Iniciante
Uma cunha de massa $$M$$ está sobre o chão liso. Um bloco de massa $$m$$ é liberado do repouso em cima da cunha de ângulo $$\alpha$$. Determine a aceleração da cunha.
Intermediário
Parte A
Equação de Binet
Nesse problema, iremos analisar a física por trás de uma situação inusitada. A primeira parte serve para deduzir uma importante equação que será utilizada não só na parte B desse problema, mas em vários outros problemas de forças centrais.
Considere o movimento de uma partícula de massa $$m$$ sob ação de uma força central. Uma força central é qualquer força do tipo
\[\vec{F}=\lambda(r)\dfrac{\vec{r}}{r}\]
Ou seja, é uma força cujo módulo só depende da distância à origem (centro de força) e sua direção é sempre radial (aponta para a origem).
a) Mostre que o momento angular da partícula (vetor) é conservado durante todo o movimento. Mostre também que seu módulo é dado por:
\[l=mr^2\dot{\theta}\]
Onde $$r$$ e $$\theta$$ são definidos no parágrafo abaixo.
Como o momento angular $$\vec{L}$$ é conservado, o movimento da partícula se dá em um plano, caso não fosse, o vetor momento angular mudaria de direção, contrariando o fato que o mesmo é constante. Sendo assim, todo o movimento pode ser descrito por meio de duas coordenadas. Escolhamos essas coordenadas como sendo $$r$$ e $$\theta$$, respectivamente a distância à origem e o ângulo entre o vetor posição da partícula e uma direção arbitrária (esta pode ser escolhida convenientemente). Agora, considere a quantidade $$1/r\equiv{u}$$. A famosa equação de Binet, que queremos demonstrar aqui, é uma equação diferencial de segunda ordem relacionando $$u$$, $$\theta$$ e a força central em questão $$\lambda(r)$$.
b) Partindo da definição de $$u$$, e utilizando $$l$$ para eliminar o tempo, deduza a equação de Binet:
\[\dfrac{d^2u}{d{\theta}^2}+u=-\dfrac{m}{u^2l^2}\lambda(r)\]
c) Para uma força central que obedece a lei da gravitação universal, qual é a forma geral $$r(\theta)$$?
Parte B
Galáxia muito distante
Numa galáxia muito distante daqui, existe um sistema solar semelhante ao nosso. Algumas diferenças do movimento dos plantetas em torno do Sol são notáveis. É sabido que as trajetórias dos planetas são elípticas com o sol ocupando o centro da elipse e que o período de todos os planetas são iguais (independente dos parâmetros da elipse). Certamente a força de atração entre os corpos não obedece a lei da gravitação universal. Aqui, procuremos obter a exata forma dessa força.
d) A segunda lei de Kepler é válida nessa galáxia? Justifique.
Considere a trajetória de um planeta nesse sistema solar. Seja $$\epsilon$$ a excentricidade da elipse e $$b$$ o semi-eixo menor.
e) Partindo da definição da elipse e usando a lei dos cossenos, mostre que:
\[r(\theta)=\dfrac{b}{\sqrt{1-{\epsilon}^2\cos^2{\theta}}}\]
Onde $$\theta=0$$ corresponde a posição de maior afastamento.
f) Usando os resultados da parte A, mostre que, nessa galáxia, a “lei da gravitação universal” é:
\[\lambda(r)=-\dfrac{l^2\left(1-{\epsilon}^2\right)}{mb^4}r\]
A priori, o resultado acima pode parecer estranho: como que a lei da força depende dos parâmetros das trajetórias dos planetas? Certamente, isso não é possível. Observe que nossa expressão para $$\lambda(r)$$ foi escrita em termos do momento angular, o mesmo depende dos paramêtros da elipse.
g) Eliminando o momento angular da expressão para a força, mostre que a lei da gravitação universal é genuinamente “universal”.
Avançado
O problema da reflexão em um espelho relativístico é famoso. Nele, temos que relacionar o ângulo de incidência com o ângulo de reflexão de um feixe incidente em um espelho que se move com velocidade relativística $$v$$. É possível realizar tal tarefa de pelo menos duas formas, uma forma utiliza o princípio de Huygens e a outra, as transformações de Lorentz. Aqui, tentaremos obter o mesmo resultado utilizando os dois métodos. Como as transformadas de Lorentz é de um assunto avançado, a demonstração por princípio de Huygens já é satisfatória. O problema consiste em um espelho que se move com velocidade $${\kappa}c$$. Um feixe incide no espelho com um ângulo $$\alpha$$ e sai com um ângulo $$\beta$$. A figura abaixo mostra o espelho em um tempo $$t_0$$ e em um tempo $$t$$.
a) Aplicando o princípio de Huygens, mostre que:
\[\sin{\alpha}-\sin{\beta}={\kappa}\sin{\phi}\sin({\alpha}+{\beta})\]
b) Agora considere um espelho vertical se movendo para a esquerda com velocidade $${\kappa}c$$. Determine $$\beta$$ em função de $$\alpha$$ e $$\kappa$$.
c) Utilizando as transformadas de Lorentz, chegue no resultado anterior. Dica: Considere, como passo intermediário, o referencial de repouso do espelho.