Lista 07 - Mecânica Quântica - Seletiva

Escrita por Vinicius Névoa

1) O poço quadrado infinito

Um poço quadrado infinito em uma dimensão consiste de uma função potencial que vale $V(x)=0$ entre $x=0$ e $x=a$, e $V(x)=\infty$ fora desse intervalo.

a) Determine a forma geral função de onda de uma partícula de massa $m$ nesse poço.

b) Se $\Psi(x,0) = \dfrac{1}{\sqrt{a}}$ em $t=0$, determine a probabilidade de que a partícula esteja no estado fundamental em $t>0$.

2) O poço quadrado finito

Um poço quadrado finito em uma dimensão consiste de uma função potencial que vale $V(x)=-V_{0}$ entre $x=0$ e $x=a$, e $V(x)=0$ fora desse intervalo. Uma partícula de massa $m$ é dita ligada se sua energia é tal que $-V_{0}<E<0$.

a) Ache a equação transcendental que fornece as energias possíveis para os estados ligados do poço quadrado infinito.

Por sua vez, se $E>0$, a partícula é dita estar em um estado de espalhamento. Normalmente, estados de espalhamento podem ser refletidos por potenciais localizados como o poço quadrado finito.

b) Uma partícula com função de onda incidente $\psi_{i}(x,t)=A e^{i(\omega t -k x)}$ vem do infinito da esquerda para a direita, e, ao encontrar o poço quadrado finito, é refletida: $\psi_{r}(x,t)=B e^{i(\omega t +k x)}$. Ache o coeficiente de reflexão $R=\left(\dfrac{A}{B} \right)^2$. Qual a condição para que a reflexão seja garantida?

 

3) A mais alta torre, o mais fundo poço

Para qualquer potencial físico, tanto a função de onda $\Psi(x,t)$ quanto sua derivada $\dfrac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x}$ são funções contínuas na coordenada $x$. Contudo, a segunda dessas condições não vale na presença de singularidades (i.e, divergências) no potencial $V(x)$. Um caso de particular interesse é o potencial delta de Dirac:

$V(x)=V_{0} \delta (x)$, $V_{0}>0$

No que segue, considere uma função de onda não ligante, $E>0$.

a) Use a equação de Schrödinger para achar uma expressão para $\Delta \left(\dfrac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x} \right)$, isto é, o salto da descontinuidade da função de onda ao atravessar essa parede.

b) Com isso em mãos, determine a probabilidade de que a função de onda $\psi_{i}(x,t)=A e^{i(\omega t -k x)}$ tunele através dessa parede infinitamente rígida e infinitamente fina.

c) Mostre que se $V_{0}<0$, essa probabilidade se mantém inalterada. Interprete isso fisicamente.

 

4) O oscilador harmônico quântico - Operadores de escada

O potencial harmônico dado por $V(x)=\dfrac{1}{2} m \omega^2 x^2$ é um dos mais onipresentes em toda a física. Particularmente, no mundo clássico ele dá origem às ondas, pêndulos, sistemas massa-mola e muitos outros fenômenos. Contudo, é na mecânica quântica que ele mais brilha: é dele que vem os fótons, fônons e quase toda excitação que se modela é feita com a superposição de osciladores harmônicos quânticos. Uma importantíssima propriedade do OHQ é a discretização de seus níveis de energia ser espaçada igualmente:

$E_{n}=\hbar \omega \left( n +\dfrac{1}{2} \right)$

Nessa questão, vamos chegar nesse resultado de duas formas diferentes.

a) Escreva o operador Hamiltoniano $\hat{H}$. Definindo os operadores abaixo:

$\hat{a}_{-}=\dfrac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}(i \hat{p} + m \omega x)$

$\hat{a}_{+}=\dfrac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}}(-i \hat{p} + m \omega x)$

Escreva $\hat{H}$ em função do produto desses operadores e constantes. Lembre-se que $\hat{p}=i \hbar \dfrac{\partial}{\partial x}$.

Esses operadores são chamados de operadores de escada, por causa da propriedade que provaremos a seguir:

b) Prove que se $\psi$ é solução da equação de Schrödinger com energia $E$, então $\hat{a}_{+} \psi$ é também solução, mas com energia $E+\hbar \omega$.

Similarmente, se $\psi$ é solução da equação de Schrödinger com energia $E$, então $\hat{a}_{-} \psi$ é também solução, mas com energia $E-\hbar \omega$. Contudo, energias negativas são proibidas! (Por que?). Logo, deve existir um estado fundamental $\psi_{0}$ tal que $\hat{a}_{-} \psi_{0} = 0$.

c) Ache $\psi_{0}$ e sua energia $E_{0}$. Com isso, prove que $E_{n}=\hbar \omega \left( n +\dfrac{1}{2} \right)$, em que $n$ é o n-ésimo degrau da "escada".

