Escrita por Vinicius Névoa
1) Quiques periódicos
Uma bola de borracha de momento de inércia $$I$$ e massa $$m$$ colide com o chão horizontal com uma velocidade $$v=(v_{x},v_{y})$$ e certa velocidade angular $$\omega$$ paralela ao chão. O coeficiente de atrito estático entre a bola e o chão vale $$\mu$$, e a colisão é perfeitamente elástica. Ache a condição para que a velocidade da bola logo após a n-ésima colisão seja $$v=((-1)^nv_{x},v_{y})$$, isto é, para que ela quique sempre nos mesmos dois pontos no espaço.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Relacione a variação de momento linear na vertical com aquela na horizontal. Cuidado: se a velocidade angular também não for simetricamente alterada após cada quique, o próximo quique pousará no lugar errado[/spoiler]
2) Um histograma relevante
Uma partícula relativística de massa $$M$$ e velocidade $$V$$ em relação ao sistema do laboratório decai espontaneamente em duas partículas de massas $$m_{1}$$ e $$m_{2}$$. Ache a distribuição de energia de uma delas em função dos parametros em negrito e constantes da natureza. Nota: a distribuição de energia é a função $$\Omega(E)$$ que diz a probabilidade da partícula-filha ter energia entre $$E$$ e $$E+dE$$. É interessante pensar no referencial do centro de massa do sistema.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]No referencial do centro de massa, por simetria, o decaimento é isotrópico. Ou seja, toda direção é equiprovável para ser a reta suporte dos momentos lineares do par de partículas formado. Use a transformação de Lorentz para relacionar as quantidades que no referencial do CM são conhecidas com aquelas que você quer achar.[/spoiler]
3) Um barulho bem agudo
Vamos investigar um aparente paradoxo. Uma moeda de massa $$m$$ e raio $$R$$ cai no chão e começa aquela típica “dança” em que a moeda se inclina em relação ao chão por um certo ângulo $$\alpha$$ e seu ponto de contato traça um círculo sem deslizar. Considere que o seu centro de massa está em repouso:
a) Calcule a velocidade angular com que o ponto de contato traça seu movimento circular na mesa.
A medida que a energia vai sendo dissipada, o som vai ficando mais agudo, uma vez que a velocidade angular acima diverge em $$\alpha = 0$$. Mas se a energia está sendo dissipada, como há uma velocidade angular aumentando arbitrariamente?
b) Calcule a energia total do sistema em função de $$\alpha$$ e explique o que está acontecendo.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Se um disco girante tem seu centro de massa e algum outro ponto em repouso, então é porque seu vetor velocidade angular passa por esse par de pontos. Com isso em mente, vá para o referencial em que o ponto de contato do disco com o chão está em repouso. [/spoiler]
4) Uma questão (quase) clássica
Uma esfera oca de massa $$m$$ e raio $$R$$ é completamente preenchida por um líquido de densidade $$\rho$$ e viscosidade nula, e não há atrito entre o líquido e a superfície interna da esfera. Esta esfera é posta sobre uma mesa que gira com velocidade angular constante $$\Omega$$ ao redor do seu centro, e cujo atrito estático em relação a esfera é suficiente para que nunca haja deslizamento. Determine:
a) A frequência angular com a qual ela percorrerá essa trajetória.
b) A trajetória que a esfera fará na mesa em função da sua posição inicial $$\vec{r_{0}}$$ e velocidade inicial $$\vec{v_{0}}$$
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Se não há atrito entre o líquido e a esfera, então ele contribui para a massa do sistema, mas não para o momento de inércia. Nessa questão, é imprescíndivel trabalhar com a forma vetorial das quantidades envolvidas (torque, momento angular, força…) [/spoiler]
5) Treinando para ser Sniper
Quando um objeto cai a partir do repouso de uma certa altura na superfície da Terra, ele se desvia da trajetória perfeitamente vertical devido à ação de forças inerciais. Considere um objeto caindo de uma altura $$H$$, em uma latitude $$\theta$$. Sendo $$\Omega$$ a velocidade angular da Terra e $$g$$ a gravidade local, determine:
a) O desvio ao leste que o objeto sofrerá
b) O desvio ao sul que ele sofrerá em função desse desvio ao leste
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Use que a força de Coriolis é dada por $$F_{c}=2m \vec{v} \times \omega$$ [/spoiler]
6) Rota de colisão
Uma extensa chuva de meteoros, de dimensões muito maiores que o raio da Terra, está vindo em direção ao nosso planeta. Sendo $$M$$ e $$R$$ a massa e o raio da Terra, $$n$$ a densidade de meteoros na chuva (número de meteoros por unidade de área de secção transversal, quando no infinito), cada qual com massa $$m$$ muito menor que $$M$$ e dimensão desprezível, e $$v$$ a velocidade que eles possuem no infinito, ache a energia térmica total que nosso planeta receberá caso todas as colisões sejam inelásticas.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Ache o menor parâmetro de impacto que tem um periélio maior que $$R$$: todos os outros colidem com a terra. [/spoiler]
7) Muito rápido para cair
É sabido que um pião com velocidade angular muito baixa não para em pé. Seja um pião cilindricamente simétrico, com momento de inércia ao longo do eixo de simetria dado por $$I_{3}$$, e ao longo dos outros dois eixos dado por $$I$$, sendo $$M$$ a massa total, $$s$$ a distância do CM em relação ao ponto de contato com a mesa que é fixo. Qual a menor velocidade angular ao redor do seu eixo de simetria para que ele seja estável quando inclinado de um ângulo $$\theta$$ em relação à vertical?
