Física - Semana 109

Escrito por Paulo Henrique

Iniciante

Dois pontos no espaço se movem numa reta. O ponto $A$ se move com velocidade constante $v$, e o ponto $B$ com aceleração constante $a$. Sabendo que no tempo $t=0s$, o ponto $B$ está a uma distância $L$ de $A$, está momentaneamente em repouso e sempre se move com a aceleração $a$. Para que os dois pontos se encontrem a aceleração de $B$ não pode exceder um valor. Suponha que $B$ se mova com essa aceleração. Esse valor depende de $v$. Plote o gráfico da aceleração de $B$ em função de $v$. $L$ é mantido constante. Qual é essa curva? Determine seus parâmetros.

Intermediário

Parte A

Nessa primeira parte, vamos analisar o movimento de um projétil num campo gravitacional $g$ constante em algumas situações. O nosso objetivo principal, álém de revisar conceitos familiares de lançamentos, é determinar a velocidade mínima que um projétil deve ser lançado, a partir do polo norte de um hemisfério de raio $R$, de modo a conseguir abandonar o hemisfério sem colidir com o mesmo. Veja a figura abaixo:

É possível determinar essa velocidade $v_0$ de pelo menos duas formas, que serão tratadas aqui.

a) Primeiramente, determinemos essa velocidade usando o resultado de um problema auxiliar e façamos a extensão ao nosso problema. O problema auxiliar é o seguinte: Um projétil é lançado da base de um plano inclinado de inclinação $\beta$ com a horizontal. O projétil é lançado com velocidade $v_0$ e ângulo $\alpha$ com a horizontal.

A equação da trajetória (como origem no ponto de lançamento) é dado por

$$y={\lambda}_1x-\dfrac{g}{2{v_0}^2{\lambda}_2}x^2$$

Determine ${\lambda}_1$ e ${\lambda}_2$, ambos em função de $\alpha$.

b) Qual a equação do plano inclinado? Ou seja, qual expressão de $y_p$ em função de $x_p$? Onde $y_p$ e $x_p$ são coordenadas de um ponto genérico do plano.

c) O projétil atingirá o plano quando $y=y_p$ e $x=x_p$. Sendo assim, mostre que o alcance $A$ ao longo do plano é dado por

$$A=\dfrac{v_0^2}{g}\dfrac{2\sin({\lambda}_3-\beta)-\sin(\beta)}{\cos^2(\beta)}$$

Determine a constante ${\lambda}_3$ em função de alpha.

d) Para uma velocidade fixa $v_0$, com que ângulo $\alpha_0$ o projétil deve ser lançado, de modo que $A$ seja máximo? Qual é esse alcance máximo?

e) Agora, o projétil é posto para galgar um muro de altura $h$ a uma distância $d$ do mesmo. Qual o ângulo de lançamento para que o projétil ultrapasse o muro com velocidade mínima? Mostre que essa velocidade é dada por

$$v_0=\sqrt{g\left(h+\sqrt{h^2+d^2}\right)}$$

f) Voltemos para nosso problema original. Podemos imaginar o hemisfério como sendo um conjunto infinito de muros com altura variável. Para que o projétil abandone o hemisfério, $v_0$ deve ser suficiente para galgar o muro mais "dificultoso". Com o sistema de coordenadas abaixo, a relação entre a altura desses muros e sua posição horizontal, é dada aplicando pitágoras

$$d^2=R^2-(h+R)^2$$

Sendo assim, a velocidade mínima necessária para galgar um muro de altura $h$ é dado pela fórmula já encontrada (observe que nesse caso todas as alturas $h$ são negativas)

$$v_0^2=g\left(h+\sqrt{-2Rh}\right)$$

Ou seja, nosso problema inicial é reduzido a determinar qual a velocidade mínima para galgar um muro imaginário de altura $h_0$ tal que a função $\epsilon(h)=h+\sqrt{-2Rh}$ tenha seu valor máximo para $h=h_0$. Com todas essa informações em mãos, resolva o problema proposto. Expresse a velocidade mínima da seguinte forma

$$v_0={\lambda}_4\sqrt{Rg}$$

Determine o número ${\lambda}_4$.

