Escrito por Antonio Italo
Essa ideia busca mostrar como o conceito de centro de massa/centro de momento pode ser útil na resolução de problemas de colisões tanto em uma quanto em duas dimensões.
Definição
A definição do centro de massa de um sistema é dado da seguinte forma (em notação vetorial):
Sendo a massa da i-ésima partícula desse sistema, o vetor posição da i-ésima partícula e a massa total do sistema. Baseado nessa definição, temos:
Sendo o momento total do sistema. Note que vale também:
Considerando constante. A partir disso, é interessante notar que quando o momento de um determinado sistema se conserva, a velocidade do centro de massa do mesmo também se conserva e, portanto, o referencial do centro de massa é inercial, podendo assim ser utilizado para resolução de questões sem a necessidade de fazer considerações a respeito das chamadas forças fictícias. Algumas propriedades desse referencial fazem a resolução de problemas ser muito simplificada, sendo assim, vejamos alguma dessas propriedades a seguir.
Propriedades no caso da colisão entre dois corpos
Consideremos um referencial inercial que chamaremos de referencial do laboratório no qual duas partículas de massa e possuem velocidades e . Se calcularmos a velocidade das mesmas no referencial do , a partir da definição, obtemos:
e, analogamente:
.
Daqui, fica claro que o momento total no ref. do centro de massa é zero, sendo assim, as velocidades das partículas e apontam ao longo da mesma direção, mas em sentidos opostos. A partir daqui, podemos mostrar uma propriedade muito útil em problemas de colisões: Em uma colisão perfeitamente elástica, no referencial do centro de massa, o módulo da velocidade das partículas permanecem inalterados. A demonstração desse fato é bem simples, bastando utilizar o fato de que o momento é zero e a conservação da energia. A seguir, vemos um exemplo de como essa propriedade pode ser útil.
Exemplo 1:
Em uma colisão bidimensional, uma esfera de massa é lançada com uma certa velocidade para colidir elasticamente com uma esfera de massa em repouso. Calcule o maior ângulo de espalhamento possível da esfera de massa em relação a direção inicial do seu movimento.
No referencial do centro de massa, a esfera de maior massa possui velocidade dada por:
Sabemos que o módulo dessa velocidade não mudará antes e depois da colisão, sendo assim, podemos escrever:
Onde é a velocidade final da esfera de massa em relação à terra e é a velocidade final da massa em relação ao , com módulo calculado anteriormente. Podemos esquematizar então:
Onde a circunferência foi desenhada para indicar que podemos variar a direção de ao longo da mesma. No caso do maior ângulo , o vetor tangencia a circunferência, conforme no esquema a seguir:
Utilizando a definição de seno e o fato de que a tangente à uma circunferência é perpendicular ao raio da mesma, obtemos:
Logo, nossa resposta final é:
É importante ressaltar que essa solução é incrivelmente curta quando comparada a solução no referencial da Terra, que pode ser encontrada em um problema da semana.
Exemplo 2:
Encontre a fórmula geral para uma colisão unidimensional de coeficiente de restituição onde uma massa com velocidade para a direita colide com uma massa com velocidade para a direita. Utilize durante toda sua solução velocidades positivas para a direita.
É possível resolver isso no referencial da terra aplicando o a definição de coeficiente de restituição e a conservação do momento, contudo, isso gerará um sistema de duas variáveis um tanto difícil de se resolver, portanto, podemos utilizar o referencial do centro de massa para simplificar nossos cálculos. Aqui, utilizaremos quando estivermos nos referindo a uma velocidade no referencial do centro de massa. Nesse referencial, vale:
e:
Podemos resolver esse sistema normalmente e substituir e depois, porém, se utilizarmos o fato que o momento no referencial do centro de massa é zero, uma solução muito mais simples surge:
Dessa forma, no referencial da terra:
Substituindo e simplificando:
Apesar de termos exemplificado acima como o referencial do centro de massa pode ser útil em problemas de colisões, há uma gama de problemas bem maior onde ele facilita a resolução, pois em geral o referencial do centro de massa é sempre mais simétrico que o referencial do laboratório. Algumas dessas situações poderão ser vistas nos nossos problemas relacionados.
Problemas Relacionados
1 - Molas
Dois objetos idênticos, de massa , repousam sobre uma mesa plana lisa. Eles estão conectados por meio de uma mola leve e inicialmente não-deformada, de comprimento natural e constante elástica . Em um certo instante, um dos objetos adquire uma velocidade (em relação à Terra) em uma direção perpendicular à mola. Determine a máxima distensão da mola durante o movimento subsequente do sistema, sabendo que esta é muito menor que .
2 - Coeficiente de restituição
Numa colisão unidimensional entre duas partículas diferentes de massas e na qual antes da colisão a velocidade relativa entre as mesmas é o coeficiente de restituição vale . Calcule a energia dissipada na colisão.
3 - Centro de Massa acelerado
Duas massas e são ligadas por uma mola de constante elástica e comprimento inicial igual ao natural . Uma força é aplicada na massa distanciando-a da massa . Encontre as distâncias máximas e mínimas entre as massas no movimento subsequente.
Nessa situação, o centro de massa está acelerado, portanto, se for estudar o movimento nele será necessário adicionar uma força fictícia em cada partícula. Essa força é dada por:
4 - Mais molas
Aviso: Para resolver essa questão é necessário conhecer conteúdos cobrados somente a partir do nível da OBF, portanto, recomenda-se que alunos do nível pulem o item b).
Duas bolas de massa idênticas, perfeitamente elásticas, são ligadas por uma mola de constante elástica para que se forme um sistema tipo haltere. Esse haltere repousa sobre uma superfície horizontal escorregadia (todas as forças de atrito podem ser negligenciadas). A terceira bola (idêntica às que compõem o haltere) aproxima-se coaxialmente do haltere do lado esquerdo com velocidade (ver figura). A quarta bola (idêntica às outras) se coloca coaxialmente para a direita do haltere.
a) Encontre a velocidade do centro de massa do haltere logo após a colisão com a bola da esquerda.
b) Para quais valores de a velocidade final da quarta bola será exatamente igual a .
a)
b)
Sendo .