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Desenhe os vetores momento angular e tome sua projeção na horizontal, afinal o torque da força gravitacional só afeta o componente horizontal do momento angular.[/spoiler]
8) Um equilíbrio insólito
Um pêndulo simples possui dois pontos de equilíbrio: $$\theta=0$$ e $$\theta=\pi$$. Contudo, esse último ponto de equilíbrio é instável. Curiosamente, é possível torna-lo estável se o ponto de suporte do pêndulo oscilar verticalmente muito rápido!
Seja um pêndulo simples de massa $$m$$ e comprimento $$L$$, e a posição do ponto de apoio sendo $$Y(t)=Asin(\lambda t)$$. Considere $$A<<L$$ e $$\lambda>>\sqrt{\dfrac{g}{L}}$$. Ache a condição para que a posição $$\theta=\pi$$ seja um equilíbrio estável.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Decomponha o ângulo que o pêndulo faz com a vertical em uma soma de um componente que varia muita rapidamente com um que varia mais lentamente; expanda senos e cossenos da soma desses angulos e tome as médias temporais apropriadas. [/spoiler]
9) Histerese em osciladores não lineares
Um oscilador anarmônico pode apresentar histerese quando existir uma certa faixa de frequências para as quais existe mais de uma amplitude possível. Quando isso ocorre, a amplitude real dependerá da frequência estar aumentando ou diminuindo, obedecendo a continuidade da curva (algo semelhante a questão de circuitos da IPhO 2016).
a) Para um oscilador harmônico de frequência natural $$\omega_{0}$$, amortecido por uma força resistiva $$F_{dissipativa}=\gamma \dot{x}$$ e impulsionado por uma força $$F=F_{0}cos(\omega t)$$, ache a amplitude do seu movimento $$A(\omega)$$ e esboce essa curva.
b) Consideraremos agora o sistema perto da sua ressonância (da amplitude). Simplifique a expressão acima usando $$\omega=\omega_{0}+\epsilon$$, $$\dfrac{\epsilon}{\omega_{0}} << 1$$. Despreze termos da ordem de $$O(\gamma^2\epsilon)$$, sob a hipótese de amortecimento fraco.
c) Considere agora que o oscilador é anarmônico: $$F_{restauradora}=k x+\alpha x^2+\beta x^3$$. Isso faz com que a frequência natural dependa do quadrado da amplitude somado à frequência natural anterior: $$\epsilon_{anarmonico}=\epsilon_{harmonico}+\kappa A^2$$ (A demonstração disso é matematicamente acessível, mas não é necessária para os nossos propósitos). Substitua a nova expressão no resultado da letra b. Esse coeficiente $$\kappa$$ pode ser obtido em função de $$(k, \alpha, \beta)$$
É possível usar a equação do item b para o item anterior porque, para anarmonicidades pequenas, a forma das equações de movimento se preserva em até segunda ordem. O que muda são as constantes envolvidas.
Dependendo da amplitude $$F_{0}$$ da força externa, a expressão $$A(\epsilon)$$ para a amplitude de oscilação perto da ressonância deixa de ser uma função:
Legenda: Amplitude da oscilação b (no nosso caso, A) versus desvio a partir da ressonância $$\epsilon$$.
d) Ache a expressão para as frequências $$\epsilon^-$$ e $$\epsilon^+$$ que delimitam o ciclo de histerese BCED da figura c. O trecho pontilhado CD é instável e, portanto, não ocorre experimentalmente.
e) Qual é a menor amplitude $$F_{c}$$ da força externa para que exista o ciclo de histerese BCED?
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]Os pontos de quebra do ciclo de histerese, como pode ser visto pelo gráfico, são aqueles em que $$\dfrac{d A}{d \epsilon}$$ diverge. Você deve primeiro achar um polinômio em $$A$$ através dos itens anteriores.[/spoiler]
Boa Sorte!