Escrito por Paulo Henrique

Introdução

Quando se quer resolver um circuito analiticamente o primeiro passo é escrever as equações de Kirchkoff que descrevem as correntes através de cada trecho do circuito. Em muitos casos, isso é feito diretamente por inspeção do diagrama do circuito. Dependendo da complexidade do circuito em questão, essa tarefa é trabalhosa e inviavél de se fazer, tendo em vista o tempo limitado de prova de uma olímpiada, por exemplo. Com a aplicação de alguns teoremas que serão ensinados nessa aula, o circuito pode ser simplificado, e com a utilização de métodos sistemáticos o problema pode ser resolvido facilmente.

A partir de agora, admita que todos os elementos de circuito são lineares: os valores das resistências não dependem da corrente que nelas passsam. Sendo assim, a relação

$V=RI$

é válida.

Teorema de Thévenin

Considere um circuito $A$ conectado a um outro circuito $B$ através de seus terminais. O objetivo desse teorema é mostrar que no ponto de vista do circuito $B$,  $A$ atua simplesmente como fosse uma fem $E_{TH}$ em série com uma resistência $R_{TH}$.

Como determinar essas quantidades? O teorema independe da natureza de $B$ (circuito externo), mas, por questão de simplicidade, consideremos $B$ como sendo uma fem $E$. A prova geral será deixada como exercício em um problema no final da aula.

Como exemplo, considere o circuito da figura abaixo.

Utilizando lei das malhas (utilizando o método do 'loop", onde cada malha está associada a uma corrente. A única diferença desse formalismo é que as equações de conservação de corrente em cada nodo são satisfeitas automaticamente. Para obter a corrente real em algum trecho, deve ser feita a soma algébrica das correntes de malhas adjacentes), chegamos nas seguintes equações:

$0=E+E_2-(I-I_2)R_4$

$0=-E_2+E_1-I_1R_1-(I_1-I_2)R_2$

$0=E_3-(I_2-I)R_4-(I_2-I_1)R_2-I_2R_3$

Essas 3 equações são da mesma forma: todas possuem termos lineares nas fems e produtos entre $I$ e $R$. Esse conjunto de equações pode ser escrito na forma matricial do tipo:

$\mathbf{I}\mathbf{M}=\mathbf{E}$

Onde $\mathbf{M}$ é uma matriz cujos elementos são funções somente das resistências, $\mathbf{I}$ é matriz coluna (com elementos $I$, $I_1$, $I_2$...,$I_n$) e $\mathbf{E}$ é uma matriz coluna com elementos sendo combinações lineares das fems. No presente caso, temos

 

 

A solução para as corrente é $I=M^{-1}E$. A priori, não sabemos exatamente a forma de $\mathbf{M^{-1}}$. Mas isso não importa: $\mathbf{M}$ só depende das resistências e como $\mathbf{E}$ é linear nas fems as correntes também serão. Portanto:

$$I=aE+a_1E_1+a_2E_2+2+a_3E_3+3+...+a_nE_n$$

Onde n é o número de fems no circuito e os coeficientes $a_i$ são constantes que dependem das resistências. Defina

$$R_{TH}=\dfrac{1}{a}$$

$$E_{TH}=\dfrac{a_1E_1+a_2E+2+a_3E+3+...+a_nE_n}{a}$$

Com essas definições

$$E+E_{TH}=IR_{TH}$$

Mas a equação acima é exatamente o que iríamos obter se o circuito $A$ fosse substuitido por uma fem $E_{TH}$ em série com uma resistência $R_{TH}$. Conforme dito antes, os coeficiente $a_i$ só dependem das resistências do circuito. Portanto, para descobrir $R_{TH}$ podemos usar qualquer conjunto de valores convenientes para as fems $E_1$, $E_2$,..., $E_n$. Sendo assim, escolhendo todas as fems como $0$ vemos que $R_{TH}$ é dado pela resistência equivalente entre os terminais do circuito quando todas as fems são zeradas, ou seja, substituidas por fios lisos ($E_{TH}=0$). Com o valor de $R_{TH}$ podemos fazer $E=0$ (equivale aos terminais em curto-circuito, ou seja, um fio liso os conectando), o valor de $E_{TH}$ é dado por

$$E_{TH}=I_{CC}R_{TH}$$

Onde é $I_{CC}$ é a corrente que passaria por $B$ se os terminais fossem conectados por um fio liso. O subscrito "CC" vem de "curto circuito". Há outra forma de calcular $E_{TH}$, a prova é parte de um problema do final da aula. $E_{TH}$ é dado pela diferença de potencial através dos terminais quando $B$ é removido do sistema, ou seja, é a d.d.p. de circuito aberto.

Para se familiarizar com esse teorema, considere os dois seguintes exemplos:

Caso inicial

Qual a diferença de potencial entre os pontos $a$ e $b$?

