Escrita por Vinicius Névoa
1) Desligando a mangueira
Uma situação bem conhecida da hidrodinâmica clássica é quando temos um escoamento estacionário de um líquido de densidade $$\rho$$ e viscosidade $$\eta$$ em um cano reto de seção circular de raio $$R$$ e comprimento $$L$$. Suponha que esse estado estacionário é mantido por uma queda de pressão $$\Delta P$$ para todos os tempos $$t<0$$, havendo assim um escoamento de Poiseuille.
a) Prove que para $$t<0$$, $$v_{x}(r)=\dfrac{\Delta P}{4\eta L}(R^2-r^2)$$.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Iguale a força por causa da queda de pressão com a força devido a viscosidade em uma casca cilíndirca de raio $$r$$[/spoiler]
Em $$t=0$$, a queda de pressão é desligada de forma instantânea: $$\Delta P = 0$$, de modo que o escoamento começa a parar. Especialmente, o escoamento se torna não estacionário: $$v_{x}=v_{x}(r,t)$$.
b) Prove que, por causa da simetria cilíndrica, $$\vec{v} \cdot \nabla \vec{v}=0$$
c) Suponha que o escoamento após o desligamento da queda de pressão pode ser descrito pela seguinte série infinita:
$$v_{x}(r,t)=\displaystyle{\sum \limits_{n=1}^{\infty} c_{n} T_{n}(t) U_{n}(r)}$$.
Ache as equações satisfeitas por cada uma das funções separáveis $$T_{n}(t)$$ e $$U_{n}(r)$$.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Escreva a equação de Euler (não se esqueça do termo $$\eta \nabla^2 \vec{v}$$) e a equação da continuidade em coordenada cilíndricas. Use também o resultado do item anterior para simplificar a equação de Euler.[/spoiler]
d) Considerando que a solução da seguinte equação é dada pela função de Bessel de ordem zero:
$$\left( \dfrac{ \partial^2 }{ \partial r^2}+\dfrac{1}{r} \dfrac{ \partial}{ \partial r} \right) f(r) = – k^2 f(r)$$
$$f(r)=A J_{0} (k r)$$
Calcule o tempo característico $$t_{c}$$ para o escoamento parar se a menor raíz de $$J_{0}$$ vale $$2.405$$
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Para essa estimativa, considere apenas o primeiro termo de decaimento da série que fornece a velocidade.[/spoiler]
2) Cilindro Oscilante
Um cilindro longo de comprimento $$H$$ e raio $$R$$ oscila verticalmente em um tanque de um fluido de densidade $$\rho$$ e viscosidade $$\eta$$, devido as forças peso, empuxo e viscosas que agem sobre ele. A aceleração gravitacional vale $$g$$ e a massa do cilindro é $$m$$.
a) Ache o período de pequenas oscilações desconsiderando a viscosidade e a energia cinética do fluido.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]A força de empuxo é proporcional ao comprimento do cilindro submerso, uma vez que sua área de seção transversal é constante.[/spoiler]
Agora, vamos considerar os efeitos viscosos. Considere que o gradiente de pressão vale $$\rho g$$ em todo ponto, e o campo de velocidade do fluido é $$U(r,t)$$ (que é sempre vertical a não ser abaixo do cilindro, onde não nos interessa)
b) Escreva a equação de movimento de uma massa de fluido a uma distância $$r$$ do centro do cilindro, em função de $$U(r,t)$$ e suas derivadas.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]É justo supor que o peso dessa massa é balanceado pelo empuxo sobre ela. Logo, toda a aceleração que ela possuir se deve a diferença de forças viscosas à sua esquerda e a sua direita. Essa diferença é uma constante vezes a segunda derivada da velocidade em relação a distância ao eixo do cilindro.[/spoiler]
c) Escreva a forca viscosa agindo no cilindro, e resolva sua equação de movimento.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Resolva a equação acima (suponha uma função da forma $$e^{i(kr-\omega t)}$$ e ache a relação de dispersão), e então basta computar a derivada da velocidade em $$r=R$$.[/spoiler]
d) Ache a amplitude das oscilações naturais em função do tempo.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Basta resolver a equação do oscilador amortecido para o cilindro.[/spoiler]
3) Bombas de capilaridade
