Lista 1 - Mecânica Clássica

Escrita por Vinicius Névoa

1) Quiques periódicos

Uma bola de borracha de momento de inércia $I$ e massa $m$ colide com o chão horizontal com uma velocidade $v=(v_{x},v_{y})$ e certa velocidade angular $\omega$ paralela ao chão. O coeficiente de atrito estático entre a bola e o chão vale $\mu$, e a colisão é perfeitamente elástica. Ache a condição para que a velocidade da bola logo após a n-ésima colisão seja $v=((-1)^nv_{x},v_{y})$, isto é, para que ela quique sempre nos mesmos dois pontos no espaço.

2) Um histograma relevante

Uma partícula relativística de massa $M$ e velocidade $V$ em relação ao sistema do laboratório decai espontaneamente em duas partículas de massas $m_{1}$ e $m_{2}$. Ache a distribuição de energia de uma delas em função dos parametros em negrito e constantes da natureza. Nota: a distribuição de energia é a função $\Omega(E)$ que diz a probabilidade da partícula-filha ter energia entre $E$ e $E+dE$. É interessante pensar no referencial do centro de massa do sistema.

3) Um barulho bem agudo

Vamos investigar um aparente paradoxo. Uma moeda de massa $m$ e raio $R$ cai no chão e começa aquela típica “dança” em que a moeda se inclina em relação ao chão por um certo ângulo $\alpha$ e seu ponto de contato traça um círculo sem deslizar. Considere que o seu centro de massa está em repouso:

a) Calcule a velocidade angular com que o ponto de contato traça seu movimento circular na mesa.

A medida que a energia vai sendo dissipada, o som vai ficando mais agudo, uma vez que a velocidade angular acima diverge em $\alpha = 0$. Mas se a energia está sendo dissipada, como há uma velocidade angular aumentando arbitrariamente?

b) Calcule a energia total do sistema em função de $\alpha$ e explique o que está acontecendo.

4) Uma questão (quase) clássica

Uma esfera oca de massa $m$ e raio $R$ é completamente preenchida por um líquido de densidade $\rho$ e viscosidade nula, e não há atrito entre o líquido e a superfície interna da esfera. Esta esfera é posta sobre uma mesa que gira com velocidade angular constante $\Omega$ ao redor do seu centro, e cujo atrito estático em relação a esfera é suficiente para que nunca haja deslizamento. Determine:

a) A frequência angular com a qual ela percorrerá essa trajetória.
b) A trajetória que a esfera fará na mesa em função da sua posição inicial $\vec{r_{0}}$ e velocidade inicial $\vec{v_{0}}$

5) Treinando para ser Sniper

Quando um objeto cai a partir do repouso de uma certa altura na superfície da Terra, ele se desvia da trajetória perfeitamente vertical devido à ação de forças inerciais. Considere um objeto caindo de uma altura $H$, em uma latitude $\theta$. Sendo $\Omega$ a velocidade angular da Terra e $g$ a gravidade local, determine:

a) O desvio ao leste que o objeto sofrerá
b) O desvio ao sul que ele sofrerá em função desse desvio ao leste

6) Rota de colisão

Uma extensa chuva de meteoros, de dimensões muito maiores que o raio da Terra, está vindo em direção ao nosso planeta. Sendo $M$ e $R$ a massa e o raio da Terra, $n$ a densidade de meteoros na chuva (número de meteoros por unidade de área de secção transversal, quando no infinito), cada qual com massa $m$ muito menor que $M$ e dimensão desprezível, e $v$ a velocidade que eles possuem no infinito, ache a energia térmica total que nosso planeta receberá caso todas as colisões sejam inelásticas.

7) Muito rápido para cair

É sabido que um pião com velocidade angular muito baixa não para em pé. Seja um pião cilindricamente simétrico, com momento de inércia ao longo do eixo de simetria dado por $I_{3}$, e ao longo dos outros dois eixos dado por $I$, sendo $M$ a massa total, $s$ a distância do CM em relação ao ponto de contato com a mesa que é fixo. Qual a menor velocidade angular ao redor do seu eixo de simetria para que ele seja estável quando inclinado de um ângulo $\theta$ em relação à vertical?

8) Um equilíbrio insólito

Um pêndulo simples possui dois pontos de equilíbrio: $\theta=0$ e $\theta=\pi$. Contudo, esse último ponto de equilíbrio é instável. Curiosamente, é possível torna-lo estável se o ponto de suporte do pêndulo oscilar verticalmente muito rápido!
Seja um pêndulo simples de massa $m$ e comprimento $L$, e a posição do ponto de apoio sendo $Y(t)=Asin(\lambda t)$. Considere $A<<L$ e $\lambda>>\sqrt{\dfrac{g}{L}}$. Ache a condição para que a posição $\theta=\pi$ seja um equilíbrio estável.

9) Histerese em osciladores não lineares

Um oscilador anarmônico pode apresentar histerese quando existir uma certa faixa de frequências para as quais existe mais de uma amplitude possível. Quando isso ocorre, a amplitude real dependerá da frequência estar aumentando ou diminuindo, obedecendo a continuidade da curva (algo semelhante a questão de circuitos da IPhO 2016).

a) Para um oscilador harmônico de frequência natural $\omega_{0}$, amortecido por uma força resistiva $F_{dissipativa}=\gamma \dot{x}$ e impulsionado por uma força $F=F_{0}cos(\omega t)$, ache a amplitude do seu movimento $A(\omega)$ e esboce essa curva.

b) Consideraremos agora o sistema perto da sua ressonância (da amplitude). Simplifique a expressão acima usando $\omega=\omega_{0}+\epsilon$, $\dfrac{\epsilon}{\omega_{0}} << 1$. Despreze termos da ordem de $O(\gamma^2\epsilon)$, sob a hipótese de amortecimento fraco.

c) Considere agora que o oscilador é anarmônico: $F_{restauradora}=k x+\alpha x^2+\beta x^3$. Isso faz com que a frequência natural dependa do quadrado da amplitude somado à frequência natural anterior: $\epsilon_{anarmonico}=\epsilon_{harmonico}+\kappa A^2$ (A demonstração disso é matematicamente acessível, mas não é necessária para os nossos propósitos). Substitua a nova expressão no resultado da letra b. Esse coeficiente $\kappa$ pode ser obtido em função de $(k, \alpha, \beta)$

É possível usar a equação do item b para o item anterior porque, para anarmonicidades pequenas, a forma das equações de movimento se preserva em até segunda ordem. O que muda são as constantes envolvidas.

Dependendo da amplitude $F_{0}$ da força externa, a expressão $A(\epsilon)$ para a amplitude de oscilação perto da ressonância deixa de ser uma função:

Legenda: Amplitude da oscilação b (no nosso caso, A) versus desvio a partir da ressonância $\epsilon$.

d) Ache a expressão para as frequências $\epsilon^-$ e $\epsilon^+$ que delimitam o ciclo de histerese BCED da figura c. O trecho pontilhado CD é instável e, portanto, não ocorre experimentalmente.

e) Qual é a menor amplitude $F_{c}$ da força externa para que exista o ciclo de histerese BCED?

Boa Sorte!