Lista 06 - Hidrodinâmica - Seletiva

Escrita por Vinicius Névoa

1) Desligando a mangueira

Uma situação bem conhecida da hidrodinâmica clássica é quando temos um escoamento estacionário de um líquido de densidade $\rho$ e viscosidade $\eta$ em um cano reto de seção circular de raio $R$ e comprimento $L$. Suponha que esse estado estacionário é mantido por uma queda de pressão $\Delta P$ para todos os tempos $t<0$, havendo assim um escoamento de Poiseuille.

a) Prove que para $t<0$, $v_{x}(r)=\dfrac{\Delta P}{4\eta L}(R^2-r^2)$.

Em $t=0$, a queda de pressão é desligada de forma instantânea: $\Delta P = 0$, de modo que o escoamento começa a parar. Especialmente, o escoamento se torna não estacionário: $v_{x}=v_{x}(r,t)$.

b) Prove que, por causa da simetria cilíndrica, $\vec{v} \cdot \nabla \vec{v}=0$

c) Suponha que o escoamento após o desligamento da queda de pressão pode ser descrito pela seguinte série infinita:

$v_{x}(r,t)=\displaystyle{\sum \limits_{n=1}^{\infty} c_{n} T_{n}(t) U_{n}(r)}$.

Ache as equações satisfeitas por cada uma das funções separáveis $T_{n}(t)$ e $U_{n}(r)$.

d) Considerando que a solução da seguinte equação é dada pela função de Bessel de ordem zero:

$\left( \dfrac{ \partial^2 }{ \partial r^2}+\dfrac{1}{r} \dfrac{ \partial}{ \partial r} \right) f(r) = - k^2 f(r)$

$f(r)=A J_{0} (k r)$

Calcule o tempo característico $t_{c}$ para o escoamento parar se a menor raíz de $J_{0}$ vale $2.405$

 

2) Cilindro Oscilante

Um cilindro longo de comprimento $H$ e raio $R$ oscila verticalmente em um tanque de um fluido de densidade $\rho$ e viscosidade $\eta$, devido as forças peso, empuxo e viscosas que agem sobre ele. A aceleração gravitacional vale $g$ e a massa do cilindro é $m$.

a) Ache o período de pequenas oscilações desconsiderando a viscosidade e a energia cinética do  fluido.

Agora, vamos considerar os efeitos viscosos. Considere que o gradiente de pressão vale $\rho g$ em todo ponto, e o campo de velocidade do fluido é $U(r,t)$ (que é sempre vertical a não ser abaixo do cilindro, onde não nos interessa)

b) Escreva a equação de movimento de uma massa de fluido a uma distância $r$ do centro do cilindro, em função de $U(r,t)$ e suas derivadas.

c) Escreva a forca viscosa agindo no cilindro, e resolva sua equação de movimento.

d) Ache a amplitude das oscilações naturais em função do tempo.

 

3) Bombas de capilaridade

Um canal horizontal bastante fino (da ordem de milímetros) se conecta a um reservatório de água e extrai líquido desse reservatório por capilaridade. A tensão superficial entre o líquido e o material do canal é $\gamma$ e o ângulo de contato vale $\theta$. Considerando uma viscosidade $\eta$, e que o escoamento se dá em um regime quasi-estacionário, ache o fluxo de massa extraído em função do tempo $\phi(t)$. Despreze a pressão hidrostática da coluna de água e considere o canal aberto na outra extremidade.

 

4) Ar aprisionado

Uma represa de volume $V$ e altura $H$ tem em sua base um tubo fechado e horizontal de raio $R$ e comprimento $L$, $R << H$, em que está aprisionado um volume de ar $V_{ar}= \pi R^2 L$ a uma temperatura $T$. Em um certo instante, uma comporta é aberta e a água do reservatório entra nesse compartimento, comprimento o ar de forma adiabática até uma posição de equilíbrio. Despreze efeitos viscosos ou de tensão superficial. A gravidade local vale $g$.

a) Qual é o período de pequenas oscilações ao redor dessa posição de equilíbrio? Despreze a massa do ar quando comparada a da água.

b) Esse ar passa a ser aquecido com um potência constante $P$, e não troca calor com a água. Qual a velocidade de subida da superfície livre da água em função do tempo? Deixe sua resposta em função do índice adiabático $\gamma$ e outras constantes.

