Escrito por Ualype Uchôa
Iniciante:
Utilizando um modelo simples, você irá estimar a densidade de uma melancia, baseando-se na Figura 1. Considere que a melancia é uma esfera homogênea e negligencie a refração e efeitos tridimensionais.
Figura 1: Melancia flutuando na água dentro de um balde.
a) Determine o volume da parte melancia que se encontra imersa na água, em função de seu raio $$r$$ e do parâmetro $$q=\dfrac{r_0}{r}$$, onde $$r_0$$ é o raio do círculo que demarca a intersecção da fruta com a superfície da água.
b) Determine a densidade da melancia, $$\rho$$, em função de $$q$$ e $$\rho_0$$, a densidade da água.
c) (EDIT) A partir de medições com uma régua na figura 1, você deve ser capaz de estimar o valor de $$q$$. Feito isso, estime o valor numérico de $$\rho$$, sabendo que a densidade da água vale $$1,00$$ $$kg/m^3$$.
OBS.: Você pode precisar das seguintes informações:
Volume de uma calota esférica: $$V_{calota} = \dfrac{\pi h}{6}(3r^2+h^2)$$.
Figura 2: Calota esférica.
Volume de uma esfera: $$V_{esfera}= \dfrac{4}{3} \pi R^3$$, onde $$R$$ é seu raio.
Intermediário:
Duas esferas $$A$$ e $$B$$, de massas $$M$$ e $$3M$$, respectivamente, encontram-se isoladas no universo. A figura abaixo mostra a configuração inicial do sistema. Determine a distância entre as esferas quando a velocidade de $$A$$ for $$4v$$ para a direita, sabendo que elas ainda não terão colidido até esse momento. P.S.: $$G$$ é a constante gravitacional universal.
Figura 3: Esferas movendo-se isoladas no universo.
Avançado:
Suponha que haja duas cascas esféricas concêntricas de raios $$a$$ e $$b$$, tal que $$a<b$$, estando ambas as cascas aterradas. Nesse problema, estudaremos o valor das cargas induzidas $$q_{a}$$ e $$q_{b}$$ que aparecem nas duas cascas esféricas quando coloca-se uma carga pontual $$q$$ à uma distância $$r$$ tal que $$b>r>a$$ do centro das cascas. Duas abordagens serão realizadas durante o problema, por isso, o dividiremos em duas partes.
Figura 4: Cascas esféricas aterradas concêntricas com uma carga $$q$$ no interior.
Parte A:
A.1) Escreva a condição de aterramento para as duas cascas em função $$q$$, $$q_{a}$$, $$q_{b}$$, $$a$$, $$b$$ e $$r$$. Você deve obter um sistema de duas equações.
A.2) Resolva o sistema do item anterior para obter $$q_{a}$$ e $$q_{b}$$.
Parte B:
Definiremos aqui $$q’_{1}$$ e $$r’_{1}$$ como o valor da carga imagem na casca de raio $$a$$ devido à presença da carga $$q$$ e a distância dessa carga ao centro das cascas esféricas e analogamente definimos os valores de $$q”_{1}$$ e $$r”_{1}$$ para a casca de raio $$b$$. Note que uma carga imagem aqui é definida de tal forma que ao olhar somente para o par objeto-imagem o valor do potencial da casca esférica em questão estará zerado. Esse método conhecido como método das imagens é interessante pois se garantirmos que nossas superfícies estejam aterradas podemos calcular o valor do potencial elétrico em qualquer posição do espaço!
$$B.1)$$ Calcule através da definição os valores de $$q’_{1}$$, $$r’_{1}$$, $$q”_{1}$$ e $$q”_{1}$$.
Note contudo que se analisarmos nosso sistema como um todo as cascas esféricas não estão aterradas, pois $$q’_{1}$$ gera um potencial na casca esférica de raio $$b$$ e vice-versa, sendo assim, é necessário criar uma carga imagem $$q”_{2}$$ para compensar esse efeito na casca $$b$$ e uma carga imagem $$q’_{2}$$ para anular o efeito de $$q”_{1}$$ na casca $$a$$, contudo, essas novas cargas também apresentarão esse problema e devemos repetir esse processo infinitamente.
$$B.2)$$ Generalizando as definições acima, encontre $$4$$ equações que relacionem $$q’_{i}$$, $$r’_{i}$$, $$q”_{i}$$, $$r”_{i}$$ com os seus valores para $$i-1$$, note que aqui $$i$$ é um número inteiro maior que $$1$$.
$$B.3)$$ A partir das equações do item anterior, encontre uma relação entre:
$$B.3.1)$$ $$q’_{i}$$ e $$q’_{i-2}$$
$$B.3.2)$$ $$q”_{i}$$ e $$q”_{i-2}$$
$$B.4)$$ A partir dos valores de $$q’_{0}$$, $$q”_{0}$$, $$q’_{1}$$ e $$q”_{1}$$ encontre a fórmula geral para $$q’_{i}$$ e $$q”_{i}$$. Dica: Nesse item, é possível proceder de duas formas, resolvendo diretamente as equações de recorrência de segunda ordem ou encontrando a fórmula para $$i$$ par e $$i$$ ímpar ao resolver duas equações de recorrência de primeira ordem.
$$B.5)$$ É possível mostrar que a soma dos valores das cargas imagens dentro de uma casca serão iguais a carga induzida em sua superfície, demonstre isso.
$$B.6)$$ A partir das expressões encontradas no item $$B.4$$ e do resultado do item $$B.5$$ encontre o valor das cargas induzidas em ambas as superfícies e compare com o resultado da parte $$A$$.