g) Outra forma de obter $v_0$ é utilizando os conceitos de parábola de segurança. A parábola de segurança é definida como sendo a envoltória de todas as parábolas possível para o lançamento de um projétil com velocidade inicial fixada $v_0$. As possível trajetórias (parábolas) são obtidas variando o ângulo de lançamento. Observe que com essa definição, a parábola de segurança define uma região, denominada zona de seguração, na qual o projétil está confinado, ou seja, não é possível atingir um ponto externo à parábola de segurança. Sabendo que a equação da parábola de segurança é da forma

$$y={\lambda}_5+{\lambda}_6x^2$$

Determine ${\lambda}_5$ e ${\lambda}_6$. Expresse suas respostas em função da velocidade de lançamento $v_0$ e da gravidade $g$.

i) Por definição, pelo menos um ponto da trajetória do projétil (independente do ângulo de lançamento) toca a parábola de segurança e no caso extremo, a trajetória tangencia a superfície do hemisfério em um ponto. Dado que, para a velocidade mínima a parábola de segurança também toca a esfera, determine $v_0$.

Parte B

Essa parte é independente da primeira. Aqui analisaremos o movimento de um sistema massa mola num referencial acelerado. Considere um sistema massa mola (massa $m$ e constante elástica $k$) dentro de um vagão se movendo inicialmente com velocidade $v_0$. Nesse estágio a mola está relaxada. Em $t=0s$, o vagão começa a desacelerar uniformemente. O valor da aceleração é $a$. O objetivo dessa parte é determinar a amplitude de oscilação do sistema massa mola após o vagão parar, adimitindo que o mesmo permaneça parado após desacelerar completamente.

a) Num sistema massa mola, seja $x=A\cos({\Omega}t+\phi)$ a posição do oscilador. Determine a energia total do sistema (elástica + cinética). Expresse sua resposta em função da amplitude $A$ e da constante elástica $k$.

b) Como no Parte A, resolveremos esse problema de duas formas. Nesse caso, as duas formas correspondem a dois referenciais distintos. A partir do momento que o vagão começa a desacelerar, o mesmo se torna um referencial não inercial. Sabemos que, se queremos analisar o movimento da massa nesse referencial, uma força $-m\vec{a}$ deve ser acrescida às forças usuais para obtermos a força resultante. Usando a posição inicial da massa (meio do vagão), determine a posição da massa em relação ao vagão em função do tempo. Ou seja, obtenha a distância da massa até o centro do vagão com função do tempo.

c) Determine a posição do centro do vagão em função do tempo. Essa é a distância do centro do vagão até a origem do sistema de coordenadas, ou seja, a posição inicial do centro do vagão.

d) Some adequadamente as respostas dos dois itens anteriores para obter a posição da massa em função do tempo. A origem está fixada no referencial do laborátorio.

e) (Avançado, pule se preferir) Obtenha a resposta do item anterior trabalhando somente no referencial do laboratório. Você deverá obter uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea. A solução particular é a mais óbvia possível, inclusive, já obtida no item anterior.

f) Determine a velocidade da massa, assim como a elongação da mola, no instante que o vagão para. Expresse sua resposta em função de todas as constantes fornecidas anteriormente.

g) Qual a amplitude do movimento? Observe que após o vagão parar, o mesmo é inercial e as leis de conservação funcionam normalmente.

Avançado

Parte A

Nesse problema, estudaremos o movimento de corpos rígidos e aprenderemos o conceito de centro instantâneo de rotação, usaremos também o método analítico na parte B para solução de problemas com vínculos. A parte C trata de um desafio independente.

Por definição, um corpo é rígido quando a distância entre as partículas que o compoe se mantêm constante durante todo o movimento. Essa, aparentemente simples, condição implica várias propriedades interessantes, uma delas é o conceito de centro instantâneo de rotação, a sigla é C.I.R. Como a distância entre dois quaisquer pontos ($A$ e $B$) é constante as velocidades dos pontos ao longo da linha que os une são iguais. Se não fosse, teríamos uma velocidade radial não nula, o que implicaria uma mudança na distância entre eles. Alternativamente, podemos imaginar a situação no referencial de um dos pontos.

a) Considere dois pontos $A$ e $B$ pertencentes ao mesmo corpo rígido $\Sigma$. Qual o tipo de movimento de $A$ visto por alguem acompanhando o ponto $B$? Ou seja, no referencial do ponto $B$.

