Física - Semana 114

Escrtio por Paulo Henrique

Iniciante

Uma barra uniforme é mantida em equilíbrio estático através de uma corda de comprimento $s$. Determine $h$.

 

Intermediário

A trajetória de uma partícula sob influência de uma força central é um círculo de raio $R$. Definindo o parâmetro $\beta=\dfrac{v_1+v_2}{v_1v_2}$, onde $v_1$ é a velocidade mínima e $v_2$ é a velocidade máxima da partícula, calcule o período de órbita.

 

Avançado

Escrito por Ualype Uchoa

A Astrofísica Estelar

Estrelas são corpos celestes, auto-gravitantes, aproximadamente esféricos, que produzem energia por meio de reações termonucleares. Neste problema, estudaremos a astrofísica estelar; i.e, o estudo das propriedades físicas das estrelas, de sua evolução e estrutura como um todo.

Parte 1: A Gênese

Primeiramente, estudemos as condições que levam ao nascimento de estrelas. O universo é composto por uma vasta quantidade de galáxias, que contém inúmeras estrelas. O nascimento das estrelas decorre da condensação de nuvens de gás que se encontram no meio interestelar (composto por gás, poeira e plasma). Para que a nuvem de gás molecular condense e forme estrelas, o seu conteúdo deve ser tão denso que a atração gravitacional predomina sobre as forças de pressão (que é proporcional à energia interna da estrela, causada pelo movimento de partículas). Sendo $\Omega$ (com $\Omega$ < 0) a energia potencial gravitacional da nuvem e $U$ a sua energia interna, podemos escrever essa condição como:

$|\Omega|>U$.

Figura 1: Um exemplo de nuvem molecular, o M57, conhecida como Nebulosa do Anel.

a) Considere uma nuvem de gás esférica com distribuição uniforme de massa. A nuvem possui massa $M$ e raio $R$. Mostre que a sua energia potencial gravitacional pode ser escrita como

$\Omega=-f\dfrac{GM^2}{R}$,

onde $G$ é a constante gravitacional universal, e determine o valor de $f$, que é um fator numérico da ordem de $1$.

b) A nuvem encontra-se em equilíbrio térmico, a uma temperatura $T$. Ela consiste de $N$ moléculas de um gás suposto monoatômico, no qual cada molécula possui massa $m$. Aqui, definiremos a massa de Jeans, que é a massa mínima que a nuvem deve possuir para que ela colapse sobre a sua própria gravidade. Sendo assim, calcule a massa de Jeans em função de $T$, $m$, da densidade da nuvem $\rho$ e de constantes da natureza.

c) Determine a densidade crítica (em número de partículas por $m^3$) para uma nuvem desse tipo, que possui temperatura de $20K$ e uma massa de $1000M_{\odot}$ ($M_{\odot}$ denota $1$ massa solar).

Parte 2: Condições de Equilíbrio e o Teorema do Virial

Como vimos anteriormente, a gravidade é um agente fundamental na formação de estrelas. Ela contribui para a pressão no interior destas. Para modelarmos o equilíbrio hidrostático no interior estelar, consideremos uma estrela esférica de massa $M$ e raio $R$, cuja densidade varia com a distância ao centro $\rho=\rho(r)$. As únicas forças internas atuantes são a gravidade e a pressão.

Figura 2: Estrela esférica de raio $R$, com uma casca de espessura $\Delta r$ destacada em seu interior.

d) Considere um elemento de volume de seçção reta $S$, que se estende $r$ até $r+\Delta r$. A estrela é dita em equilíbrio hidrostático quando este elemento de volume possui aceleração nula. Então, prove que

$\dfrac{dp}{dr}=-\dfrac{Gm(r)\rho(r)}{r^2}$,

a equação do equilíbrio hidrostático.

e) Com base no item anterior, calcule a pressão no centro do sol, admitindo-o homogêneo e sabendo que a pressão cai a zero na superfície.

Nesse ponto, estamos preparados para determinar um dos teoremas mais célebres no que se refere à estrutura estelar: o Teorema do Virial. Ele fornece a relação entre a energia cinética (energia interna) e a energia potencial gravitacional para que um sistema auto-gravitante consiga se sustentar. Para chegarmos em tal relação, primeiramente, devemos relacionar a pressão à energia cinética interna. Consideraremos que todos os processos no interior estelar são adiabáticos (a estrela não troca calor com o espaço que a circunda); ou seja, as variações de energia interna são causadas somente devido ao trabalho.

f) Sendo $U$, $p$ e $V$, a energia cinética, pressão e volume respectivamente, prove que, em um processo adiabático:

$U=\dfrac{pV}{\gamma -1}$,

onde $\gamma$ é o coeficiente adiabático (considere constante).

g) A partir dos resultados obtidos em d), mostre que a seguinte expressão é válida:

$[p(r)4\pi r^3]^{R}_{0}-3\displaystyle \int_{0}^{R} p(r) 4\pi r^2 dr = -\displaystyle \int_{0}^{M} \dfrac{Gm(r)}{r}dm$.

Dica: Multiplique ambos os lados da equação obtida em d) por $4\pi r^3$ e integre.

h) Determine uma relação entre $<p>$ (a média da pressão tomada sobre o volume total da estrela $V$), $V$ e $\Omega$, e, a partir dela, prove o Teorema do Virial:

$-3(\gamma-1)U=\Omega$.

Perceba a relação entre as energias depende do tipo de partículas que compõem a estrela.

j) Considere, por simplicidade, que as estrelas são formadas por um gás com $\gamma=\dfrac{5}{3}$. Baseando-se no teorema do virial, comente sobre a capacidade térmica de uma estrela; ela é positiva ou negativa? Justifique.

Dica: Relacione a energia total com a energia interna.

Parte 3: De onde vem a energia?

Como já sabemos, as estrelas se sustentam gerando energia por meio de reações termonucleares; mais especificamente, por meio da fusão nuclear, na qual a energia é liberada por meio da combinação de núcleos. Para estrelas jovens, que são compostas em sua maioria por hidrogênio, como o nosso sol, a massa total disponível para "queima" é $0,8$ porcento de sua massa inicial, por razões que não entraremos em detalhes aqui.

k) Assumindo que a luminosidade (energia liberada por unidade de tempo) do sol permanece constante, estime o seu tempo de vida máximo, e compare com o valor de sua idade atual de $4,55*10^9$ anos.

Constantes:

Massa do sol: $M_{\odot} = 1,99*10^{30}$ $kg$.

Raio do sol: $R_{\odot}=6,96*10^{8}$ $m$.

Luminosidade do sol: $L_{\odot}=3,83*10^{26}$ $W$.

Massa do próton: $m_p=1,67*10^{-27}$ $kg$.

Constante Gravitacional Universal: $G=6,67*10^{-11}$ $N.m^2.kg^{-2}$.

Constante de Boltzmann: $k_B=1,38*10^{-23}$ $m^{2}. kg s^{-2}. K^{-1}$.

Velocidade da luz: $c=3,00*10^8$ $m.s^{-1}$.