 

 

5) Estabilidade de um escoamento de Taylor-Couette

Um escoamento é dito estável se uma pequena perturbação de um elemento de fluido gera forças que o fazem retornar a sua posição original. Seja o escoamento laminar estacionário entre dois cilindros coaxiais infinitos, de raios $R_{1}$ e $R_{2}$ e velocidades angulares $\Omega_{1}$ e $\Omega_{2}$, não necessariamente no mesmo sentido.

a) Prove que a velocidade do fluido entre os cilindros é da forma $v(r) = A r + \dfrac{B}{r}$ e ache as constantes $A$ e $B$. Use que o torque da força viscosa em relação ao centro é constante para todo $r$.

É evidente que uma perturbação na direção azimutal é estável, então vamos analisar perturbações radiais apenas.

b) Lembrando que o escoamento é incompressível, escreva a condição para que mover um elemento de fluido de $r$ para $r+dr$ radialmente seja estável.

c) Qual a relação entre $R_{1}$, $R_{2}$, $\Omega_{1}$ e $\Omega_{2}$ para que se satisfaça a relação acima?

6) Oscilando sob um filme de água

a) Ache a força viscosa por unidade de área agindo em um plano infinito que oscila linearmente com amplitude $A$ e frequência angular $\omega$ em seu próprio plano, se sobre ele há uma camada de água de espessura $h$ e viscosidade $\eta$.

b) Ache o torque viscoso agindo em um disco de raio $R$ muito grande que executa oscilações angulares $\theta(t)= \theta_{0} cos (\omega t)$ dentro de um líquido infinito.

 

7) Instabilidade de Kelvin-Helmholtz

A instabilidade de Kelvin-Helmholtz ocorre quando uma onda se propaga na interface de dois meios de densidades distintas, e o meio mais denso está acima. Existem inúmeros exemplos disso na natureza, desde a formação de nuvens no céu ao comportamento de átomos em fissão. Essa imagem retrata um padrão de nuvens chamado fluctus, causado pela IKH.

 

Considere dois meio invíscidos, de densidades $\rho_{1}$ e $\rho_{2}$, e que as perturbações podem ser descritas pelos potenciais de velocidade:

$\phi_{1} (x,z,t) = A e^{-\kappa_{1} z} e^{i (k_{1}x +\omega t)}$

$\phi_{2} (x,z,t) = B e^{\kappa_{2} z} e^{i (k_{2}x +\omega t)}$

Caso as amplitudes da perturbação comecem pequenas, podemos desprezar a velocidade do fluido tangente ao plano de separação dos meios. Também desprezaremos quaisquer tensões superficiais. A gravidade local vale $g$.

a) Escreva as condições sobre a velocidade do fluido e a pressão na interface.

b) Use a segunda lei de Newton (ou a equação de Euler sem o termo convectivo) para relacionar a pressão com o potencial de velocidades em um dado fluido.

c) Substituindo as condições acima na equação de Laplace, ache relação entre $\omega$ e $k$ para a perturbação (essa é a relação de dispersão). Qual a condição para que a perturbação seja instável?

 

8) A formação de uma onda que quebra

Uma onda é formada em alto mar com uma certa amplitude $A_{0}$ e um comprimento de onda $\lambda_{0}$. Em alto mar, a profundidade da água é essencialmente infinita, mas, ao se aproximar da costa, o assoalho oceânico vai ficando cada vez mais raso. Considere que a profundidade do mar em função da distância a costa é dada por $H(x)= \beta x$, até um certo $x_{f}$ a partir do qual ela se torna constante. A gravidade vale $g$ e a densidade da água vale $\rho$.

a) Use o formalismo do potencial de velocidades para achar o potencial de velocidades dessa onda. Calcule a energia mecânica média contida em um comprimento de onda em mar aberto.

b) Se o terreno for suficientemente suave, o trajeto da onda é adiabático. Ache uma expressão para a energia mecânica média da onda a uma distância $x$ da costa. Atenção: a água não é mais tão profunda, e isso modifica a relação de dispersão por meio das condições de contorno. Como o $\omega$ é constante, o comprimento de onda não é mais o mesmo.

c) Ache a amplitude da onda em função de $A_{0}$, $\lambda_{0}$, $x$ e constantes.

