Escrito por Ualype Uchôa
Iniciante
O cometa P-I-N-I-C-O-2020 está movendo-se numa órbita parabólica – representada pelo tracejado em preto – em torno do Sol, passando pela órbita de Marte (em vermelho) e tangenciando a da Terra (em azul). As distâncias Marte-Sol e Terra-Sol são $$d_M=1,42$$ $$U.A.$$ e $$d_T=1,00$$ $$U.A.$$. Considere que as órbitas dos planetas são circulares, por simplicidade.
Figura 1: Imagem para o problema Iniciante.
a) Sabendo que um corpo em órbita parabólica possui energia mecânica nula, determine a velocidade do cometa quando ele está a uma distância qualquer $$r$$ do Sol. Use $$G$$ para a constante gravitacional universal e $$M$$ para a massa do Sol.
b) Existe uma quantidade física (além da energia mecânica) que é conservada durante esse movimento: o momento angular! O momento angular, em dinâmica rotacional, é uma grandeza vetorial análoga ao momento linear. No nosso caso, o momento angular do cometa, em módulo, é dado por
$$L=mrv_{\perp}$$,
sendo $$m$$ a massa do cometa, $$r$$ a sua distância ao Sol e $$v_{\perp}$$ a componente da velocidade do cometa perpendicular ao seu vetor raio.
Com isso, determine o ângulo $$\psi$$ formado entre a trajetória do cometa e a órbita de Marte quando estas se cruzam. Desconsidere os efeitos gravitacionais de Marte.
OBS.: 1 Unidade Astronômica ($$U.A.$$) equivale à distância Terra-Sol, $$d_T=1,50*10^{8}$$ $$km$$.
Intermediário
Durante a quarentena, o renomado oculista Paulo Henrique cansou-se de suas lentes, o que o motivou a fazer alguns experimentos com água. Ele colocou um funil de cabeça para baixo numa mesa, como na figura na abaixo, e então despejou um volume $$V=1000$$ $$cm^3$$ de água dentro do recipiente. A área coberta pelo funil na mesa é de $$S=200$$ $$cm^2$$, e a altura da coluna de água é $$H=18$$ $$cm$$. Sabendo que o funil escolhido por Paulo Henrique está prestes a perder o contato com a superfície da mesa, ajude-o a determinar a sua massa.
A densidade da água vale $$\rho=1000$$ $$kg/m^3$$.
Figura 2: Imagem para o problema Intermediário.
Avançado
Considere um gás ideal cujas partículas estão sujeitas a um campo elétrico uniforme externo $$\vec{E}$$. É sabido que a energia de um dipolo elétrico sujeito a esse campo é da forma $$U=-\vec{p} \cdot \vec{E}$$, sendo $$p$$ o momento de dipolo de cada molécula, que possui módulo igual para todas. O gás encontra-se a uma temperatura absoluta $$T$$ e possui $$N$$ moléculas por unidade de volume.
a) Sabendo que a probabilidade de um dipolo possuir energia $$U$$ é proporcional ao fator de Boltzmann $$e^{-\dfrac{U}{k T}}$$ ($$k$$ é a constante de Boltzmann), determine a energia média de cada dipolo $$<U>$$ e use isso para mostrar que a polarização do gás ideal é dada por
$$P=Np\left[\coth{\left(\dfrac{pE}{k T}\right)}-\left(\dfrac{k T}{pE}\right)\right]$$.
b) Faça um esboço do gráfico $$\dfrac{P}{Np}$$ versus $$\dfrac{pE}{k T}$$.
c) No limite em que o campo elétrico é muito pequeno; i.e. $$pE \ll kT$$ (o que geralmente ocorre em gases ideais, por exemplo), encontre a susceptibilidade elétrica da substância, em função de $$T$$, $$N$$, $$p$$ e constantes da natureza.
Ajuda matemática:
A $$\coth{x}$$ pode ser expandida em vários termos da seguinte forma:
$$\coth{x}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{3}-\dfrac{x^3}{45}+…$$