Escrito por Paulo Henrique

Introdução

Quando se quer resolver um circuito analiticamente o primeiro passo é escrever as equações de Kirchkoff que descrevem as correntes através de cada trecho do circuito. Em muitos casos, isso é feito diretamente por inspeção do diagrama do circuito. Dependendo da complexidade do circuito em questão, essa tarefa é trabalhosa e inviavél de se fazer, tendo em vista o tempo limitado de prova de uma olímpiada, por exemplo. Com a aplicação de alguns teoremas que serão ensinados nessa aula, o circuito pode ser simplificado, e com a utilização de métodos sistemáticos o problema pode ser resolvido facilmente.

A partir de agora, admita que todos os elementos de circuito são lineares: os valores das resistências não dependem da corrente que nelas passsam. Sendo assim, a relação

$$V=RI$$

é válida.

Teorema de Thévenin

Considere um circuito $$A$$ conectado a um outro circuito $$B$$ através de seus terminais. O objetivo desse teorema é mostrar que no ponto de vista do circuito $$B$$,  $$A$$ atua simplesmente como fosse uma fem $$E_{TH}$$ em série com uma resistência $$R_{TH}$$.

Como determinar essas quantidades? O teorema independe da natureza de $$B$$ (circuito externo), mas, por questão de simplicidade, consideremos $$B$$ como sendo uma fem $$E$$. A prova geral será deixada como exercício em um problema no final da aula.

Como exemplo, considere o circuito da figura abaixo.

Utilizando lei das malhas (utilizando o método do ‘loop”, onde cada malha está associada a uma corrente. A única diferença desse formalismo é que as equações de conservação de corrente em cada nodo são satisfeitas automaticamente. Para obter a corrente real em algum trecho, deve ser feita a soma algébrica das correntes de malhas adjacentes), chegamos nas seguintes equações:

$$0=E+E_2-(I-I_2)R_4$$

$$0=-E_2+E_1-I_1R_1-(I_1-I_2)R_2$$

$$0=E_3-(I_2-I)R_4-(I_2-I_1)R_2-I_2R_3$$

Essas 3 equações são da mesma forma: todas possuem termos lineares nas fems e produtos entre $$I$$ e $$R$$. Esse conjunto de equações pode ser escrito na forma matricial do tipo:

$$\mathbf{I}\mathbf{M}=\mathbf{E}$$

Onde $$\mathbf{M}$$ é uma matriz cujos elementos são funções somente das resistências, $$\mathbf{I}$$ é matriz coluna (com elementos $$I$$, $$I_1$$, $$I_2$$…,$$I_n$$) e $$\mathbf{E}$$ é uma matriz coluna com elementos sendo combinações lineares das fems. No presente caso, temos

 

 

A solução para as corrente é $$I=M^{-1}E$$. A priori, não sabemos exatamente a forma de $$\mathbf{M^{-1}}$$. Mas isso não importa: $$\mathbf{M}$$ só depende das resistências e como $$\mathbf{E}$$ é linear nas fems as correntes também serão. Portanto:

\[I=aE+a_1E_1+a_2E_2+2+a_3E_3+3+…+a_nE_n\]

Onde n é o número de fems no circuito e os coeficientes $$a_i$$ são constantes que dependem das resistências. Defina

\[R_{TH}=\dfrac{1}{a}\]

\[E_{TH}=\dfrac{a_1E_1+a_2E+2+a_3E+3+…+a_nE_n}{a}\]

Com essas definições

\[E+E_{TH}=IR_{TH}\]

