Física - Ideia 11

Escrita por Antônio Ítalo

O Cálculo é uma ferramenta amplamente utilizada em todos os ramos da física, por esse motivo, deve-se ter uma noção de como utilizá-lo para tornar questões mais fáceis. Duas partes do cálculo serão muito importantes na física, sendo abordadas a seguir:

Derivadas

A derivada de uma função é, por definição, a taxa de variação de uma função, sendo calculada por:

$f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Vamos dar um sentido à essa expressão. Pense em dois pontos de uma função dados por: $(x,f(x));(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$. Se observamos a reta que passa por esses dois pontos teremos que sua inclinação é dada por:

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Agora faça esse $\Delta x$ cada vez menor, conforme ele se aproximar de zero, a inclinação dessa reta se aproximará da inclinação da reta tangente, que é justamente a taxa de variação dessa função, ou seja, é a derivada, para melhor entendimento, veja a imagem seguinte:

Vejamos um exemplo do cálculo da derivada a seguir.

Exemplo 1:

Derivaremos a função $f(x)=x^{n}$ em relação a $x$ com $n$ inteiro:

$\frac{df}{dx}=lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}$

$\frac{df}{dx}=lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{x^{n}+nx^{n-1}\Delta x +O(\Delta x^{2})-x^{n}}{\Delta x}$

$\frac{df}{dx}=lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{nx^{n-1}\Delta x+ O(\Delta x ^{2})}{\Delta x}$

$\frac{df}{dx}=nx^{n-1}$

Obs: A notação $O(\Delta x^{2})$ significa que todos os outros termos serão da ordem de $\Delta x^{2}$ ou superior, quando comparado a um termo que não possui $\Delta x$ é zerado, já que fazemos o limite de quando $\Delta x$ vai à zero. Além disso, apesar demonstração só ser válida para inteiros, o resultado final é válido para qualquer número $n$ seja ele natural, inteiro, racional, real, ou até mesmo complexo.

Esse processo pode parecer um pouco trabalhoso, mas apresentaremos a seguir uma lista de regras e derivadas comuns que permitirão que você derive basicamente qualquer função. Clique aqui para ver uma lista completa de derivadas, não é necessário saber todas, saber as simples, a exponencial e a de algumas funções trigonométricas já é suficiente. A seguir, com base nas derivadas dessa lista, exemplificaremos algumas regras de derivadas.

 

Regra 1: Regra do produto

Se temos uma função $f(x)=g(x).h(x)$, então, $f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$

Exemplo: $f(x)=x^{2}=x.x$ $f'(x)=1.x+x.1 \rightarrow f'(x)=2x$

Regra 2: Regra do quociente

Se temos uma função $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$, então, $f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}$

Exemplo: $f(x)=\tan{x} \rightarrow f(x)=\frac{\sin x}{\cos x} \therefore f'(x)=\frac{\cos^{2} x -\sin x . (-\sin x)}{\cos^{2} x} \rightarrow f'(x)=\frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} \rightarrow f'(x)=sec^{2} x$

Regra 3: Regra da cadeia

Se temos uma função $f(x)=g(h(x))$, então $f'(x)=\frac{dg(h(x))}{d(h(x))}.\frac{dh(x)}{dx}$

Exemplo: $f(x)=\sin^{2} x \rightarrow f'(x)=\frac{d(\sin x)^{2}}{d(\sin x)}.\frac{d(\sin x)}{dx} \rightarrow f'(x)=2.\sin{x}.\cos{x} \rightarrow f'(x)=\sin{2x}$

 

Agora, vejamos alguns exemplos físicos da aplicação das derivadas em física. Por definição, temos que a velocidade média entre dois pontos (vetorialmente) é:

$\vec{V_{med}}=\frac{\vec{S}_{t+\Delta t}-\vec{S}_{t}}{\Delta t}$

Se quisermos então a velocidade instantânea, então devemos fazer $\Delta t$ ir à zero, logo, teremos:

$\vec{V}=\frac{d\vec{S}}{dt}$

Portanto, se tivermos a posição de um objeto como uma função do tempo, podemos encontrar sua velocidade em função do tempo através da derivada. Analogamente, podemos encontrar a aceleração desse objeto, derivando a posição duas vezes, obtendo então a derivada de segunda ordem da posição desse objeto.