Um modelo matemático capaz de abarcar ondas que quebram deve ser fortemente não linear, e portanto o melhor que podemos fazer aqui é estimar.

d) Determine a velocidade de fase $V_{ph}$ da onda em função de $x$.

e) Estime uma relação entre $A(x)$ e $V_{ph}(x)$ e outras constantes do problema para que a onda quebre.

 

9) Deflagração de chamas - Combustão lenta

Um assunto bastante interessante é a hidrodinâmica da propagação de uma combustão de uma gás inflamável. Quando a combustão não é de natureza explosiva, a chama se propaga quando, por condução térmica, o calor gerado pelo fogo incendeia o combustível ainda não queimado de suas vizinhanças. Quando o mecanismo de ignição é a condução de calor, é sempre o caso em que a frente da chama se propaga em velocidades muito pequenas quando comparada à velocidade do som. Contudo, lembre-se que o gás queimado e o gás não queimado são quimicamente distintos: é isso que diferencia o estudo de deflagrações e detonações de outros escoamentos hidrodinâmicos. Seja os índices adiabáticos $\gamma_{1}$ e $\gamma_{2}$, os calores molares a pressão constante $c_{p1}$ e $c_{p2}$ e o calor molar liberado pela combustão $q$. Seja a descontinuidade entre o gás em ignição e o gás ainda não queimado o plano em que $z=0$. Trabalhe no referencial dessa descontinuidade, que se move com velocidade $c$ em direção ao gás não queimado. Particularmente, essa velocidade é desprezível em relação a velocidade do som.

a) Prove que a conservação do fluxo de energia diz que:

$h_{1}+\dfrac{1}{2} v_{1}^2 = h_{2}+\dfrac{1}{2} v_{2}^2$

Em que $h$ é a entalpia por unidade de massa de cada lado da interface e as velocidades são as velocidades relativas entre o gás e a frente de deflagração.

b) Escreva as três leis de conservação hidrodinâmica: fluxo de massa, fluxo de momento e fluxo de energia.

c) Ache a temperatura $T_{2}$ do gás em ignição se o gás não queimado está (aproximadamente) em repouso no referencial do laboratório.

 

10) A hidrodinâmica das detonações e de processos explosivos

Ondas de detonação são aquelas que acompanham processos explosivos, e, embora muito similares a ondas de choque convencionais, possuem diferenças fundamentais em relação a essas. A razão para isso é que o gás antes e depois da onda de detonação é quimicamente distinto. Em termos mais físicos, a função de entalpia é diferente. Nessa questão, vamos elaborar um pouco sobre as características de ondas de detonação. A diferença fundamental entre uma detonação e uma deflagração é que, na detonação, a onda de choque que é responsável pela ignição do gás. Cuidado: ao longo dessa questão falaremos de adiábatas de choque e de detonação, mas, a despeito do nome igual, elas não tem muito a ver com as adiábatas convencionais que você conhece.

Ao longo dessa questão, o índice 1 se refere ao gás ainda não detonado e o índice 2 ao gás já detonado. Trataremos das velocidades do gás no referencial da onda de detonação. Suponha conhecidos os índices adiabáticos $(\gamma_{1}, \gamma_{2})$ e calores específicos do gás antes e depois da combustão $(c_{v,1}, c_{v,2})$. O calor liberado na combustão por unidade de massa é $q$ quando $T=0$ (isso pode soar estranho de início, mas é porque a função de entalpia $h$ depende da temperatura, e a energia química é a entalpia no zero absoluto; essa constante $q$ será importante a despeito de sua definição "estranha").

 

O Pico de Neumann

Uma detonação é sempre precedida por uma onda de choque convencional, que é responsável por comprimir e aquecer o gás, dando início à ignição. Após um curto período de tempo, a reação química de combustão se desenrola e o gás relaxa para seu estado final detonado. Esse pico de pressão imediatamente após a onda de choque e imediatamente antes da combustão se chama pico de Neumann.

a) Use as equações de conservação de fluxo de massa e de momento para provar a relação da reta de Rayleigh:

$-j^2=\dfrac{p_{2}-p_{1}}{V_{2}-V_{1}}$

Em que $j$ é o fluxo de gás em direção a onda de detonação (gás detonado por área por tempo), $p$ é a pressão do gás e $V$ é seu volume específico (o recíproco da densidade).