Mas a equação acima é exatamente o que iríamos obter se o circuito $$A$$ fosse substuitido por uma fem $$E_{TH}$$ em série com uma resistência $$R_{TH}$$. Conforme dito antes, os coeficiente $$a_i$$ só dependem das resistências do circuito. Portanto, para descobrir $$R_{TH}$$ podemos usar qualquer conjunto de valores convenientes para as fems $$E_1$$, $$E_2$$,…, $$E_n$$. Sendo assim, escolhendo todas as fems como $$0$$ vemos que $$R_{TH}$$ é dado pela resistência equivalente entre os terminais do circuito quando todas as fems são zeradas, ou seja, substituidas por fios lisos ($$E_{TH}=0$$). Com o valor de $$R_{TH}$$ podemos fazer $$E=0$$ (equivale aos terminais em curto-circuito, ou seja, um fio liso os conectando), o valor de $$E_{TH}$$ é dado por

\[E_{TH}=I_{CC}R_{TH}\]

Onde é $$I_{CC}$$ é a corrente que passaria por $$B$$ se os terminais fossem conectados por um fio liso. O subscrito “CC” vem de “curto circuito”. Há outra forma de calcular $$E_{TH}$$, a prova é parte de um problema do final da aula. $$E_{TH}$$ é dado pela diferença de potencial através dos terminais quando $$B$$ é removido do sistema, ou seja, é a d.d.p. de circuito aberto.

Para se familiarizar com esse teorema, considere os dois seguintes exemplos:

Caso inicial

Qual a diferença de potencial entre os pontos $$a$$ e $$b$$?

Considere como circuito externo $$B$$ (chamado também de “carga”) a bateria $$E$$ em série com a resistência $$R$$ (também funciona se escolhermos a carga como sendo a resistência R ), agora deixemos de lado $$B$$ para calcular $$E_{TH}$$ e $$R_{TH}$$. Quando as duas fems de cima são substituidas por fios lisos, a resistência equivalente entre os pontos $$a$$ e $$b$$ é a de uma resistência $$3R/2$$ em paralelo com uma $$R$$, logo

\[R_{TH}=3R/5\]

Agora, coloquemos de volta as duas baterias e calculemos $$E_{TH}$$. Para treinar, faremos isso das duas formas: calculando a d.d.p. de circuito aberto, e através da relação $$I_{CC}R_{TH}$$. Primeiramente, considere a figura abaixo, onde a carga ja foi retirada:

As equações de loop são:

\[E-RI_1-E-RI_1+RI_2=0\]

\[-3RI_2+E+RI_1=0\]

A solução para esse sistema é

\[I_2=\dfrac{2E}{5R}\]

\[I_1=\dfrac{E}{5R}\]

A d.d.p. de circuito aberto será

\[V_b-V_a=E_{TH}=RI_2=\dfrac{2E}{5}\]

Portanto, com o circuito simplificado, podemos calcular a corrente na carga (tenha cuidado com a polaridade de $$E_{TH}$$, o potencial de $$b$$ é maior que o de $$a$$).

\[E-2E/5=(R+3R/5)I\]

O que dá

\[I=3E/8R\]

Sendo assim, a diferença de potencial entre os pontos $$a$$ e $$b$$ é

\[V_b-V_a=E-RI=5E/8\]

Agora, calculemos $$I_{CC}$$ (considerarei ainda a carga como sendo o trecho com a bateria).

As equações de loop são

\[E-2RI_1-E+RI_2=0\]

\[-2RI_2+RI_1+E=0\]

O que da

\[I_2=I_{CC}=2E/3R\]

Portanto

\[E_{TH}=I_{CC}R_{TH}=\dfrac{3R}{5}\dfrac{2E}{3R}=2E/5\]

Que é o mesmo valor obtido quando calculamos a d.d.p. de circuito aberto.

Potência máxima

Determine qual deve ser a resistência da carga conectada ao circuito através de seus terminais tal que a potência dissipada nessa resistência é máxima.