$\vec{a}=\frac{d^{2}\vec{S}}{dt^{2}}$

Mas e se tivermos a velocidade de um corpo em função do tempo e quisermos sua posição em função do tempo? Podemos descobrir sua posição em função do tempo a partir da nossa próxima ferramenta: a Integral.

Mínimos e máximos de uma função

Diversas vezes, em problemas de física, buscamos o mínimo e o máximo de funções, um dos maiores exemplos disso é a própria lei da refração. No estudo da ótica entramos em contato com o famoso princípio de Fermat que diz que a luz sempre percorrerá o caminho de tempo mínimo, portanto, se a mesma muda de meio e, consequentemente, de velocidade, então, temos que o caminho de tempo mínimo entre um ponto $P_{1}$ em um meio de índice de refração $n_{1}$ e um ponto $P_{2}$ em um meio de índice de refração $n_{2}$ não necessariamente será uma reta, entretanto, sabemos que dentro de cada um dos meios a luz deve se propagar em linha reta, ou seja, o caminho entre $P_{1}$ e $P_{2}$ deve ser composto de duas retas, veja a figura a seguir para melhor compreensão:

Nessa figura, temos como parâmetro variável somente $y_{1}$ e $y_{2}$, mas sua soma, $y_{tot}=y_{1}+y_{2}$ não varia, pois depende somente da posição dos pontos $P_{1}$ e $P_{2}$. Sendo assim, escrevamos o tempo que a luz levará para percorrer o caminho entre esses dois pontos em função de $y_{1}$:

$t= t_{1} +t_{2}$

$t=\frac{d_{1}}{v_{1}} +\frac{d_{2}}{v_{2}}$

$t=\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}{v_{1}}+\frac{\sqrt{x_{2}^{2}+(y_{tot}-y_{1})^{2}}}{v_{2}}$

Temos então a função $t (y_{1})$ e agora precisamos minimizá-la, entrando aqui uma das maiores utilidades da derivada, observe a figura a seguir:

Como pode-se observar na figura, a derivada em pontos máximos ou mínimos de uma função deve ser nula, pois a reta tangente nesse ponto será horizontal, portanto, para acharmos o mínimo da nossa função $t (y_{1})$ basta a derivarmos em relação a $y_{1}$ e igualarmos essa derivada a zero. A partir daqui, os cálculos de derivadas podem ficar um pouco confusos, então recomendo que tente fazer linha a linha com base na tabela deixada anteriormente para melhor entendimento, se necessário, faça alguns dos exercícios de derivadas deixado no final dessa Ideia antes de prosseguir.

$\frac{dt}{dy_{1}}=\frac{1}{v_{1}}\frac{d}{dy_{1}}(\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}) +\frac{1}{v_{2}}\frac{d}{dy_{1}}(\sqrt{x_{2}^{2}+(y_{Tot}-y_{1})^{2}})$

Defina:

$A=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$ e $B=x_{1}^{2}+(y_{tot}-y_{1})^{2}$

$\frac{dA}{dy_{1}}=2y_{1}$ e $\frac{dB}{dy_{1}}=-2(y_{tot}-y_{1})$

Temos, pela regra da cadeia:

$\frac{dt}{dy_{1}}=\frac{1}{v_{1}}\frac{d}{dy_{1}}(\sqrt{A})+\frac{1}{v_{2}}\frac{d}{dy_{1}}(\sqrt{B})$

$\frac{dt}{dy_{1}}=\frac{1}{v_{1}}\frac{dA}{dy_{1}}\frac{d\sqrt{A}}{dA}+\frac{1}{v_{2}}\frac{dB}{dy_{1}}\frac{d\sqrt{B}}{dB}$

$\frac{dt}{dy_{1}}=\frac{1}{v_{1}}\frac{2y_{1}}{2\sqrt{A}}+\frac{1}{v_{2}}\frac{-2(y_{tot}-y_{1})}{2\sqrt{B}}$

$\frac{dt}{dy_{1}}=\frac{\sin{\theta_{1}}}{v_{1}}-\frac{\sin{\theta_{2}}}{v_{2}}$

Igualando a zero e multiplicando ambos os lados por $c$:

$n_{1}\sin{\theta_{1}}=n_{2}\sin{\theta_{2}}$

Que é a lei de Snell para a refração. Esse exemplo foi escolhido para demonstrar como a derivada é fundamental em vários ramos da física e principalmente para ensinar como encontrar condições de máximos e mínimos para uma função, será deixado como exercício a demonstração da segunda lei da reflexão $\theta_{I}=\theta_{R}$.

