Física - Semana 100

Escrito por Matheus Pon100ano

Iniciante:

A lei da Gravitação Universal representa um passo gigantesco no entendimento da dinâmica do sistema solar. A descoberta de sua mais conhecida fórmula matemática : $F= \dfrac{GMm}{r^2}$ se deve a Isaac Newton. Mas como Newton descobriu a forma matemática da lei? Embora a lei da Gravitação Universal não possa ser demonstrada, podemos responder à pergunta recorrendo a argumentos de plausibilidade.

Parte A:

Considere a órbita de um satélite em torno da Terra. Por simplicidade suponhamos que a Terra esteja em repouso em relação ás estrelas fixas. Ainda por simplicidade, suponhamos também que a órbita do satélite em torno da Terra seja um círculo de raio $r$.

A.1) Determine a força que atua no satélite em função de sua massa $m$, o seu raio de órbita $r$ e o seu período de órbita $T$.

A.2) Utilizando a terceira lei de Kepler obtenha uma relação entre $T$ e $r$.

A.3) Substitua na fórmula encontrada no item A.1) e verifique se a força depende de $\dfrac{1}{r^2}$.

Parte B:

Achamos a força que atua no satélite considerando as massas como pontos materiais. Isso pode ser feito por considerarmos a Terra uma esfera e o satélite não estar dentro da Terra. Como ficaria então a força gravitacional que atua num corpo que está dentro da Terra? Considere a Terra homogênea e de densidade $\rho$ e de raio $R$.

B.1) Determine a gravidade $g_o$ na superfície da Terra.

B.2) Suponho este corpo estar a uma distância $r$ do centro da Terra. Podemos delimitar uma casca esférica de raio $r$. Substitua a massa da Terra que está dentro desta casca como $M$ para encontrar a gravidade que atua no corpo.

Utilizar a massa que está dentro da casca esférica gerando uma gravidade como se fosso um ponto material no centro da Terra possui uma explicação. Essa explicação é a Lei de Gauss na Gravitação. A Lei de Gauss diz que o fluxo de um campo por uma superfície fechada (no exemplo que usamos, uma esfera) é igual ao fluxo de fontes e sumidouros deste campo no interior dessa superfície. Para o caso da gravitação, a forma matemática fica:

$\sum_{j=1}^{N} g_j\Delta A_j= 4\pi G M_{interna}$

Onde $\Delta A_j$ e $g_j$ correspondem a uma pequena área da superfície e ao campo gravitacional que "escapa" por essa parte da superfície, respectivamente. Perceba que no caso da esfera, por apresentar uma simetria radial, o valor do campo é o mesmo em qualquer ponto da casca esférica. Superfícies que possuem essa simetria são chamadas superfícies gaussianas.

Parte C:

Suponha que exista um planeta salsicha bem longo, ou seja, cilíndrico de densidade $\rho$ e raio $R$. Utilizando a lei de Gauss e usando a superfície gaussiana de um cilindro.

C.1) Determine a gravidade $g_o$ que atua na superfície desse planeta. Note que por ser bem longo, as componentes tangentes da gravidade são canceladas por possuir uma simetria, sendo então apenas radial.

C.2) Determine a gravidade em um ponto a uma distância $r$ do eixo do cilindro.

C.3) Determine a velocidade necessária para colocar um corpo em órbita a uma distância $r$ do eixo do planeta.

Intermediário:

Um meio de índice de refração $n$ possui uma superfície de formato tal que qualquer raio de luz vindo do vácuo paralelo ao eixo principal (eixo de simetria do meio) que incide na sua superfície passa por um ponto $F$ a uma distância $f$ da origem do meio.

Parte A:

A.1) Considere que os feixes paralelos são gerados por uma mesma fonte no infinito. Determine a relação dos seus caminhos ópticos até o ponto $F$ de um feixe que está no eixo principal e outro que está a uma distância $y$ do eixo principal.

A.2) Determine o formato da superfície do meio.

Parte B:

É feito um corte transversal desse meio a uma distância $\dfrac{f}{2}$ formando uma lente. Agora os raios paralelos são direcionados para um ponto $F'$ com uma distância $f'$ da origem da lente.

B.1) Determine a altura total da lente.

B.2) Determine $f'$ em função de $f$ e $n$.

Avançado:

A existência das estrelas é devido a um frágil equilíbrio. A exorbitante massa de plasma é puxada pela sua própria gravidade espremendo os átomos com uma força tão grande que possibilita a fusão de núcleos. O hidrogênio na estrela se funde, transformando-se em hélio. Essa fusão nuclear libera energia que empurra o plasma para fora contra a gravidade, tendo então uma pressão de radiação. Enquanto este equilíbrio existir, as estrelas são bastantes estáveis. Porém, em algum momento quase todo o hidrogênio terá esgotado. Estrelas médias como o Sol passarão por um estágio de gigante, fundindo hélio em carbono, carbono em oxigênio antes que se tornem anãs brancas.