Um canal horizontal bastante fino (da ordem de milímetros) se conecta a um reservatório de água e extrai líquido desse reservatório por capilaridade. A tensão superficial entre o líquido e o material do canal é $$\gamma$$ e o ângulo de contato vale $$\theta$$. Considerando uma viscosidade $$\eta$$, e que o escoamento se dá em um regime quasi-estacionário, ache o fluxo de massa extraído em função do tempo $$\phi(t)$$. Despreze a pressão hidrostática da coluna de água e considere o canal aberto na outra extremidade.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Considere um escoamento de Poiseiuille em que a queda de pressão é a pressão de Laplace por causa do menisco que se forma. Cuidado! O ângulo de contato é relevante. Lembre-se que o menisco tem massa nula, então para achar a pressão faça a força horizontal sobre ele ser zero.[/spoiler]
4) Ar aprisionado
Uma represa de volume $$V$$ e altura $$H$$ tem em sua base um tubo fechado e horizontal de raio $$R$$ e comprimento $$L$$, $$R << H$$, em que está aprisionado um volume de ar $$V_{ar}= \pi R^2 L$$ a uma temperatura $$T$$. Em um certo instante, uma comporta é aberta e a água do reservatório entra nesse compartimento, comprimento o ar de forma adiabática até uma posição de equilíbrio. Despreze efeitos viscosos ou de tensão superficial. A gravidade local vale $$g$$.
a) Qual é o período de pequenas oscilações ao redor dessa posição de equilíbrio? Despreze a massa do ar quando comparada a da água.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Considere as forças agindo sobre a massa de água dentro do tudo. De um lado, a pressão hidrostática devido a coluna de água; de outro, a pressão do ar comprimido adiabáticamente. Use a conservação do volume de agua para saber a altura da agua na repressa.[/spoiler]
b) Esse ar passa a ser aquecido com um potência constante $$P$$, e não troca calor com a água. Qual a velocidade de subida da superfície livre da água em função do tempo? Deixe sua resposta em função do índice adiabático $$\gamma$$ e outras constantes.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Se você desprezar o aumento do nível de água, já que o tubo é pequeno, a pressão sobre o gás é constante. Logo o aumento da temperatura dele é governado por $$c_{p}$$. Equacioanando temperatura e volume na equação de Clapeyron, fica fácil achar a taxa de expansão do gás.[/spoiler]
5) Estabilidade de um escoamento de Taylor-Couette
Um escoamento é dito estável se uma pequena perturbação de um elemento de fluido gera forças que o fazem retornar a sua posição original. Seja o escoamento laminar estacionário entre dois cilindros coaxiais infinitos, de raios $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ e velocidades angulares $$\Omega_{1}$$ e $$\Omega_{2}$$, não necessariamente no mesmo sentido.
a) Prove que a velocidade do fluido entre os cilindros é da forma $$v(r) = A r + \dfrac{B}{r}$$ e ache as constantes $$A$$ e $$B$$. Use que o torque da força viscosa em relação ao centro é constante para todo $$r$$.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]As constantes $$A$$ e $$B$$ surgem naturalmente como constantes de integração. Note que quando você escreve o torque sobre uma casca cilíndrica de raio $$r$$ e espessura $$dr$$, surge uma derivada segunda de $$v$$; por isso duas constantes.[/spoiler]
É evidente que uma perturbação na direção azimutal é estável, então vamos analisar perturbações radiais apenas.
b) Lembrando que o escoamento é incompressível, escreva a condição para que mover um elemento de fluido de $$r$$ para $$r+dr$$ radialmente seja estável.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Basta que a força de pressão vivenciada por um elemnto de fluido na posição $$r+dr$$ seja maior do que a força centrípeta necessária para manter uma fluido com velocidade $$v(r)$$ em $$r+dr$$. Em outras palavras, basta que $$v(r+dr) \ge v(r)$$[/spoiler]
c) Qual a relação entre $$R_{1}$$, $$R_{2}$$, $$\Omega_{1}$$ e $$\Omega_{2}$$ para que se satisfaça a relação acima?