Questões relacionadas:

P1 - Somente treino

Calcule a derivada das seguintes funções:

a) $f(x)=x\ln{x}-x$

b) $f(x)=x\ln{x^{2}}$

c) $f(x)=\frac{x^{n+1}\ln{x}}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}}$ onde $n\neq -1$

d) $f(x)=e^{-x^{2}}$

e) $f(x)=\sin^{2}{x}$

f) $f(x)=\cos^{2}{x}$

P2- Reflexão da luz

Através do princípio de Fermat, mostre que um raio incidente em uma superfície refletora faz o mesmo ângulo com a normal da superfície que o raio refletido.

P3- Outras coordenadas

Em coordenadas polares, troca-se $(x,y)$ por $(r,\theta)$, onde $\theta$ é o ângulo que o vetor posição faz com o eixo $x$, positivo no sentido anti-horário. Mostre que a aceleração em coordenadas polares é dada por:

$\ddot{\vec{r}}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta}}^{2})\hat{r}+(2\dot{\theta}\dot{r}+\ddot{\theta}r)\hat{\theta}$

Onde temos $\dot{a}=\frac{da}{dt}$, $\ddot{a}=\frac{d^{2}a}{dt^{2}}$, $\hat{r}$ é o versor que aponta na direção do vetor posição e $\hat{\theta}$ é o versor que aponta na direção de crescimento do ângulo $\theta$.

Integrais

Antes de entrarmos completamente no conceito de integral, apresentarei rapidamente o conceito de diferenciais. Diferenciais são variações infinitesimais de uma função, dessa forma a derivada de uma função $f(x)$ em relação a $x$ é simplesmente a razão entre o diferencial da função $f(x)$ e o diferencial da função $x$. Sabendo disso, na maior parte das vezes podemos tratar derivadas como frações de diferenciais, note que como diferenciais são infinitesimais em geral podemos tratar qualquer termo de produto entre diferenciais como $0$. Sabendo desse conceito podemos procurar o que chamamos de anti-derivada de uma função. (Função $F(x)$):

$\frac{dF}{dx}=f(x)$

$dF=f(x)dx$

Vamos analisar o significado dessa expressão. Quando multiplicamos o valor de uma função $f(x)$ por um diferencial de $x$ teremos um diferencial da anti-derivada dessa função, portanto, se somarmos todos esses diferenciais em um intervalo de $a$ até $b$, teremos a variação da função anti-derivada de $a$ até $b$. Esse somatório é o que chamaremos de integral.

$F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx$

No caso, essa será a integral definida da função, pois age em um intervalo, note que não existe só uma função $F(x)$ que satisfaz isso, pois podemos adicionar e subtrair constantes arbitrariamente, então, costuma-se dizer que a anti-derivada é a integral indefinida, dada por:

$\int f(x)dx=F(x)+C$

Agora, mostrarei a intuição do teorema fundamental do cálculo, que pode ser enunciado da seguinte forma:

A "área orientada" entre uma função e o  eixo $x$ em um intervalo de $a$ até $b$ é igual a variação da anti-derivada dessa função nesse intervalo.

