Física - Ideia 05

Escrita por Victor Ivo:

Massa Reduzida é um conceito muito útil para problemas de movimento relativo entre corpos, pois isso passa todas as variáveis do problema para uma só. Primeiramente, vamos mostrar que a energia cinética de dois corpos pode ser escrita como:

$E=\frac{M v_{cm}^{2}}{2}+\frac{\mu v_{rel}^{2}}{2}$

Sendo $M=m_{1}+m_{2}$ e $\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$, sendo $m_{1}$ e $m_{2}$ as massas do primeiro e segundo corpo, respectivamente. $v_{cm}$ é velocidade do centro de massa do sistema e $v_{rel}$ a velocidade relativa entre as massas.

Prova:

A energia cinética do sistema é igual à soma das energias cinéticas:

$E=\frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2}+\frac{m_{2} v_{2}^{2}}{2}$

Pelas definições de $\vec{v_{rel}}$ e $v_{cm}$:

$\vec{v}_{cm}=\frac{m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}}$

$\vec{v}_{rel}=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}$

E rearranjando as fórmulas para obter a velocidade dos corpos em função das duas novas variáveis:

$\vec{v}_{1}=\vec{v}_{cm}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \vec{v}_{rel}$

$\vec{v}_{2}=\vec{v}_{cm}-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \vec{v}_{rel}$

E pegando a energia cinética de cada corpo em função das novas variáveis:

$T_{1}=\frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2}=\frac{m_{1} \vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{1}}{2}$

$T_{1}=\frac{m_{1} v_{cm}^{2}}{2}+\frac{m_{1} m_{2}^{2} v_{rel}^{2}}{2(m_{1}+m_{2})^{2}}+m_{1} m_{2} \vec{v}_{cm} \cdot \vec{v}_{rel}$

E, fazendo a substituição análoga para $m_{2}$:

$T_{2}=\frac{m_{2} v_{cm}^{2}}{2}+\frac{m_{1}^{2} m_{2} v_{rel}^{2}}{2(m_{1}+m_{2})^{2}}-m_{1} m_{2} \vec{v}_{cm} \cdot \vec{v}_{rel}$

Portanto, a soma das energias é:

$T=T_{1}+T_{2}=\frac{(m_{1}+m_{2})}{2} v_{cm}^{2}+\frac{m_{1}m_{2} (m_{1}+m_{2})}{2(m_{1}+m_{2})^{2}} v_{rel}^{2}$

E, finalmente:

$T=\frac{(m_{1}+m_{2}) v_{cm}^{2}}{2}+\frac{m_{1} m_{2} v_{rel}^{2}}{2(m_{1}+m_{2})}$

Como queríamos demonstrar. Em problemas com sistemas isolados, i.e, com forças apenas internas, o momento do sistema é conservado e, portanto, a velocidade do centro de massa é constante. Desta maneira, o único termo relevante para o movimento do sistema é a energia devido ao movimento relativo, que é parecido com a energia cinética de um corpo. Em sistemas com potencial $V$, função da distância entre massas, a energia pode ser escrita como:

$E=T+V=\frac{\mu v_{rel}^{2}}{2}+V(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})=\frac{\mu v_{rel}^{2}}{2}+V(\vec{r}_{rel})$

A energia do centro de massa não foi colocada pois é constante, e um termo constante na energia não muda o movimento do sistema. Perceba que as 6 variáveis do sistema, posição da primeira e segunda massa nos três eixos, foram reduzidas para 3, as 3 componentes da distância relativa entre as massas. Ainda mais interessante é que em problemas unidimensionais o número de variáveis do sistema vai de 2 para 1, portanto tendo resolução em geral trivial ou reduzível ao problema de uma massa se movendo por um potencial. A ideia fica mais clara pelos exemplos.

Exemplos:

1 - Mola ligando duas massas:

Considere o problema de duas massas ligadas por uma mola sem massa de constante elástica $k$ e tamanho natural zero. As massas valem $m_{1}$ e $m_{2}$. Perceba que não existe força externa sobre o sistema, portanto ele pode ser reduzir ao formato mostrado na demonstração. Considerar a energia potencial da mola como:

$V=\frac{kx^{2}}{2}$

Sendo $x$ a distância entre as molas. Portanto, a energia do sistema é:

$E=\frac{\mu v^{2}}{2}+\frac{kx^{2}}{2}$

Perceba que isso é a energia de um corpo de massa $\mu$ preso a uma mola de constante elástica $k$, portanto a frequência de oscilação da massa na mola pode ser encontrada usando:

$m \rightarrow \mu$

E a frequência angular é:

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \rightarrow \sqrt{\frac{k}{\mu}}$

Portanto, a frequência de oscilação das massas é:

$\omega=\sqrt{\frac{k}{\mu}}=\sqrt{\frac{k (m_{1}+m_{2})}{m_{1} m_{2}}}$

 2 - Massas ligadas por corda de tração constante:

Considere duas massas ligadas por uma mola sem massa de tração constante e igual a $T$. A energia potencial devido à corda é igual a:

$U(l)=T l$

Onde $l$ é o tamanho da corda, pois a corda tem um ganho de energia $F \Delta x$ por ser distensidade de $x$ em qualquer ponta. A energia do sistema é portanto:

$E=T+V=T l+\frac{\mu v^{2}}{2}$

Isso é análogo ao problema de uma massa sendo acelerada num campo de força $F$ constante, sendo essa força nosso $T$ e a massa $\mu$. A taxa de variação da velocidade relativa entre as massas pode ser encontrada fazendo:

$m \rightarrow \mu$

E, portanto:

$a=\frac{F}{m} \rightarrow \frac{T}{\mu}$

E, finalmente:

$a=\frac{T}{\mu}=\frac{ (m_{1}+m_{2}) T}{m_{1} m_{2}}$

3 - Corpos orbitando um centro mútuo:

Considerando dois corpos se atraindo por meio de atração gravitacional, tendo uma delas massa $m_{1}$ e a outra massa $m_{2}$. A energia do sistema é:

$E=\frac{\mu v_{rel}^{2}}{2}-\frac{G m_{1} m_{2}}{d}$

Onde $d$ é a distância entre os corpos. Tomando a energia por massa para deixar a analogia mais clara:

$\frac{E}{\mu}=\frac{v_{rel}^{2}}{2}-\frac{G m_{1} m_{2}}{\mu d}$

E, no caso de um corpo atraído por outro muito mais massivo, a energia seria do tipo:

$\frac{E}{m}=\frac{v^{2}}{2}-\frac{GM}{d}$

Logo, para termos o caso análogo, devemos ter:

$M \rightarrow \frac{m_{1} m_{2}}{\mu}$

Portanto, como o período no caso do corpo muito massivo é:

$T=2\pi \sqrt{\frac{d^{3}}{GM}}$

Tomando a comparação entre os casos, temos:

$T=2\pi \sqrt{\frac{d^{3} \mu}{G m_{1} m_{2}}}$

$T=2 \pi \sqrt{\frac{d^{3} m_{1} m_{2}}{(m_{1}+m_{2}) Gm_{1} m_{2}}}$

$T=2 \pi \sqrt{\frac{d^{3}}{G(m_{1}+m_{2})}}$

Problemas Relacionados:

P1- Dois corpos iguais e de massa $m$ estão presos por uma mola de constante elástica $k$, tal que a deformação inicial delas é $x_{o}$. Qual a velocidade relativa máxima entre massas?

P2- Um corpo de massa $m$ e velocidade inicial inicial $v_{o}$ está em cima, e localizado em uma das pontas, de uma barra de massa $M$ e comprimento $L$. Sabendo que a gravidade vale $g$ e que o coeficiente de atrito entre o corpo e a barra vale $\mu$, encontre o valor máximo de $v_{o}$ para que o corpo não perca contato com a barra.

P3- Uma plataforma de massa M possui uma haste vertical, e na extremidade superior existe um cordão com uma massa $m$ presa a outra extremidade. Considere que não há atrito entre a plataforma e o solo. Determine o período para pequenas oscilações do sistema.

P4- Dois corpos, um de massa $m_{1}$ e $m_{2}$, estão em repouso no espaço e sob influência apenas de suas atrações gravitacionais. Sabendo que eles estão inicialmente a uma distância $d$, qual o tempo que eles levam para se chocar?

P5- Dois irmãs permanentes estão alinhados na horizontal  numa mesa muito lisa, tal que a distância entre eles dois é $d$, e devido ao tamanho finito deles a distância entre seus centros é $d+d_{o}$. Os imãs são segurados tal que a força entre eles dois é atrativa, e não tem torque gerado pela força. Se um dos imãs é segurado e o outro é solto, então elas colidem após $0,6 s$. Se o outro imã for segurado e o outro solto, eles colidem após $0,8 s$. Quanto tempo vai levar pra colisão se os dois imãs forem liberados ao  mesmo tempo?

Figura 01: Dois imãs alinhados se atraindo.