6) Oscilando sob um filme de água
a) Ache a força viscosa por unidade de área agindo em um plano infinito que oscila linearmente com amplitude $$A$$ e frequência angular $$\omega$$ em seu próprio plano, se sobre ele há uma camada de água de espessura $$h$$ e viscosidade $$\eta$$.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Como a superfície livre de um líquido tem massa nula, não pode haver nenhum stress viscoso nela; ou seja $$\dfrac{\partial v_{x}}{\partial z} =0$$ em $$z=h$$.[/spoiler]
b) Ache o torque viscoso agindo em um disco de raio $$R$$ muito grande que executa oscilações angulares $$\theta(t)= \theta_{0} cos (\omega t)$$ dentro de um líquido infinito.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Para achar a velocidade angular do fluido, você terá que resolver uma equação da forma $$\dfrac{\partial \Omega(z,t)}{\partial t} =\dfrac{\eta}{\rho} \dfrac{\partial^2 \Omega(z,t)}{\partial z^2}$$. É válido assumir que a velocita do fluido é da forma $$v=r \Omega(z,t)$$ no caso de $$R$$ muito grande.[/spoiler]
7) Instabilidade de Kelvin-Helmholtz
A instabilidade de Kelvin-Helmholtz ocorre quando uma onda se propaga na interface de dois meios de densidades distintas, e o meio mais denso está acima. Existem inúmeros exemplos disso na natureza, desde a formação de nuvens no céu ao comportamento de átomos em fissão. Essa imagem retrata um padrão de nuvens chamado fluctus, causado pela IKH.
Considere dois meio invíscidos, de densidades $$\rho_{1}$$ e $$\rho_{2}$$, e que as perturbações podem ser descritas pelos potenciais de velocidade:
$$\phi_{1} (x,z,t) = A e^{-\kappa_{1} z} e^{i (k_{1}x +\omega t)}$$
$$\phi_{2} (x,z,t) = B e^{\kappa_{2} z} e^{i (k_{2}x +\omega t)}$$
Caso as amplitudes da perturbação comecem pequenas, podemos desprezar a velocidade do fluido tangente ao plano de separação dos meios. Também desprezaremos quaisquer tensões superficiais. A gravidade local vale $$g$$.
a) Escreva as condições sobre a velocidade do fluido e a pressão na interface.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]A pressão e a velocidade normal à interface são iguais em abos os fluidos. Para a velocidade tangencial, basta que sua derivada seja nula na interface (condição de stress nulo)..[/spoiler]
b) Use a segunda lei de Newton (ou a equação de Euler sem o termo convectivo) para relacionar a pressão com o potencial de velocidades em um dado fluido.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Resposta: $$P=\rho \dfrac{ \partial \phi}{\partial t}$$[/spoiler]
c) Substituindo as condições acima na equação de Laplace, ache relação entre $$\omega$$ e $$k$$ para a perturbação (essa é a relação de dispersão). Qual a condição para que a perturbação seja instável?
8) A formação de uma onda que quebra
Uma onda é formada em alto mar com uma certa amplitude $$A_{0}$$ e um comprimento de onda $$\lambda_{0}$$. Em alto mar, a profundidade da água é essencialmente infinita, mas, ao se aproximar da costa, o assoalho oceânico vai ficando cada vez mais raso. Considere que a profundidade do mar em função da distância a costa é dada por $$H(x)= \beta x$$, até um certo $$x_{f}$$ a partir do qual ela se torna constante. A gravidade vale $$g$$ e a densidade da água vale $$\rho$$.