Primeiramente, devemos entender o que é área orientada de uma função em um intervalo. Observe a figura a seguir:

Observe que há momentos em que essa função é negativa. Definimos então que quando a função está abaixo do eixo x, a contribuição desse pedaço da função para a área orientada é negativa. Isso é como se estivéssemos definindo uma altura negativa. Temos que essa área orientada será negativa também se quisermos ela em um intervalo $[a,b]$ onde $a>b$. Nesse caso, teremos que um diferencial de área orientada é, quase por definição:

$dA=f(x)dx$

Essa expressão é o mesmo que pegar um retângulo com início na posição $x$ e dizer que esse tem altura $f(x)$ e base $dx$, sendo então a diferencial de área orientada dada pela área orientada desse retângulo. Logo, podemos somar todos esses diferenciais e teremos:

$A_{a\Rightarrow b}=F(b)-F(a)$

Que é justamente o teorema fundamental do Cálculo. Gostaria de lembrar que as ideias que estamos apresentando aqui não seguem os formalismos matemáticos utilizados em um curso de cálculo e são simplesmente noções intuitivas de como usar o cálculo.

Exemplo 2:

Calcule o valor da integral indefinida da função $f(x)=x^{n}$

Como visto anteriormente sabemos que a derivada de uma função $g(x)=x^{n}$ é igual a $g'(x)=nx^{n-1}$. Portanto, se observarmos a função $F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ e a derivarmos $F'(x)=x^{n}=f(x)$ veremos que essa função é a anti-derivada de $f(x)$, logo teremos que a integral indefinida de $f(x)$ é:

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Observe que esse foi um exemplo simples pois era fácil pensar em uma função cuja derivada fosse $f(x)$, mas veremos exemplos mais complicado e utilizaremos algumas regras, propriedades e integrais conhecidas para resolvermos. Clique aqui para acessar uma tabela completa de derivadas e integrais. A seguir, veremos algumas propriedades de integrais e como as utilizar para resolver integrais um pouco mais complexas.

Propriedade 1: Integral da soma

Dada uma função $f(x)=g(x)+h(x)$, temos que: $\int f(x)dx=\int g(x)dx + \int h(x)dx$

Exemplo: $\int x^{2}+x^{3} dx=\int x^{2}dx +\int x^{3}dx= \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}$

Propriedade 2: Produto da função pela constante

Dada uma função $f(x)=a.g(x)$, temos que: $\int f(x)dx=c\int g(x)dx$

Exemplo:$\int 2xdx=2\int xdx=2\frac{x^{2}}{2}=x^{2}$

Propriedade 3: Mudança dos limites de integração

Dada uma função $f(x)$ qualquer, temos que: $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx$

Exemplo: Tenhamos uma função não contínua $f(x)=2x$ se $0 \leq x \leq 5$ e $f(x)=20-2x$ se $5 \leq x \leq 10$. Calculemos a integral definida de $0$ a $10$ dessa função. Temos:

$\int_{0}^{10} f(x)dx=\int_{0}^{5}f(x)dx +\int_{5}^{10}f(x)dx$

$\int_{0}^{10} f(x)dx=\int_{0}^{5} 2xdx+\int_{5}^{10}20dx -\int_{5}^{10}2xdx$

$\int_{0}^{10} f(x)dx=(5^{2}-0^{2})+20(10-5)-(10^{2}-5^{2})$

$\int_{0}^{10}f(x)dx=25+100-100+25=50$

A partir de agora, estudaremos algumas técnicas básicas para resolver integrais um pouco mais complicadas.

Técnica 1: Mudança de variável

A técnica de integração por mudança de variável é análoga à regra da cadeia para derivadas e, basicamente consiste em chamarmos uma certa função de $x$ de $U(x)$ por exemplo e fazermos a substituição: $dx=\frac{dU}{U'}$. Isso fica mais simples de entender em alguns exemplos:

Exemplos:

Calcule:

a) $I=\int_{0}^{\pi}\sin 2x dx$

Nesse caso, faremos a seguinte substituição:

$U=2x$

$dx=\frac{dU}{2}$

Devemos tomar cuidado, pois nesse caso devemos também mudar os limites de integração.