b) A resposta do item a implica que o módulo da velocidade relativa de $A$ em relação à $B$ seja da forma

$$V_{AB}={\Omega}_{AB}r_{AB}$$

Onde $\Omega_{AB}$ é a velocidade angular de $A$ em relação à $B$ e $r_{AB}$ é o módulo do vetor posição de $A$ em relação à $B$, ou seja:

$$r_{AB}\equiv{|\vec{r}_A-\vec{r}_B|}=|\vec{R}_{AB}|$$

Podemos escrever a velocidade relativa em notação vetorial, notando que essa velocidade é perpendicular ao vetor posição $\vec{R_{AB}}$. Mostre, usando argumentos simples, que

$$\vec{V}_A=\vec{V}_B+\vec{{\Omega}}_{AB}\times{\vec{R}_{AB}}$$

c) Outro fato interessante é que para quaisquer pares de pontos $AB$ e $CD$, pertencentes à $\Sigma$ ,temos

$$\vec{\Omega}_{AB}=\vec{\Omega}_{CD}$$

(Opcional) Mostre que a equação acima é válida.

d) Em geral, a relação das velocidades entre dois pontos de $\Sigma$ pode ser utilizada pra deduzir qualquer vínculo entre acelerações. Com o conjunto de fatos acima, chegamos numa definição matemática para o C.I.R. Ele é definido como o ponto do espaço $A$, tal que $\vec{V}_A=0$. Observe que esse ponto não precisa pertencer a $\Sigma$. Consequentemente, a distância entre o C.I.R. e qualquer ponto do corpo pode mudar. Com essa definição, a velocidade instântanea de qualquer ponto de $\Sigma$ pode ser obtida por um único produto vetorial. Para isso, devemos conhecer a velocidade angular do corpo e a posição instantânea do C.I.R. Alternativamente, se temos a velocidade de dois pontos do corpo rígido, podemos obter a posição de C.I.R e a velocidade angular do corpo. Observe que a velocidade de qualquer ponto é perpendicular ao seu vetor posição em relação ao C.I.R, portanto, a interseção de duas perpendiculares às velocidades de dois pontos do corpo rídigido em questão é o C.I.R. O módulo das velocidades é simplesmente ${\Omega}R$, onde a distância pode ser obtida geometricamente.

Considere uma escada deslizando sem atrito numa quina de parede. A velocidade da ponta da escada apoiada no chão é $V$ e o ângulo que a escada faz com a vertical é $\beta$. Localize o C.I.R, determine a velocidade da ponta da escada apoiada na parede e mostre que a velocidade angular é dada por

$$\Omega=\dfrac{V}{L\sin(\beta)}$$

Onde $L$ é o comprimento da escada.

e) Para o problema anterior, faça um desenho evidenciando o movimento do C.I.R durante o movimento de queda da barra. Qual o parâmetro(s) da curva?

Parte B

a) Nessa parte, faremos uma breve análise do movimento do sistema abaixo.

No sistema acima, duas barras de comprimento $2l$ são conectadas por um pivot de tal forma que as barras podem girar livremente sem atrito. A ponta da barra mais afastada se move com velocidade constante $v$ vertical. Seja $O$ o ponto de junção das barras. Para um sistema cartesiano com origem na interseção da barra mais proxima à parede e a parede, determine as coordenadas do ponto $O$. Expresse sua resposta em função do ângulo $\gamma$ que a barra mais próxima à parede faz com a horizontal.

b) Faça um diagrama evidenciando a contrução geométrica para a localização do C.I.R. da barra mais afastada. Quais são suas coordenadas?

Expresse suas respostas em função de $\gamma$, $l$, $v$ e $v_O$, a velocidade de $O$.

c) Escreva a coordenada horizontal do C.I.R em função de $\gamma$ e a taxa de variação de $\gamma$.

d) Qual a velocidade vertical do C.I.R.?

e) Mostre que a taxa de variação de $\gamma$ é dada por

$$\dot{{\gamma}}=\dfrac{v}{lf(\gamma)}$$

Onde

$$f(\gamma)=2\cos(\gamma)-\dfrac{\left(2\cos(\gamma)-1\right)\sin(\gamma)-\left(5-2\cos(\gamma)\right)\sin(\gamma)}{\sqrt{\left(5-2\cos(\gamma)\right)\left(2\cos(\gamma)-1\right)}}$$

f) Determine a aceleração do ponto $O$ quando a barra mais próxima à parede está na horizontal.

Parte C

A figura abaixo mostra a imagem de um triângulo retângulo gerada por uma lente convergente. O ponto marcado representa a imagem do ângulo reto e a linha pontilhada é o eixo óptico da lente. Construa a posição do vértice do ângulo reto do objeto usando régua e compasso.