a) Use o formalismo do potencial de velocidades para achar o potencial de velocidades dessa onda. Calcule a energia mecânica média contida em um comprimento de onda em mar aberto.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Use que a pressão agindo na superfície é constante (é a pressão atmosférica, claro, mas você pode supor que é zero que as contas serão mais fáceis). Será util usar que $$\dfrac{\partial h}{\partial t}=\dfrac{\partial \phi}{\partial z}$$ em $$z=h \approx 0$$.[/spoiler]
b) Se o terreno for suficientemente suave, o trajeto da onda é adiabático. Ache uma expressão para a energia mecânica média da onda a uma distância $$x$$ da costa. Atenção: a água não é mais tão profunda, e isso modifica a relação de dispersão por meio das condições de contorno. Como o $$\omega$$ é constante, o comprimento de onda não é mais o mesmo.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Use que a energia da onda se conserva.[/spoiler]
c) Ache a amplitude da onda em função de $$A_{0}$$, $$\lambda_{0}$$, $$x$$ e constantes.
Um modelo matemático capaz de abarcar ondas que quebram deve ser fortemente não linear, e portanto o melhor que podemos fazer aqui é estimar.
d) Determine a velocidade de fase $$V_{ph}$$ da onda em função de $$x$$.
e) Estime uma relação entre $$A(x)$$ e $$V_{ph}(x)$$ e outras constantes do problema para que a onda quebre.
9) Deflagração de chamas – Combustão lenta
Um assunto bastante interessante é a hidrodinâmica da propagação de uma combustão de uma gás inflamável. Quando a combustão não é de natureza explosiva, a chama se propaga quando, por condução térmica, o calor gerado pelo fogo incendeia o combustível ainda não queimado de suas vizinhanças. Quando o mecanismo de ignição é a condução de calor, é sempre o caso em que a frente da chama se propaga em velocidades muito pequenas quando comparada à velocidade do som. Contudo, lembre-se que o gás queimado e o gás não queimado são quimicamente distintos: é isso que diferencia o estudo de deflagrações e detonações de outros escoamentos hidrodinâmicos. Seja os índices adiabáticos $$\gamma_{1}$$ e $$\gamma_{2}$$, os calores molares a pressão constante $$c_{p1}$$ e $$c_{p2}$$ e o calor molar liberado pela combustão $$q$$. Seja a descontinuidade entre o gás em ignição e o gás ainda não queimado o plano em que $$z=0$$. Trabalhe no referencial dessa descontinuidade, que se move com velocidade $$c$$ em direção ao gás não queimado. Particularmente, essa velocidade é desprezível em relação a velocidade do som.
a) Prove que a conservação do fluxo de energia diz que:
$$h_{1}+\dfrac{1}{2} v_{1}^2 = h_{2}+\dfrac{1}{2} v_{2}^2 $$
Em que $$h$$ é a entalpia por unidade de massa de cada lado da interface e as velocidades são as velocidades relativas entre o gás e a frente de deflagração.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Essa é basicamente a expressão para a conservação de energia mecânica, análoga a dedução da equação de Bernoulli. Você vai ter que usar que a densidade não sofre descontinuidades, e portanto haverá uma cancelamento devido a conservação do fluxo de massa.[/spoiler]
b) Escreva as três leis de conservação hidrodinâmica: fluxo de massa, fluxo de momento e fluxo de energia.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Lembre-se que um fluxo é, tipicamente, uma densidade multiplicada por uma velocidade. Por exemplo, o fluxo de energia cinética seria $$\dfrac{\rho v^2}{2} \times v$$[/spoiler]
c) Ache a temperatura $$T_{2}$$ do gás em ignição se o gás não queimado está (aproximadamente) em repouso no referencial do laboratório.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Use os itens a e b e escreva a entalpia em função do calor molar a pressão constante e da temperatura[/spoiler]
10) A hidrodinâmica das detonações e de processos explosivos
Ondas de detonação são aquelas que acompanham processos explosivos, e, embora muito similares a ondas de choque convencionais, possuem diferenças fundamentais em relação a essas. A razão para isso é que o gás antes e depois da onda de detonação é quimicamente distinto. Em termos mais físicos, a função de entalpia é diferente. Nessa questão, vamos elaborar um pouco sobre as características de ondas de detonação. A diferença fundamental entre uma detonação e uma deflagração é que, na detonação, a onda de choque que é responsável pela ignição do gás. Cuidado: ao longo dessa questão falaremos de adiábatas de choque e de detonação, mas, a despeito do nome igual, elas não tem muito a ver com as adiábatas convencionais que você conhece.
