Escrito por Ualype Uchôa
Nesta aula, iremos entender como as cargas elétricas interagem entre si de um ponto de vista mais físico, e também iremos introduzir e aplicar o conceito de campo elétrico.
A Força Elétrica: Lei de Coulomb
Sabemos que as cargas elétricas, quando aproximadas entre si, irão se repelir ou atrair. Tal repulsão ou atração é gerada por um agente da natureza: uma força. Essa força, chamada de força elétrica (ou eletrostática), é uma força conservativa do tipo eletromagnética. No caso de cargas de mesmo sinal, ela é repulsiva, e, de sinais opostos, atrativa, como esperado. Para duas cargas pontuais (de dimensões muito pequenas) $$q$$ e $$Q$$, seu modulo é dado pela seguinte expressão, a Lei de Coulomb, formulada pelo físico Charles Augustin de Coulomb:
$$F_{eletr.}=\dfrac{K|Qq|}{r^2}=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon}\dfrac{|Qq|}{r^2}$$.
Aqui, $$r$$ é a distância entre elas e $$K=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon}$$ é conhecida como a constante eletrostática do meio em que as cargas se encontram, e $$\epsilon$$ é chamada de permissividade elétrica do meio. De antemão, o meio com o qual trabalhamos nos exercícios geralmente é o vácuo, para o qual definimos $$K \rightarrow K_0$$ e $$\epsilon \rightarrow \epsilon_0$$, com $$\epsilon_0 = 8,85 * 10^{-12}$$ $$\dfrac{C^2}{N.m^2}$$. O sentido da força pode ser descoberto utilizando os argumentos já mencionados. O resultado mais importante é perceber que a força varia com o inverso da distância ao quadrado (um comportamento idêntico à força gravitacional!). Para que obtenhamos um maior formalismo, suponha que $$Q$$ seja uma carga de prova a uma distância $$r$$ de uma carga pontual $$q$$ em repouso. Qual é a força que a carga de prova $$Q$$ sente devido à presença de $$q$$? Este é o problema fundamental da eletrostática. Utilizando a Lei de Coulomb, podemos escrever, vetorialmente:
$$\vec{F}=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{qQ}{r^2} \hat{r}=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{qQ}{r^3} \vec{r}$$.
Usamos que $$\hat{r}=\dfrac{\vec{r}}{r}$$. Perceba que o módulo no produto entre as cargas não é mais necessário, pois o sentido já é determinado pelo vetor.
Princípio da Superposição
Você pode estar se perguntando sobre a validade do resultado anterior para uma situação diferente: e se, em vez de apenas uma carga fixa $$q$$, tivéssemos uma coleção de $$N$$ cargas $$q_i$$ (com $$i=1,2,3,4…N$$) a distâncias $$r_i$$ de $$Q$$? O princípio da superposição nos ajuda a resolver esta questão; ele diz que a força entre quaisquer duas cargas não é afetada pela presença de outras [cargas]. Sendo assim, para a distribuição discreta que imaginamos, a força total em $$Q$$ pode ser escrita como um somatório das forças individuais:
$$\vec{F}=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \sum_{i=1}^{N}\dfrac{q_i}{r^2_i} \hat{r_i}$$.
E, para o caso de uma distribuição contínua, o somatório transforma-se em uma integral:
$$\vec{F}=\dfrac{Q}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \int \dfrac{\hat{r}}{r^2} dq$$.
Caso a carga esteja distribuída:
a) Ao longo de uma linha, definimos $$\lambda$$ como a densidade linear de carga, de tal forma que $$dq=\lambda dl$$, com $$dl$$ sendo o elemento de comprimento.
b) Ao longo de uma superfície, definimos $$\sigma$$ como a densidade superficial de carga, de forma que $$dq=\sigma dA$$, com $$dA$$ sendo o elemento de área.
c) Ao longo de um volume, definimos $$\rho$$ como a densidade volumétrica de carga, de forma que $$dq=\rho dV$$, com $$dV$$ sendo o elemento de volume.
Veja os exemplos a seguir:
Exemplo 1:
Três cargas, $$+q$$, $$+2q$$ e $$+4q$$, estão em repouso presas por fios, conforme o esquema abaixo. Determine os valores das trações $$T_1$$ e $$T_2$$.
Solução: Na carga $$+q$$, as forças de repulsão devido à $$+2q$$ e $$+4q$$ são canceladas pela tração no primeiro fio. Assim:
$$\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{2q^2}{d^2}+\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{4q^2}{(2d)^2}=T_1$$
$$T_1=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{3q^2}{d^2}$$.
Similarmente, para as forças em $$+4q$$:
$$T_2=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{4q^2}{(2d)^2}+\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{8q^2}{d^2}$$
$$T_2=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}{9q^2}{d^2}$$.
Exemplo 2:
Nos vértices de um cubo de lado$$l$$, foram fixadas cargas como mostra a figura a seguir:
Caso seja colocada uma carga $$2q$$ no ponto de encontro das diagonais do cubo, qual será a força sentida por ela?