Considere como circuito externo $B$ (chamado também de "carga") a bateria $E$ em série com a resistência $R$ (também funciona se escolhermos a carga como sendo a resistência R ), agora deixemos de lado $B$ para calcular $E_{TH}$ e $R_{TH}$. Quando as duas fems de cima são substituidas por fios lisos, a resistência equivalente entre os pontos $a$ e $b$ é a de uma resistência $3R/2$ em paralelo com uma $R$, logo

$$R_{TH}=3R/5$$

Agora, coloquemos de volta as duas baterias e calculemos $E_{TH}$. Para treinar, faremos isso das duas formas: calculando a d.d.p. de circuito aberto, e através da relação $I_{CC}R_{TH}$. Primeiramente, considere a figura abaixo, onde a carga ja foi retirada:

As equações de loop são:

$$E-RI_1-E-RI_1+RI_2=0$$

$$-3RI_2+E+RI_1=0$$

A solução para esse sistema é

$$I_2=\dfrac{2E}{5R}$$

$$I_1=\dfrac{E}{5R}$$

A d.d.p. de circuito aberto será

$$V_b-V_a=E_{TH}=RI_2=\dfrac{2E}{5}$$

Portanto, com o circuito simplificado, podemos calcular a corrente na carga (tenha cuidado com a polaridade de $E_{TH}$, o potencial de $b$ é maior que o de $a$).

$$E-2E/5=(R+3R/5)I$$

O que dá

$$I=3E/8R$$

Sendo assim, a diferença de potencial entre os pontos $a$ e $b$ é

$$V_b-V_a=E-RI=5E/8$$

Agora, calculemos $I_{CC}$ (considerarei ainda a carga como sendo o trecho com a bateria).

As equações de loop são

$$E-2RI_1-E+RI_2=0$$

$$-2RI_2+RI_1+E=0$$

O que da

$$I_2=I_{CC}=2E/3R$$

Portanto

$$E_{TH}=I_{CC}R_{TH}=\dfrac{3R}{5}\dfrac{2E}{3R}=2E/5$$

Que é o mesmo valor obtido quando calculamos a d.d.p. de circuito aberto.

Potência máxima

Determine qual deve ser a resistência da carga conectada ao circuito através de seus terminais tal que a potência dissipada nessa resistência é máxima.

Pelo teorema de Thévenin, o circuito é equivalente a uma fem $E_{TH}$ em série com uma resistência $R_{TH}$. É um resultado conhecido que a potência máxima é obtida quando a resistência da carga é igual a resistência interna da bateria (que no nosso caso representa a resistência Thévenin). Portanto, a resistência procurada é a própria resistência Thévenin, que pode ser calculada facilmente

$$R_{TH}=\dfrac{\left(R+r\right) R}{2R+r}+R // R=\dfrac{3R^2+2rR}{5R+3r}$$

 

Princípio da superposição

Na nossa análise do teorema de Thévenin, foi provado que quando estamos lidando com elementos lineares, a corrente em um trecho qualquer de um circuito qualquer é dada por

$$I=a_1E_1+a_2E_2+2+a_3E_3+3+...+a_nE_n$$

Onde os coeficientes $a_i$ dependem somente dos valores da resistências envolvidas. Devido a essa linearidade segue um importante teorema

A corrente total fluindo em qualquer parte do circuito é igual a soma algébrica das correntes que fluiríam nessa parte se cada f.e.m. atuasse sozinha, todas as outras estando em curto circuito.

A prova desse teorema é imediata:

Considere, por simplicidade, que no circuito só há 3 fem: $E_1$, $E_2$ e $E_3$. A corrente no trecho $J$ (trecho qualquer) é dada por:

$$I=(a_1E_1)+(a_2E_2)+(a_3E_3)$$

Mas observe que cada termo separado pelos parenteses representam a corrente no trecho $J$ se as outras duas fems são 0 (fios lisos).

Duas fontes

Determine a corrente em todos os resistores. Para facilitar as contas faça $E_1=E_2=E$ e $R_1=R_2=R_3=R_4=R$.

Conforme vimos acima, podemos substituir cada fonte por um fio liso e calcular a soma algébrica das correntes que passariam em cada resistor nessa situação hipotética. Primeiramente, quando a fonte 1 é retirada, a corrente nos resistores é $E/2R$, para baixo em $R_1$, para a esquerda no resistor $R_2$, para baixo no resistor $R_1$ e para a esquerda no resistor $R_4$. Quando a fonte 2 é retirada, similarmente ao primeiro caso, a corrente em cada resistor é $E/2R$: para baixo no resistor $R_1$, para a direita no reisistor $R_4$, para a direita no resistor $R_2$ e para baixo no resistor $R_3$. Efetuando a soma algébrica

$$I_1=I_3=E/R$$

$$I_2=I_4=0$$

 

Problemas

Resistor de $15\Omega$

Considere o circuito abaixo. Se um resistor de $15\Omega$ é conectado através dos terminais do circuito qual corrente passará por ele? (Resposta: $I=2A$)

Equivalentes Thévenin

Para o circuito abaixo, encontre os valores de $R_{TH}$ e $E_{TH}$ em relação aos terminais $a$ e $b$. Todas as fems valem $1,5V$ e todas as resistências $100\Omega$. (Resposta: $E_{TH}=0,3V$ e $R_{TH}=120\Omega$)

Circuito infinito

Determine a fem equivalente do circuito abaixo. (Resposta: $E{eq}=E(1+\frac{r}{h})$ onde $h=\frac{r}{2}(1+\sqrt{1+4\frac{R}{r}})$)

Superposição em malhas infinitas

Determine a resistência equivalente entre os potos $A$ e $C$ da malha infinita abaixo. Cada fio têm resistência $r$. (Resposta: $R=r$)

E com capacitor?

Determine a diferença de potencial entre as placas do capacitor. (Resposta: $V=\dfrac{E_2R_3(R_1+R_2)-E_1R_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$)

Desafio

Demonstre o teorema de Thévenin sem simplificações. Mostre também que

$$E_{TH}=V_{circuito aberto}$$

Dica: Use o princípio da superposição. Se preferir considere que o circuito $B$ não possui fem. Isso não restringe a demonstração visto que, pelo princípio da superposição, a corrente em $B$ devido a $A$ não depende dessas fems internas.