Aula 5.1 - Força Elétrica e Campo Elétrico

Escrito por Ualype Uchôa

Nesta aula, iremos entender como as cargas elétricas interagem entre si de um ponto de vista mais físico, e também iremos introduzir e aplicar o conceito de campo elétrico.

A Força Elétrica: Lei de Coulomb

Sabemos que as cargas elétricas, quando aproximadas entre si, irão se repelir ou atrair. Tal repulsão ou atração é gerada por um agente da natureza: uma força. Essa força, chamada de força elétrica (ou eletrostática), é uma força conservativa do tipo eletromagnética. No caso de cargas de mesmo sinal, ela é repulsiva, e, de sinais opostos, atrativa, como esperado. Para duas cargas pontuais (de dimensões muito pequenas) $q$ e $Q$, seu modulo é dado pela seguinte expressão, a Lei de Coulomb, formulada pelo físico Charles Augustin de Coulomb:

$F_{eletr.}=\dfrac{K|Qq|}{r^2}=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon}\dfrac{|Qq|}{r^2}$.

Aqui, $r$ é a distância entre elas e $K=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon}$ é conhecida como a constante eletrostática do meio em que as cargas se encontram, e $\epsilon$ é chamada de permissividade elétrica do meio. De antemão, o meio com o qual trabalhamos nos exercícios geralmente é o vácuo, para o qual definimos $K \rightarrow K_0$ e $\epsilon \rightarrow \epsilon_0$, com $\epsilon_0 = 8,85 * 10^{-12}$ $\dfrac{C^2}{N.m^2}$. O sentido da força pode ser descoberto utilizando os argumentos já mencionados. O resultado mais importante é perceber que a força varia com o inverso da distância ao quadrado (um comportamento idêntico à força gravitacional!). Para que obtenhamos um maior formalismo, suponha que $Q$ seja uma carga de prova a uma distância $r$ de uma carga pontual $q$ em repouso. Qual é a força que a carga de prova $Q$ sente devido à presença de $q$? Este é o problema fundamental da eletrostática. Utilizando a Lei de Coulomb, podemos escrever, vetorialmente:

$\vec{F}=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{qQ}{r^2} \hat{r}=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{qQ}{r^3} \vec{r}$.

Usamos que $\hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{r}$. Perceba que o módulo no produto entre as cargas não é mais necessário, pois o sentido já é determinado pelo vetor.

Princípio da Superposição

Você pode estar se perguntando sobre a validade do resultado anterior para uma situação diferente: e se, em vez de apenas uma carga fixa $q$, tivéssemos uma coleção de $N$ cargas $q_i$ (com $i=1,2,3,4...N$) a distâncias $r_i$ de $Q$? O princípio da superposição nos ajuda a resolver esta questão; ele diz que a força entre quaisquer duas cargas não é afetada pela presença de outras [cargas]. Sendo assim, para a distribuição discreta que imaginamos, a força total em $Q$ pode ser escrita como um somatório das forças individuais:

$\vec{F}=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \sum_{i=1}^{N}\dfrac{q_i}{r^2_i} \hat{r_i}$.

E, para o caso de uma distribuição contínua, o somatório transforma-se em uma integral:

$\vec{F}=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \int \dfrac{\hat{r}}{r^2} dq$.

Caso a carga esteja distribuída:

a) Ao longo de uma linha, definimos $\lambda$ como a densidade linear de carga, de tal forma que $dq=\lambda dl$, com $dl$ sendo o elemento de comprimento.

b) Ao longo de uma superfície, definimos $\sigma$ como a densidade superficial de carga, de forma que $dq=\sigma dA$, com $dA$ sendo o elemento de área.

c) Ao longo de um volume, definimos $\rho$ como a densidade volumétrica de carga, de forma que $dq=\rho dV$, com $dV$ sendo o elemento de volume.

Veja os exemplos a seguir:

Exemplo 1: 

Três cargas, $+q$, $+2q$ e $+4q$, estão em repouso presas por fios, conforme o esquema abaixo. Determine os valores das trações $T_1$ e $T_2$.

Solução: Na carga $+q$, as forças de repulsão devido à $+2q$ e $+4q$ são canceladas pela tração no primeiro fio. Assim:

$\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{2q^2}{d^2}+\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{4q^2}{(2d)^2}=T_1$

$T_1=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{3q^2}{d^2}$.

Similarmente, para as forças em $+4q$:

$T_2=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{4q^2}{(2d)^2}+\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{8q^2}{d^2}$

$T_2=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}{9q^2}{d^2}$.

Exemplo 2:

Nos vértices de um cubo de lado$l$, foram fixadas cargas como mostra a figura a seguir:

Caso seja colocada uma carga $2q$ no ponto de encontro das diagonais do cubo, qual será a força sentida por ela?