Pelo teorema de Thévenin, o circuito é equivalente a uma fem $$E_{TH}$$ em série com uma resistência $$R_{TH}$$. É um resultado conhecido que a potência máxima é obtida quando a resistência da carga é igual a resistência interna da bateria (que no nosso caso representa a resistência Thévenin). Portanto, a resistência procurada é a própria resistência Thévenin, que pode ser calculada facilmente

\[R_{TH}=\dfrac{\left(R+r\right) R}{2R+r}+R // R=\dfrac{3R^2+2rR}{5R+3r}\]

 

Princípio da superposição

Na nossa análise do teorema de Thévenin, foi provado que quando estamos lidando com elementos lineares, a corrente em um trecho qualquer de um circuito qualquer é dada por

\[I=a_1E_1+a_2E_2+2+a_3E_3+3+…+a_nE_n\]

Onde os coeficientes $$a_i$$ dependem somente dos valores da resistências envolvidas. Devido a essa linearidade segue um importante teorema

A corrente total fluindo em qualquer parte do circuito é igual a soma algébrica das correntes que fluiríam nessa parte se cada f.e.m. atuasse sozinha, todas as outras estando em curto circuito.

A prova desse teorema é imediata:

Considere, por simplicidade, que no circuito só há 3 fem: $$E_1$$, $$E_2$$ e $$E_3$$. A corrente no trecho $$J$$ (trecho qualquer) é dada por:

\[I=(a_1E_1)+(a_2E_2)+(a_3E_3)\]

Mas observe que cada termo separado pelos parenteses representam a corrente no trecho $$J$$ se as outras duas fems são 0 (fios lisos).

Duas fontes

Determine a corrente em todos os resistores. Para facilitar as contas faça $$E_1=E_2=E$$ e $$R_1=R_2=R_3=R_4=R$$.

Conforme vimos acima, podemos substituir cada fonte por um fio liso e calcular a soma algébrica das correntes que passariam em cada resistor nessa situação hipotética. Primeiramente, quando a fonte 1 é retirada, a corrente nos resistores é $$E/2R$$, para baixo em $$R_1$$, para a esquerda no resistor $$R_2$$, para baixo no resistor $$R_1$$ e para a esquerda no resistor $$R_4$$. Quando a fonte 2 é retirada, similarmente ao primeiro caso, a corrente em cada resistor é $$E/2R$$: para baixo no resistor $$R_1$$, para a direita no reisistor $$R_4$$, para a direita no resistor $$R_2$$ e para baixo no resistor $$R_3$$. Efetuando a soma algébrica

\[I_1=I_3=E/R\]

\[I_2=I_4=0\]

 

Problemas

Resistor de $$15\Omega$$

Considere o circuito abaixo. Se um resistor de $$15\Omega$$ é conectado através dos terminais do circuito qual corrente passará por ele? (Resposta: $$I=2A$$)

Equivalentes Thévenin

Para o circuito abaixo, encontre os valores de $$R_{TH}$$ e $$E_{TH}$$ em relação aos terminais $$a$$ e $$b$$. Todas as fems valem $$1,5V$$ e todas as resistências $$100\Omega$$. (Resposta: $$E_{TH}=0,3V$$ e $$R_{TH}=120\Omega$$)

Circuito infinito

Determine a fem equivalente do circuito abaixo. (Resposta: $$E{eq}=E(1+\frac{r}{h})$$ onde $$h=\frac{r}{2}(1+\sqrt{1+4\frac{R}{r}})$$)

Superposição em malhas infinitas

Determine a resistência equivalente entre os potos $$A$$ e $$C$$ da malha infinita abaixo. Cada fio têm resistência $$r$$. (Resposta: $$R=r$$)

E com capacitor?

Determine a diferença de potencial entre as placas do capacitor. (Resposta: $$V=\dfrac{E_2R_3(R_1+R_2)-E_1R_1(R_2+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$$)

Desafio

Demonstre o teorema de Thévenin sem simplificações. Mostre também que

\[E_{TH}=V_{circuito aberto}\]

Dica: Use o princípio da superposição. Se preferir considere que o circuito $$B$$ não possui fem. Isso não restringe a demonstração visto que, pelo princípio da superposição, a corrente em $$B$$ devido a $$A$$ não depende dessas fems internas.