5) A expansão súbita

Existem situações em que o potencial ao qual uma partícula está sujeita muda tão bruscamente que a partícula "não percebe". Em termos físicos, o tempo característico da mudança é muito menor que o do movimento da partícula. Nesse caso, a função de onda da partícula antes e depois da mudança é a mesma.

Inicialmente, considere uma partícula de massa $m$ no estado fundamental de um poço quadrado infinito de largura $L$.

a) Escreva a função de onda normalizada da partícula.

Em um certo momento, esse poço expande subitamente, e sua largura vai de $L$ à $2L$. A função de onda da partícula é a mesma, mas agora ela não mais corresponde ao estado fundamental do novo poço. Mais ainda, ela agora nem sequer é um autoestado do novo poço, mas sim uma combinação linear de (possivelmente) infinitos novos autoestados.

b) Prove que a probabilidade da partícula acabar no n-ésimo estado excitado do novo poço é dada por:

$P(1 \rightarrow n)=\displaystyle{ \int \limits_{0}^{L} \psi_{1}(x) \psi^{'}_{n}(x) dx}$

Em que $\psi^{'}_{n}(x)$ é o n-ésimo autoestado do novo poço. Calcule essa probabilidade para $n=1$ e $n=2$.

c) Calcule de forma exata o trabalho feito pelo agente que promoveu a expansão do poço.

6) Teoria das perturbações

Uma das técnicas mais poderosas da mecânica quântica é a teoria das perturbações, em que se superpõem ao Hamiltoniano inicial $H_{0}$ uma perturbação $H'$. Seja um parâmetro $\lambda$ uma maneira de "ligar" a perturbação, de modo que $\lambda=0$ é o estado original e $\lambda=1$ o estado perturbado:

$H=H_{0}+\lambda H'$

Vamos escrever a função de onda e a energia da partícula como uma expansão em potências de $\lambda$, com o primeiro termo sendo os originais do sistema não perturbado:

$\psi=\psi_{0}+\lambda \psi_{1} + \lambda^2 \psi_{2} + ...$

$E=E_{0}+\lambda E_{1} + \lambda^2 E_{2} + ...$

a) Prove que, em primeira ordem em $\lambda$, $E_{1} = \langle \psi_{0} | H' | \psi_{0} \rangle$. Ou seja, a primeira perturbação da energia é o valor esperado da perturbação no estado original.

b) Ache a perturbação em primeira ordem do estado fundamental de um poço quadrado infinito quando se liga uma rampa $V'(x)=\beta x$.

c) Determine $\psi_{1}$. Qual é a correção na função de onda do estado fundamental do item anterior?

7) Ligando um campo elétrico

Uma partícula de massa $m$ e carga $q$ está no estado fundamental de uma oscilador harmônico quântico. É um fato conhecido que a função de onda do estado fundamental do OHQ é uma gaussiana: $\psi(x) = A e^{-\alpha x^2}$.

a) Determine $A$, $\alpha$ e a energia do estado fundamental.

Então, liga-se um campo elétrico de módulo $D$ ao longo da direção $x$.

b) Qual o novo Hamiltoniano?

c) Use uma fatoração conveniente e ache, de forma exata, a nova energia do estado fundamental.

d) Se o tempo característico dessa mudança é muito menor que $\dfrac{1}{\omega}$, determine a probabilidade da partícula continuar no estado fundamental após ligarmos o campo elétrico.

8) Não tão livre para girar

Uma molécula de momento de inércia $J$ e momento de dipolo elétrico $p$  gira livremente em um plano, sua equação de Schrödinger sendo:

$\dfrac{-\hbar^2}{2 J} \dfrac{d^2 \psi(\phi)}{d \phi^2} = E \psi(\phi)$

a) Ache a função de onda e energia de cada estado $n$.

b) Ache a correção para a energia do estado fundamental (em segunda ordem) quando se liga um campo elétrico nesse plano de módulo $D$. Note que a correção de primeira ordem é nula.

9) Juntando as peças

a) Determine o calor específico de uma gás de osciladores harmônicos quânticos livres a uma temperatura $T$.

Não é apenas o potencial $V(x)$ que pode sofrer perturbações! A energia cinética também pode ser expandida em potências de $\dfrac{v}{c}$ para aproximações relativísticas (cuidado, essa versão da mecânica quântica não suporta relatividade, isso é apenas uma aproximação). Agora, usando teoria da perturbação em primeira ordem na energia:

b) Determine o calor específico de uma gás de osciladores harmônicos quânticos relativísticos livres a uma temperatura $T$.