Solução: Note que não precisamos calcular a força que cada carga exerce na carga de prova $2q$. A força resultante produzida em $2q$ ao longo das diagonais do cubo que possuem cargas de sinais iguais nos vértices será nula, visto que uma ambas produzem forças de atração/repulsão de mesmo módulo (pois $2q$ está a uma mesma distância de todas as cargas), porém sentidos opostos. Observamos, então, que somente uma diagonal não possui tal característica; basta calcular as forças produzidas pelas cargas que se encontram ao longo dela! Como o comprimento da diagonal é $l\sqrt{3}$ e a carga de prova encontra-se no centro, a uma distância de $\dfrac{l\sqrt{3}}{2}$ de qualquer uma das cargas:

$F=2*\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{2q^2}{\left(\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{16q^2}{3l^2}$.

Exemplo 3: 

Uma carga $Q$ é uniformemente distribuída sobre um fio semicircular de raio $a$. Calcule a força com que atua sobre uma carga de sinal oposto $-q$ colocada em seu centro.

Solução: É evidente que estamos nos deparando com uma distribuição contínua (caso não esteja familiarizado com cálculo, dê uma olhada na Ideia 11 de Física). Vamos começar analisando a força $dF$ que um pedaçinho do fio - de carga $dq$ e comprimento $a d\theta$ - faz na carga de prova.

 

$dF=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{qdq}{a^2}$

Já que a carga é uniformemente distribuída, vamos definir um parâmetro $\lambda=\dfrac{Q}{\pi a}$, a densidade de carga linear, de tal forma que $dq=\lambda dl=\lambda a d\theta$:

$dF=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{q\lambda a d\theta}{a^2}$

Agora, perceba que, se olharmos para a força que um pedacinho oposto a esse exerce na carga de prova, as componentes horizontais das forças se cancelam. Sendo assim, precisamos olhar apenas para a componente vertical $dF_y=dF \sin{\theta}$:

$dF_y=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{q\lambda a \sin{\theta} d\theta}{a^2}$

Logo, integramos de $\theta=0$ até $\pi$ para obter a força total exercida pelo fio:

$F=\dfrac{q\lambda}{4\pi \epsilon_0 a}\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\sin{\theta}d\theta}$

$F=\dfrac{qQ}{2 \pi^2 \epsilon_0 a^3}$.

Evidentemente, a força é de atração, vertical e aponta para cima.

O Campo Elétrico

Até então, discutimos o efeito de cargas elétricas umas nas outras. Agora, partamos para um conceito mais abstrato: analisar o efeito que uma carga/distribuição de cargas gera no espaço ao seu redor. Definiremos uma quantidade vetorial muito importante, chamada de campo elétrico, da seguinte forma:

$\vec{E}=\lim_{Q\to0}\dfrac{\vec{F}}{Q}$

Isto é; o campo elétrico gerado em um certo ponto do espaço por uma distribuição quaisquer de cargas é a força exercida sobre a carga de prova, no limite em que a carga de prova tende a zero. Para fins práticos (a necessidade do limite na definição formal ficará clara em aulas futuras):

$\vec{F}=Q\vec{E}$.

Então, temos, para uma distribuição discreta:

$\vec{E}(\vec{r})=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \sum_{i=1}^{N}\dfrac{q_i}{r^2_i} \hat{r_i}$.

E, contínua:

$\vec{E}(\vec{r})=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \int \dfrac{\hat{r}}{r^2} dq$.

Perceba que o campo elétrico varia em cada ponto do espaço e não depende da carga de prova, mas, sim, da configuração das cargas geradoras do campo que buscamos calcular. Mas, afinal, o que realmente é o campo elétrico? Fisicamente falando, é a força por unidade de carga exercida na carga de prova caso esta fosse posicionada no ponto do espaço em que se deseja calcular o campo. Contudo, essa é uma interpretação muito simples de um conceito demasiadamente abstrato. Mas, podemos intuitivamente pensar que o campo é realmente uma entidade física, preenchendo todo o espaço na vizinhança de qualquer carga elétrica; esta interpretação nos ajudará em breve.

Vejamos o exemplo a seguir:

Exemplo 4:

Ache o campo elétrico no ponto $P$, que está a uma distância $z$ acima do ponto médio de duas cargas iguais $q$. Veja se o seu resultado é consistente com o esperado para $z \gg d$.

Solução:

Observe a imagem a seguir:

É evidente que as componentes horizontais do campo elétrico gerado por cada uma das cargas irão se cancelar, devido à simetria. Sendo assim, o campo elétrico total será a soma das componentes dos campos elétricos ao longo da reta que contém $P$ e o ponto médio entre as cargas:

$E(z)=2E\sin{\alpha}$

Onde $E$, o campo gerado por cada carga, será dado por:

$E(z)=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{q}{\dfrac{d^2}{4}+z^2}$

Logo, o campo em $P$ é

$E(z)=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{2q}{\dfrac{d^2}{4}+z^2}\dfrac{z}{\sqrt{\dfrac{d^2}{4}+z^2}}=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{2qz}{\left(\dfrac{d^2}{4}+z^2\right)^{3/2}}$,

e aponta para verticalmente para cima. No limite em que $z \gg d$, esperamos que o campo seja praticamente aquele gerado por uma carga pontual $2q$. Desprezando os termos de segunda ordem na expressão obtida:

$E(z)=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{2q}{z^2}$.

Que condiz com as nossas expectativas.