Para um dado fluxo $j$, a pressão do pico de Neumann é, portanto, a intersecção da reta de Rayleigh com a adiábata de choque (curva tracejada na figura abaixo):

 

 

b)  Ache a equação da adiábata de choque que passa pelo ponto $(p_{1},V_{1})$

c) Ache o valor da pressão do pico de Neumann em função do fluxo $j$.

Para um gás ser capaz de explodir, é necessário que o pico de Neumann no ponto de Chapman-Joguet seja suficiente para superar a energia de ativação da reação de combustão. Estudaremos sobre esse ponto a seguir.

 

A reação química e o ponto de Chapman-Joguet

Se a pressão (e correspondente temperatura) do pico de Neumann for grande o suficiente, o gás entra em ignição por meio de uma reação exotérmica. Então, o gás libera calor, aumentando sua entropia, e seu estado termodinâmico migra ao longo da reta de Rayleigh até cruzar a adiábata de detonação (curva contínua na imagem) pela primeira vez (a segunda intersecção no ponto b não é mecanicamente acessível).

d) Ache a equação da adiábata de detonação. Explique o porquê ela não passa pelo ponto $(p_{1},V_{1})$.

e) Ache o valor do menor fluxo $j$ possível para que a detonação se sustente dado um estado inicial do gás. Prove que, nesse ponto, a velocidade do gás detonado é igual a velocidade do som.

f) O  encontro da reta de Rayleigh com essa curva (por exemplo, no ponto $c$ na figura) é o estado final de detonação. Prove que a temperatura do gás detonado no ponto $O$ da figura vale:

$T_{2}=\dfrac{c^2_{2}}{c_{v,2} \gamma_{2}(\gamma_{2}-1)}$

Você deve ser percebido que os estados finais de detonação acessíveis são aqueles acima do ponto $O$ da figura. Esse ponto se chama ponto de Chapman-Joguet e é extremamente importante para a teoria ds detonações. Como dica, lembre que a velocidade do som no gás 1 é a tangente a curva tracejada no ponto inicial $(p_{1},V_{1})$.

g) Mostre que para todo estado final de detonação acima do ponto de Joguet, $v_{2}<c_{2}$. Mostre também que a velocidade da onda de detonação em relação ao gás 1 é sempre supersônica: $v_{1}>c_{1}$.

Como o escoamento atrás da detonação é sempre subsônico (ou exatamente sônico no ponto $O$), a energia química liberada consegue alcançar a frente de detonação para continuar a impulsionando. Na prática, por um questão de condições de contorno, uma detonação real sempre corresponde ao ponto de Chapman-Joguet. Heuristicamente, podemos interpretar isso como toda a energia do gás sendo gasta para manter a onda de detonação (pense bem e se convença de que é isso que ocorre nesse ponto).

h) Mostre que no caso de uma detonação forte $(q>>c_{v,1}T_{1})$ vale que:

$v_{1}=\sqrt{2(\gamma^2_{2}-1)q}$

Combustões com fase endotérmica

Uma reação de combustão é sempre exotérmica. Contudo, ainda é possível que ao longo do caminho reacional sejam formados produtos intermediários que reagem de forma endotérmica, tudo isso com a reação global se mantendo exotérmica, como deve ser. Esse fenômeno altera significativamente a dinâmica da detonação, e é a última parte dessa questão.

i) Suponha que em coordenadas $(p^{*}, V^{*})$ o gás em combustão começa a absorver calor até chegar ao fim da reação. Faça um gráfico no plano $p-V$ como o da figura acima em que constem: a adiábata de choque, a adiábata de detonação, a reta de Rayleigh e uma adiábata convencional que passa pelo ponto $(p^{*}, V^{*})$.

j) Responda ao que se pede através de uma análise gráfica:

• O fluxo mínimo $j'$ é maior ou menor do que em uma detonação convencional?
• Identifique no gráfico o novo ponto de Chapman-Joguet.
• Mostre (graficamente) que nesse novo ponto de Joguet o escoamento atrás da detonação é supersônico, ao contrário da detonação convencional.

Boa Sorte!