Em estrelas mais massivas, algo mais interessante acontece ao esgotar o hidrogênio. Por um momento, na fusão do hélio em carbono, a gravidade "vence" a pressão de radiação, espremendo o núcleo da estrela com muito mais força. O núcleo começa a fundir elementos mais pesados e mais rápido, ficando mais quente e aumentando o tamanho da estrela. O núcleo funde na seguinte ordem: carbono $\rightarrow$ neônio $\rightarrow$ oxigênio $\rightarrow$ silício $\rightarrow$ ferro. O ferro não é capaz mais de gerar energia por fusão, a estrela então "morre". Por não haver mais a pressão de radiação, o núcleo é esmagado pelo enorme peso da estrela atuando nele. Os elétrons e os prótons nos átomos de ferro são fundidos em nêutrons, que continuam a ser empurrados fazendo o núcleo diminuir de tamanho. Uma bola de ferro do tamanho da Terra é comprimida a uma "pequena" esfera do tamanho de uma cidade. Não apenas o núcleo, mas toda a estrela implode. A implosão da camada de plasma reflete no núcleo, produzindo uma onda de choque para fora que catapulta o resto da estrela no espaço. Essa explosão é chamada de "supernova", brilhando tanto quanto uma galáxia. O que sobra da estrela é agora uma estrela de nêutrons. Sua massa é da ordem de $1$ milhão de vezes a massa da Terra mas comprimida em uma esfera de $25$ $km$ de diâmetro. A temperatura na sua superfície é na ordem de $1.000.000$ $^oC$. Para se ter noção, a temperatura na superfície do Sol é de quase $6.000$ $^oC$.

Parte A:

Após uma estrela de nêutrons nascer ela possui uma temperatura na ordem de $10^{12}$ $K$, o seu núcleo sofre um enorme resfriamento para uma temperatura na ordem de $10^9$ $K$. Esse resfriamento é teorizado por ser causado pelo processo urca direto. Nêutrons excitados termicamente sofrem um decaimento beta, liberando prótons, elétrons e antineutrinos. Essa reação pode ser escrita da forma:

$n \rightarrow p + e^- + \bar{v_e}$ $(1)$

Os prótons termicamente excitados fazem o processo reverso, gerando nêutrons, pósitrons e neutrinos, sendo escrito da forma:

$p \rightarrow n + e^+ + v_e$ $(2)$

Os neutrinos levam energia para fora da estrela ao escapar dela, resfriando a estrela.

A.1) Determine a energia associada ao processo $(1)$ em $MeV$.

A.2) Determine a energia associada ao processo $(2)$ em $MeV$

A.3) Determine a energia liberada em um ciclo do processo urca direto em $MeV$

Dados:

$m_{n} = 939,6$ $MeV/c^2$

$m_{p} = 938,3$ $MeV/c^2$

$m_{e^-} = 0,5$ $MeV/c^2$

$m_{v_e} \approx 0$

$c = 3*10^8$ $m/s^2$

O processo urca direto necessita de uma alta temperatura para funcionar por atuar com prótons e nêutrons termicamente. A estrela ao atingir uma temperatura na ordem de $10^9$ $K$ passa a atuar no processo urca modificado, que libera a mesma energia por ciclo que o processo urca direto porém ocorre muito mais lentamente, diminuindo a velocidade de resfriamento da estrela.

Considere uma estrela de nêutrons de massa $M = 3,6*10^{30}$ $kg$, raio $R=10$ $km$ e temperatura após o resfriamento  $T=6*10^5$ $K$. A constante de Stefan-Boltzmann vale $\sigma = 5,67 *10^{-8}$ $W/m^2K^4$ e a massa do nêutron é $m_n = 1,68*10^{-27}$ $kg$.

A.4) Qual a potência irradiada termicamente pela estrela? Considere ela um corpo negro.

A.5) Qual a energia que a estrela ainda possui caso ela seguisse algum dos processos urca?

Conversão de MeV para Joule: $1 MeV \approx 1,6*10^{-13}J$

A.6) Estime o tempo de vida que a estrela de nêutrons ainda possui.

Parte B:

As estrelas de nêutrons possuem um enorme campo magnético. e por serem bem menores que as estrelas que as geraram, giram muito rápido. Ocorre então a emissão de radiação eletromagnética na forma de jatos com a direção do eixo magnético. Esse eixo porém não é necessariamente alinhado com o eixo de rotação da estrela, gerando um efeito de farol. Uma estrela de nêutrons com esse efeito é chamada de pulsar. Considere um pulsar de raio $R$ com uma velocidade angular $\Omega$. Vamos supor que o campo magnético gerado seja por um momento de dipolo magnético $m$, no centro da estrela, fazendo um ângulo $\theta$ com o eixo de rotação da estrela.

B.1) Num ponto na superfície da estrela no polo positivo magnético a intensidade do campo magnético é $B$. Determine $m$.

A aceleração de um momento de dipolo gera a radiação eletromagnética. A potência dessa radiação é dada por:

$Pot = - \dfrac{\mu_o |\ddot{\vec{m}}|^2}{6 \pi c^3}$

B.2) Determine a potência dissipada pela radiação eletromagnética em função de $B$, $R$, $\Omega$, $\theta$ e das contantes físicas.

Vamos supor que a estrela possui um momento de inércia $I$ e ao nascer tinha uma velocidade angular $\Omega_o$.

B.3) Determine a velocidade angular $\Omega$ em função do tempo.