Solução: Note que não precisamos calcular a força que cada carga exerce na carga de prova $$2q$$. A força resultante produzida em $$2q$$ ao longo das diagonais do cubo que possuem cargas de sinais iguais nos vértices será nula, visto que uma ambas produzem forças de atração/repulsão de mesmo módulo (pois $$2q$$ está a uma mesma distância de todas as cargas), porém sentidos opostos. Observamos, então, que somente uma diagonal não possui tal característica; basta calcular as forças produzidas pelas cargas que se encontram ao longo dela! Como o comprimento da diagonal é $$l\sqrt{3}$$ e a carga de prova encontra-se no centro, a uma distância de $$\dfrac{l\sqrt{3}}{2}$$ de qualquer uma das cargas:
$$F=2*\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{2q^2}{\left(\dfrac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{16q^2}{3l^2}$$.
Exemplo 3:
Uma carga $$Q$$ é uniformemente distribuída sobre um fio semicircular de raio $$a$$. Calcule a força com que atua sobre uma carga de sinal oposto $$-q$$ colocada em seu centro.
Solução: É evidente que estamos nos deparando com uma distribuição contínua (caso não esteja familiarizado com cálculo, dê uma olhada na Ideia 11 de Física). Vamos começar analisando a força $$dF$$ que um pedaçinho do fio – de carga $$dq$$ e comprimento $$a d\theta$$ – faz na carga de prova.
$$dF=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{qdq}{a^2}$$
Já que a carga é uniformemente distribuída, vamos definir um parâmetro $$\lambda=\dfrac{Q}{\pi a}$$, a densidade de carga linear, de tal forma que $$dq=\lambda dl=\lambda a d\theta$$:
$$dF=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{q\lambda a d\theta}{a^2}$$
Agora, perceba que, se olharmos para a força que um pedacinho oposto a esse exerce na carga de prova, as componentes horizontais das forças se cancelam. Sendo assim, precisamos olhar apenas para a componente vertical $$dF_y=dF \sin{\theta}$$:
$$dF_y=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{q\lambda a \sin{\theta} d\theta}{a^2}$$
Logo, integramos de $$\theta=0$$ até $$\pi$$ para obter a força total exercida pelo fio:
$$F=\dfrac{q\lambda}{4\pi \epsilon_0 a}\displaystyle \int_{0}^{\pi}{\sin{\theta}d\theta}$$
$$F=\dfrac{qQ}{2 \pi^2 \epsilon_0 a^3}$$.
Evidentemente, a força é de atração, vertical e aponta para cima.
O Campo Elétrico
Até então, discutimos o efeito de cargas elétricas umas nas outras. Agora, partamos para um conceito mais abstrato: analisar o efeito que uma carga/distribuição de cargas gera no espaço ao seu redor. Definiremos uma quantidade vetorial muito importante, chamada de campo elétrico, da seguinte forma:
$$\vec{E}=\lim_{Q\to0}\dfrac{\vec{F}}{Q}$$
Isto é; o campo elétrico gerado em um certo ponto do espaço por uma distribuição quaisquer de cargas é a força exercida sobre a carga de prova, no limite em que a carga de prova tende a zero. Para fins práticos (a necessidade do limite na definição formal ficará clara em aulas futuras):
$$\vec{F}=Q\vec{E}$$.
Então, temos, para uma distribuição discreta:
$$\vec{E}(\vec{r})=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \sum_{i=1}^{N}\dfrac{q_i}{r^2_i} \hat{r_i}$$.
E, contínua:
$$\vec{E}(\vec{r})=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} \displaystyle \int \dfrac{\hat{r}}{r^2} dq$$.
Perceba que o campo elétrico varia em cada ponto do espaço e não depende da carga de prova, mas, sim, da configuração das cargas geradoras do campo que buscamos calcular. Mas, afinal, o que realmente é o campo elétrico? Fisicamente falando, é a força por unidade de carga exercida na carga de prova caso esta fosse posicionada no ponto do espaço em que se deseja calcular o campo. Contudo, essa é uma interpretação muito simples de um conceito demasiadamente abstrato. Mas, podemos intuitivamente pensar que o campo é realmente uma entidade física, preenchendo todo o espaço na vizinhança de qualquer carga elétrica; esta interpretação nos ajudará em breve.
Vejamos o exemplo a seguir:
Exemplo 4:
Ache o campo elétrico no ponto $$P$$, que está a uma distância $$z$$ acima do ponto médio de duas cargas iguais $$q$$. Veja se o seu resultado é consistente com o esperado para $$z \gg d$$.
Solução:
Observe a imagem a seguir:
É evidente que as componentes horizontais do campo elétrico gerado por cada uma das cargas irão se cancelar, devido à simetria. Sendo assim, o campo elétrico total será a soma das componentes dos campos elétricos ao longo da reta que contém $$P$$ e o ponto médio entre as cargas:
$$E(z)=2E\sin{\alpha}$$
Onde $$E$$, o campo gerado por cada carga, será dado por:
$$E(z)=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{q}{\dfrac{d^2}{4}+z^2}$$
Logo, o campo em $$P$$ é
$$E(z)=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{2q}{\dfrac{d^2}{4}+z^2}\dfrac{z}{\sqrt{\dfrac{d^2}{4}+z^2}}=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0}\dfrac{2qz}{\left(\dfrac{d^2}{4}+z^2\right)^{3/2}}$$,
e aponta para verticalmente para cima. No limite em que $$z \gg d$$, esperamos que o campo seja praticamente aquele gerado por uma carga pontual $$2q$$. Desprezando os termos de segunda ordem na expressão obtida:
$$E(z)=\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{2q}{z^2}$$.
Que condiz com as nossas expectativas.