Física - Ideia 07

Escrita por Victor Ivo:

O teorema das três forças é talvez a ferramenta mais útil de estática, e seu conhecimento é aplicável principalmente em questões de olimpíada, onde as questões cobram mais que você tenha ideias do que você faça contas em si. Iremos enunciar o teorema, o provar, e colocar exemplos de aplicação dele para exemplificar seu uso.

Teorema:

"Se um sistema em equilíbrio translacional e rotacional está sob influência de três forças, tal que duas delas são não paralelas, então a linha de ação das três forças se cruza num dado ponto do espaço"

Prova:

A linha de ação de uma força é definida como a reta que é paralela à força e passa pelo ponto de aplicação dela. Dado que a linha de ação é uma reta, então duas linhas de ação não paralelas se cruzam em um ponto. Um sistema estar equilíbrio rotacional implica que o torque realizado sobre ele em relação a um dado ponto é zero. Contudo, um sistema estar sob equilíbrio translacional implica que vale:

$\vec{F}_{t}=\sum_{i} \vec{F}_{i}=\vec{0}$

Onde a força total $F_{t}$ é a soma realizada sob todas as forças do sistema. O torque realizado sobre o sistema em relação a um dado ponto $P$ é:

$\vec{\tau}_{P}=\sum_{i} \vec{r}_{i} \times \vec{F}_{i}$

Onde $\vec{\tau}$ é o torque total sobre o sistema e $\vec{r}_{i}$ é o vetor distância do ponto de aplicação da força ao ponto $P$. O torque em relação a um outro ponto $Q$, tal que o vetor distância de $P$ a $Q$ é $\Delta \vec{r}$, é:

$\vec{\tau}_{Q}=\sum_{i} (\vec{r}_{i}-\Delta \vec{r}) \times \vec{F}_{i}$

$\vec{\tau}_{Q}=\sum_{i} \vec{r}_{i} \times \vec{F}_{i} - \sum_{i} \Delta \vec{r} \times \vec{F}_{i}$

E como o vetor $\Delta \vec{r}$ é o mesmo para todos termos da soma:

$\vec{\tau}_{Q}=\vec{\tau}_{P}-\Delta \vec{r} \times \sum_{i} \vec{F}_{i}$

E, simplificando o segundo termo para a força total sobre o sistema:

$\vec{\tau}_{Q}=\vec{\tau}_{P}-\Delta \vec{r} \times \vec{F}_{t}$

Portanto, em sistemas em equilíbrio translacional vale que $\sum_{i} \vec{F}_{i}=\vec{0}$:

$\vec{\tau}_{Q}=\vec{\tau}_{P}$

E se um sistema estiver em equilíbrio rotacional, então o torque em relação a um ponto é nulo, e portanto, se ele está em equilíbrio translacional e rotacional, então o torque realizado sobre o sistema é nulo em relação a qualquer ponto. No caso de equilíbrio translacional e rotacional você pode tomar qualquer ponto para impor o equilíbrio rotacional, inclusive o ponto $A$ em que a linha de ação da primeira e segunda força se encontram, sendo elas não paralelas. O torque dessas duas forças em relação ao ponto $A$ é zero, pois como a linha de ação delas passa pelo ponto $A$, então a distância do ponto de aplicação de qualquer uma delas a esse ponto é paralela às forças, implicando que o produto vetorial dessas duas grandezas é zero. Desta forma:

$\vec{\tau}=\vec{r}_{1} \times \vec{F}_{1}+\vec{r}_{2} \times \vec{F}_{2}+\vec{r}_{3} \times \vec{F}_{3}=\vec{r}_{3} \times \vec{F}_{3}=\vec{0}$

Desta maneira, o produto vetorial da distância do ponto de aplicação da terceira força ao ponto $A$ com essa terceira força é zero e o módulo deve produto vetorial vale:

$|\vec{\tau}|=|r_{3}| |F_{3}| sen(\theta)=0$

Onde $\theta$ é o ângulo entre esses dois vetores. Para esse produto ser zero, ao menos uma das grandezas é zero, e isto deve ser analisado por casos. No primeiro caso, |r_{3}| é zero, o que pode acontecer se e somente se o ponto de aplicação da terceira força coincidir com o ponto $A$, o que garante trivialmente que a linha da terceira força passa pelo ponto $A$ e que portanto o teorema vale para esse caso. Como a força deve ser não nula para que exista a terceira força suposta, então o segundo termo não pode ser zero. Desta maneira, o único caso que ainda resta é o que o terceiro termo é zero, e esse seno só pode ser zero (no contexto de ângulo entre dois vetores) se o ângulo for zero ou $180^{\circ}$. Desta maneira, o vetor força deve ser paralelo ou antiparalelo à distância do ponto de aplicação da força até o ponto $A$. Contudo, como a linha de ação não tem sentido, a linha de ação é sempre paralela à distância do ponto de aplicação de força até o ponto $A$. Portanto, se esses dois vetores são paralelos, a linha de ação da terceira força passa pelo ponto $A$, de tal maneira que as linhas de ação das três forças passam pelo ponto $A$ e as linhas de ação passam todas pelo mesmo ponto, no caso em que existem duas forças não paralelas. Se não existirem duas linhas de ação não paralelas, então as três forças são paralelas, e portanto não é definido a intersecção delas e o teorema não pode ser usado. Provado o teorema, mostraremos a aplicação dele em questões simples,

Exemplos:

1 - Barra em superfícies lisas: Uma barra muito fina está apoiada em uma parede e chão lisos, tal que ela faz um ângulo $\alpha$ com a superfície do chão. A barra está sob influência do campo gravitacional $g$, perpendicular ao chao. Qual a condição para a barra estar em equilíbrio? Como a força de contato das duas superfícies é normal, pois do contrário haveria força de atrito, então quer dizer que o sentido da força é conhecido e o teorema das três forças pode ser aplicado. Como a força de contato com o chão é vertical e a força peso também, as linhas de força delas nunca se tocam, e a força de contato com a parede tocará uma delas em algum ponto, portanto as três forças nunca se encontram em um ponto e o equilíbrio não pode existir.

Figura 01: Barra inclinada encostando em superfícies lisas.

Veja que nessa questão usamos um corolário do teorema das três forças, que é que se um sistema está sob ação de três forças e duas delas são paralelas, então é impossível que ele esteja em equilíbrio, a não ser que as duas forças paralelas sejam aplicadas no mesmo ponto ou que todas três forças sejam paralelas (pois elas podem se encontrar num ponto no infinito).

Problemas Relacionados:

P1- Uma barra muito fina está apoiada em uma parede lisa e num chão com coeficiente de atrito $\mu$. Qual o ângulo $\alpha$ mínimo entre a barra e o chão para que ele esteja em equilíbrio?

P2- Uma barra leve e rígida é curvada em 90 graus, e uma bola pesada é presa a sua dobra. A barra é colocada em suportes com diferença de altura $h$ e distando $a$ entre si. Encontre a posição da barra no equilíbrio. Expresse a posição como o ângulo $\alpha$ entre a bissetriz do ângulo reto e a vertical. Considere que o movimento apenas ocorre no plano e ignore qualquer tipo de atrito.

Figura 02: Barra rígida com peso em sua dobra

P3- O fim de uma barra leve de tamanho $l$ é unido a uma circunferência de raio $r$. Uma massa $M$ é presa ao fim da barra e a circunferência é posta em cima de um cilindro que está rotacionado a uma velocidade angular constante e alta $\omega$. Sendo o coeficiente de atrito entre o cilindro e a circunferência $\mu$, encontre o ângulo da barra com a vertical no equilíbrio.

Figura 03: Barra presa a circunferência prestes a inclinar devido à rotação de um cilindro.

P4- Encontre o ângulo $\alpha$ de equilíbrio do exemplo 1, no caso em que o chão tem um coeficiente de atrito $\mu$ e a parede é lisa.

P5- Encontre o ângulo $\alpha$ de equilíbrio do exemplo 1, no caso em que o chão tem um coeficiente de atrito $\mu$, a parede é lisa, e a parede não é vertical mas faz um ângulo $\beta$ com a horizontal (ela está rotacionada no sentido horário da posição vertical original).