Ao longo dessa questão, o índice 1 se refere ao gás ainda não detonado e o índice 2 ao gás já detonado. Trataremos das velocidades do gás no referencial da onda de detonação. Suponha conhecidos os índices adiabáticos $$(\gamma_{1}, \gamma_{2})$$ e calores específicos do gás antes e depois da combustão $$(c_{v,1}, c_{v,2})$$. O calor liberado na combustão por unidade de massa é $$q$$ quando $$T=0$$ (isso pode soar estranho de início, mas é porque a função de entalpia $$h$$ depende da temperatura, e a energia química é a entalpia no zero absoluto; essa constante $$q$$ será importante a despeito de sua definição “estranha”).
O Pico de Neumann
Uma detonação é sempre precedida por uma onda de choque convencional, que é responsável por comprimir e aquecer o gás, dando início à ignição. Após um curto período de tempo, a reação química de combustão se desenrola e o gás relaxa para seu estado final detonado. Esse pico de pressão imediatamente após a onda de choque e imediatamente antes da combustão se chama pico de Neumann.
a) Use as equações de conservação de fluxo de massa e de momento para provar a relação da reta de Rayleigh:
$$-j^2=\dfrac{p_{2}-p_{1}}{V_{2}-V_{1}}$$
Em que $$j$$ é o fluxo de gás em direção a onda de detonação (gás detonado por área por tempo), $$p$$ é a pressão do gás e $$V$$ é seu volume específico (o recíproco da densidade).
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Note que $$j=\dfrac{v_{1}}{V_{1}}=\dfrac{v_{2}}{V_{2}}$$[/spoiler]
Para um dado fluxo $$j$$, a pressão do pico de Neumann é, portanto, a intersecção da reta de Rayleigh com a adiábata de choque (curva tracejada na figura abaixo):
b) Ache a equação da adiábata de choque que passa pelo ponto $$(p_{1},V_{1})$$
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Substitua $$v = jV$$ em $$h_{1}+\dfrac{1}{2} v_{1}^2 = h_{2}+\dfrac{1}{2} v_{2}^2$$ e use que a entalpia por unidade de volume é $$h = u +pV = c_{v} T +pV$$, com $$V=\dfrac{1}{\rho}$$ como usual. Use também a equação de estado de um gás ideal. [/spoiler]
c) Ache o valor da pressão do pico de Neumann em função do fluxo $$j$$.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Avalie a intersecção da reta de Rayleigh com a adiábata acima[/spoiler]
Para um gás ser capaz de explodir, é necessário que o pico de Neumann no ponto de Chapman-Joguet seja suficiente para superar a energia de ativação da reação de combustão. Estudaremos sobre esse ponto a seguir.
A reação química e o ponto de Chapman-Joguet
Se a pressão (e correspondente temperatura) do pico de Neumann for grande o suficiente, o gás entra em ignição por meio de uma reação exotérmica. Então, o gás libera calor, aumentando sua entropia, e seu estado termodinâmico migra ao longo da reta de Rayleigh até cruzar a adiábata de detonação (curva contínua na imagem) pela primeira vez (a segunda intersecção no ponto b não é mecanicamente acessível).
