ . O sistema de coordenadas polares será utilizado quando estudarmos associações de espelhos pois mostraremos que todas as imagens devem ter a mesma coordenada radial que a origem, facilitando assim nossos cálculos. Demonstrar esse fato é razoavelmente simples. Sabe-se que quando uma imagem é formada por um espelho plano, ela deve possuir a mesma distância que o objeto para todos os pontos do espelho, sendo assim, a distância da imagem para o ponto $O$ de encontro entre os espelhos $E_{1}$ e $E_{2}$ deve ser a mesma que o objeto, ou seja, a coordenada radial $r$ é a mesma, portanto precisamos nos importar apenas sobre a coordenada angular $\theta$ das imagens.

A zona morta

Zona morta é o nome dado a região do espaço tal que qualquer fonte de luz dentro da mesma, ou imagem formada na mesma, não servirá como objeto nem para $E_{1}$ nem para $E_{2}$ . Para espelhos que formam entre si um ângulo $\alpha$ menor que $180^{\circ}$ (Não discutiremos aqui ângulos maiores que $180^{\circ}$ ), podemos dizer que a zona morta é a região atrás de ambos os espelhos. Ou seja, tomando nosso sistema de coordenadas, a região entre $180^{\circ}$ e $180^{\circ}+\alpha$ . É importante notar isso pois no processo de geração das imagens chegaremos em imagens nessas zonas que não podem ser utilizadas como objetos ou podemos obter imagens que não existem.

A construção

Para obtermos a posição de todas as imagens e consequentemente o número das mesmas devemos realizar um algoritmo simples com base na posição angular do objeto e do ângulo $\alpha$ entre os espelhos. Para construirmos esse algoritmo, precisamos encontrar uma fórmula para a posição angular de uma certa imagem baseada no objeto que a gerou. Temos $3$ possibilidades:

Se o objeto em questão for o objeto inicial, ele estará entre os dois espelhos e precisaremos encontrar a posição angular das duas imagens formadas inicialmente.
Se o objeto em questão for uma imagem proveniente do espelho $E_{1}$ , devemos verificar se está na zona morta e, em caso contrário, realizar a reflexão no espelho $E_{2}$ . A fórmula matemática para isso seria: $\theta_{i}=\alpha+ \left( \alpha - \theta_{o} \right)= 2 \alpha - \theta_{o}$ .
Se o objeto em questão for uma imagem proveniente do espelho $E_{2}$ , devemos verificar se está na zona morta e, em caso contrário, realizar a reflexão no espelho $E_{1}$ . A fórmula matemática para isso seria: $\theta_{i}=0+ \left(0 - \theta_{o} \right)=- \theta_{o}$ ou, para obtermos ângulos entre $0^{\circ}$ e $360^{\circ}$ , $\theta_{i}=360^{\circ}-\theta_{o}$ .

É importante notar aqui que se forem obtidos ângulos maiores que $360^{\circ}$ ou menores que $0^{\circ}$ é recomendado converter esses ângulos nos seus equivalentes convencionais. Ex: $540^{\circ} \rightarrow 180^{\circ}$ . Esse processo deve ser repetido até que se chegue em imagens na zona morta. Para obter o número de imagens, conta-se então tomando cuidado para não contar duas vezes a mesma imagem que pode ser formada por objetos diferentes. Algumas aplicações desse algoritmo podem ser vistas nos seguintes links: Soluções Simulado 1 - OBF Nível 3 e Comentário OBF 2019 - Nível 2.

Casos mais simples

Em algumas questões mais simples e conhecidas é perguntado somente o número de imagens formadas por uma determinada associação. Acontece que, para alguns ângulos, há uma fórmula direta de calcular esse número sem se preocupar nem mesmo com a posição do objeto. Esses ângulos são aqueles que podem ser usados para dividir um círculo em partes iguais, ou seja, são os ângulos tais que: $\dfrac{360^{\circ}}{\alpha}$ é natural. Vamos definir $n=\dfrac{360^{\circ}}{\alpha}$ . Pode-se demonstrar que o número de imagens será dado por: $N=n-1= \dfrac{360^{\circ}}{\alpha} -1$ . Você pode demonstrar isso ao notar que nesse caso a circunferência poderá ser dividida em $n$ partes iguais que cobrem um arco $\alpha$ de forma que cada parte contenha exatamente uma imagem, exceto a frente entre os espelhos que contém o objeto. IMPORTANTE: Caso a resposta obtida por essa fórmula não seja inteira, deve-se realizar a construção indicada anteriormente para obter o número de imagens, pois nenhum arredondamento pode garantir a resposta correta. Ex: Se nossos espelhos fizerem um ângulo de $92^{\circ}$ entre si e o objeto estiver no eixo de simetria, teremos um total de $4$ imagens enquanto a fórmula indica que haveria $N \approx 2,91$ imagens, o que está distante de $4$ .