$I=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin U dU$

Conforme nossa tabela, sabemos que a integral indefinida de $\sin x$ é $-\cos x+C$ como você pode verificar ao derivar $-\cos x +C$

$I=\frac{1}{2}(-\cos \pi - (-\cos 0))$

$I=\frac{1}{2}(1-1)$

$I=0$

b) $I=\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

Nesse caso, faremos a seguinte substituição:

$U=\arcsin \frac{x}{a}$

Aproveitando a situação, mostraremos uma maneira de calcular a derivada de uma função $y(x)=\arcsin x$. Para começar, apliquemos a função seno de ambos os lados da equação:

$\sin y=x$

Podemos, então, derivar ambos os lados em relação a x e aplicar a regra da cadeia:

$\cos y \frac{dy}{dx}=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2}y}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Sendo assim, podemos voltar ao problema original e concluir, pela regra da cadeia, que:

$dU=\frac{dx}{a\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}$

$dx=a\sqrt{1-\sin ^{2} U}dU$

$dx=a\cos U dU$

Perceba que esse resultado poderia ser obtido diretamente se tivéssemos escrito:

$\sin U=\frac{x}{a}$

E derivado ambos os lados em relação a x.

Logo:

$I=\int \frac{a\cos U dU}{a\cos U}$

$I=\int dU$

$I=U+C$

Voltando para a definição de $U$:

$I=\arcsin \frac{x}{a} +C$

Técnica 2: Integração por partes

A técnica de integração por partes é uma consequência direta da regra da derivada do produto, veja a seguir uma pequena demonstração da mesma:

$I=\int f(x) g'(x) dx$

$I=\int f\frac{dg}{dx} dx$

$I=\int (\frac{d(f g)}{dx}-g\frac{df}{dx})dx$

$I=\int \frac{d(f g)}{dx} dx - \int g\frac{df}{dx}dx$

$I=f g-\int g\frac{df}{dx}dx$

Uma maneira um pouco mais memorável de se escrever isso é:

$\int f dg=f g-\int g df$

A seguir, segue-se um exemplo da utilidade da integração por partes.

Exemplos:

Calcule: $I=\int x^{n} \ln x dx$ para $n\neq -1$

Nesse caso, chamaremos:

$U=\ln x$

$dU=\frac{dx}{x}$

$dV=x^{n}dx$

$V=\frac{x^{n+1}}{n+1}$

Logo, temos:

$I=\int U dV$

$I=U V -\int V dU$

$I=\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\int \frac{x^{n+1}}{n+1}\frac{dx}{x}$

$I=\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int x^{n} dx$

$I=\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1)^{2}}$

 

Agora, revejamos alguns exemplos físicos do uso de derivadas. Sabemos que:

$\vec{V}=\frac{d\vec{S}}{dt}$

$\vec{a}=\frac{d\vec{V}}{dt}$

Logo, sabemos que:

$\vec{V}=\vec{V_{0}}+\int_{0}^{t} \vec{a} dt$

$\vec{S}=\vec{S_{0}}+\int_{0}^{t} \vec{V} dt$

Ou seja, agora dado qualquer uma das funções $\vec{S_{(t)}}$ ou $\vec{V_{(t)}}$ ou $\vec{a_{(t)}}$ podemos obter as outras duas. Claro, talvez seja necessário a aplicação de algumas condições iniciais como $\vec{V_{0}}$ ou $\vec{S_{0}}$.

Teorema do Trabalho

Diferentemente das derivadas, não há um exemplo físico tão interessante quanto a lei de Snell para mostrar com essa nova ferramenta, entretanto, com ela é possível desenvolver melhor alguns formalismos em diversas áreas da Física, um exemplo disso é o teorema do trabalho, que diz:

$W=\int \vec{F}\cdot d\vec{r}=\Delta T$

Onde $T$ é a energia cinética da partícula e $W$ é o trabalho sendo igual, por definição, à integral mostrada. Essa integral pode parecer um pouco estranha pois é uma integral de caminho, ou seja, escolhemos uma curva entre dois pontos e realizamos ela sobre essa curva. Observe que $d\vec{r}=dx\hat{i}+dy\hat{j}+dz\hat{k}$ é definido como o diferencial do vetor posição $\vec{r}$. Ou seja, essa integral é uma soma ao longo de uma curva definida de um vetor $F$ que pode variar ao longo dessa curva. Vejamos um exemplo mais concreto a seguir antes de prosseguirmos com a demonstração do teorema do trabalho. Esse tipo de integral em geral é chamada de integral de linha. (Esse tipo de integral é frequentemente mencionada em estudos mais avançado de Eletromagnetismo por exemplo).