d) Ache a equação da adiábata de detonação. Explique o porquê ela não passa pelo ponto $$(p_{1},V_{1})$$.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Dedução análoga ao item b, mas com calores específicos e índices adiabáticos diferentes dos dois lados da descontinuidade, devido a reação química que ocorre. [/spoiler]
e) Ache o valor do menor fluxo $$j$$ possível para que a detonação se sustente dado um estado inicial do gás. Prove que, nesse ponto, a velocidade do gás detonado é igual a velocidade do som.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Esse valor corresponde ao $$j_{min}$$ tal que a solução para a intersecção da reta de Rayleigh com a adiábata de detonação só tem uma solução. [/spoiler]
f) O encontro da reta de Rayleigh com essa curva (por exemplo, no ponto $$c$$ na figura) é o estado final de detonação. Prove que a temperatura do gás detonado no ponto $$O$$ da figura vale:
$$T_{2}=\dfrac{c^2_{2}}{c_{v,2} \gamma_{2}(\gamma_{2}-1)}$$
Você deve ser percebido que os estados finais de detonação acessíveis são aqueles acima do ponto $$O$$ da figura. Esse ponto se chama ponto de Chapman-Joguet e é extremamente importante para a teoria ds detonações. Como dica, lembre que a velocidade do som no gás 1 é a tangente a curva tracejada no ponto inicial $$(p_{1},V_{1})$$.
g) Mostre que para todo estado final de detonação acima do ponto de Joguet, $$v_{2}<c_{2}$$. Mostre também que a velocidade da onda de detonação em relação ao gás 1 é sempre supersônica: $$v_{1}>c_{1}$$.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]A velocidade do som se relaciona intimamente com a tangente à adiabáta de choque em um dado ponto. Lembre-se de que, ao longo dessas curvas, a entropia é constante e $$c_{som} = \sqrt{\dfrac{\partial p}{\partial \rho}}$$ nesse caso. Por outro lado, a velocidade do gás é diretamente relacionada com a inclinação da reta de Rayleigh. Sem fazer a conta, já é de se esperar que essas velocidades sejam iguais no ponto de tangência O. [/spoiler]
Como o escoamento atrás da detonação é sempre subsônico (ou exatamente sônico no ponto $$O$$), a energia química liberada consegue alcançar a frente de detonação para continuar a impulsionando. Na prática, por um questão de condições de contorno, uma detonação real sempre corresponde ao ponto de Chapman-Joguet. Heuristicamente, podemos interpretar isso como toda a energia do gás sendo gasta para manter a onda de detonação (pense bem e se convença de que é isso que ocorre nesse ponto).
h) Mostre que no caso de uma detonação forte $$(q>>c_{v,1}T_{1})$$ vale que:
$$v_{1}=\sqrt{2(\gamma^2_{2}-1)q}$$
Combustões com fase endotérmica
Uma reação de combustão é sempre exotérmica. Contudo, ainda é possível que ao longo do caminho reacional sejam formados produtos intermediários que reagem de forma endotérmica, tudo isso com a reação global se mantendo exotérmica, como deve ser. Esse fenômeno altera significativamente a dinâmica da detonação, e é a última parte dessa questão.
i) Suponha que em coordenadas $$(p^{*}, V^{*})$$ o gás em combustão começa a absorver calor até chegar ao fim da reação. Faça um gráfico no plano $$p-V$$ como o da figura acima em que constem: a adiábata de choque, a adiábata de detonação, a reta de Rayleigh e uma adiábata convencional que passa pelo ponto $$(p^{*}, V^{*})$$.
j) Responda ao que se pede através de uma análise gráfica:
- O fluxo mínimo $$j’$$ é maior ou menor do que em uma detonação convencional?
- Identifique no gráfico o novo ponto de Chapman-Joguet.
- Mostre (graficamente) que nesse novo ponto de Joguet o escoamento atrás da detonação é supersônico, ao contrário da detonação convencional.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Se há uma parte da reação em que $$dQ >0$$ e outra em que $$dQ<0$$, por continuidade deve haver um ponto na evolução do gás que cruza uma adiábata ($$dQ=0$$) em algum ponto $$(p^{*}, V^{*})$$. Essa adiábata sempre está acima da curva de detonação,e portanto a presença de fase endotérmica aumenta o fluxo mínimo $$j_{min}$$ para a detonação acontecer, bem com cria uma novo ponto de Chapman-Joguet, dessa vez com uma tangente (velocidade do som) maior, já que está acima do ponto de Joguet convencional. [/spoiler]
Boa Sorte!