Exemplo:

Dado um campo vetorial (Não se preocupe muito com o significado disso, mas, em resumo, significa um conjunto de vetores que está preenchendo todo o espaço) que é definido pela função: $\vec {A}=2\hat{i}+2\frac{y}{x}\hat{j}+3\frac{z}{y}\hat{k}$. Calcule a integral de linha desse campo vetorial sob uma reta que vai de $\vec{r}=(1\hat{i}+1\hat{j})$ $m$ até $\vec{r}=(2\hat{i}+2\hat{j})$ $m$.

Note que para a resolução desse problema devemos possuir a função dessa reta, sendo nesse caso bem simples notar que é dada por:

$y=x$

Sendo assim, nessa reta podemos expressar nosso campo vetorial como:

$\vec{A}=2\hat{i}+2\hat{j}+3\frac{z}{y}\hat{k}$

Temos também que:

$d\vec{r}=dx\hat{i}+dx\hat{j}+dz\hat{k}$

Sendo assim, o produto escalar é:

$\vec{A}\cdot d\vec{r}=4dx$

Integrando:

$\int\vec{A}\cdot d\vec{r}=4$ $m$

Tendo entendido esse exemplo, podemos prosseguir para a demonstração do teorema do trabalho.

Obs: Alguns podem estar questionando a forma como foi feito o produto escalar, pois geralmente o mesmo é apresentado por $\vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos{\theta}$, entretanto, pode-se demonstrar que isso é igual à $A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$, ficando então a critério do leitor pesquisar ou não sobre essa demonstração.

Demonstração:

Sabemos, pela segunda lei de Newton, que:

$\vec{F}=m\vec{a} \rightarrow \vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}$

$\vec{F}=m\left(\frac{dv_{x}}{dt}\hat{i}+\frac{dv_{y}}{dt}\hat{j}+\frac{dv_{z}}{dt}\hat{k}\right)$

Fazendo o produto escalar pelo diferencial de vetor posição da partícula, temos que:

$\vec{F}\cdot d\vec{r}=m\left(\frac{dv_{x}}{dt}dx+\frac{dv_{y}}{dt}dy+\frac{dv_{z}}{dt}dz\right)$

$\vec{F}\cdot d\vec{r}=m\left(v_{x}dv_{x}+v_{y}dv_{y}+v_{z}dv_{z}\right)$

Integrando:

$W=\frac{m}{2}(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}-v_{0x}^{2}-v_{0y}^{2}-v_{0z}^{2})$

$W=\frac{mv^{2}}{2}-\frac{mv_{0}^{2}}{2}$

Por definição, $\frac{mv^{2}}{2}=T$, logo:

$W=\Delta T$

Questões relacionadas:

P1- Somente treino

Calcule as integrais indefinidas das seguintes funções:

a) $f(x)=\cos \ln x$ (Essa pode ser complicada, mas se usar um pouco de complexos sai num pulo!)

b) $f(x)=\sec x$

c) $f(x)=\tan x$

d) $f(x)=\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

e) $f(x)=\sin ^{3} x$

f) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

P2-M.H.S.

Resolva explicitamente por meio de integração a equação de movimento de um M.H.S. de frequência $\omega$. Caso não conheça a equação é dada pela segunda lei de Newton:

$m\ddot{x}= -m\omega ^{2} x$

$\ddot{x}+\omega ^{2} x=0$

Dica: Primeiro, tente encontrar a velocidade em função da posição e então resolva para $x(t)$

P3-Resistência do ar linear

Resolva explicitamente por meio de integração a equação de movimento de um lançamento oblíquo sob influência de um campo gravitacional $g$ e sujeita à uma força de arrasto do tipo:

$\vec{F}=-b\vec{v}$

Encontre $x(t)$, $y(t)$ e $y(x)$. Use como origem do sistema de coordenadas os ponto de lançamento e, para a velocidade inicial, temos:

$\vec{v_{0}}=v_{0x}\hat{i}+v_{0y}\hat{j}$

Ao final, faça o limite em que $b$ vai à zero.