Física - Semana 128

Escrito por Ualype Uchôa

Iniciante

O cometa P-I-N-I-C-O-2020 está movendo-se numa órbita parabólica - representada pelo tracejado em preto - em torno do Sol, passando pela órbita de Marte (em vermelho) e tangenciando a da Terra (em azul). As distâncias Marte-Sol e Terra-Sol são  $d_M=1,42$ $U.A.$ e $d_T=1,00$ $U.A.$. Considere que as órbitas dos planetas são circulares, por simplicidade.

Figura 1: Imagem para o problema Iniciante.

a) Sabendo que um corpo em órbita parabólica possui energia mecânica nula, determine a velocidade do cometa quando ele está a uma distância qualquer $r$ do Sol. Use $G$ para a constante gravitacional universal e $M$ para a massa do Sol.

b) Existe uma quantidade física (além da energia mecânica) que é conservada durante esse movimento: o momento angular! O momento angular, em dinâmica rotacional, é uma grandeza vetorial análoga ao momento linear. No nosso caso, o momento angular do cometa, em módulo, é dado por

$L=mrv_{\perp}$,

sendo $m$ a massa do cometa, $r$ a sua distância ao Sol e $v_{\perp}$ a componente da velocidade do cometa perpendicular ao seu vetor raio.

Com isso, determine o ângulo $\psi$ formado entre a trajetória do cometa e a órbita de Marte quando estas se cruzam. Desconsidere os efeitos gravitacionais de Marte.

OBS.: 1 Unidade Astronômica ($U.A.$) equivale à distância Terra-Sol, $d_T=1,50*10^{8}$ $km$.

Intermediário

Durante a quarentena, o renomado oculista Paulo Henrique cansou-se de suas lentes, o que o motivou a fazer alguns experimentos com água. Ele colocou um funil de cabeça para baixo numa mesa, como na figura na abaixo, e então despejou um volume $V=1000$ $cm^3$ de água dentro do recipiente. A área coberta pelo funil na mesa é de $S=200$ $cm^2$, e a altura da coluna de água é $H=18$ $cm$. Sabendo que o funil escolhido por Paulo Henrique está prestes a perder o contato com a superfície da mesa, ajude-o a determinar a sua massa.

A densidade da água vale $\rho=1000$ $kg/m^3$.

Figura 2: Imagem para o problema Intermediário.

Avançado

Considere um gás ideal cujas partículas estão sujeitas a um campo elétrico uniforme externo $\vec{E}$. É sabido que a energia de um dipolo elétrico sujeito a esse campo é da forma $U=-\vec{p} \cdot \vec{E}$, sendo $p$ o momento de dipolo de cada molécula, que possui módulo igual para todas. O gás encontra-se a uma temperatura absoluta $T$ e possui $N$ moléculas por unidade de volume.

a) Sabendo que a probabilidade de um dipolo possuir energia $U$ é proporcional ao fator de Boltzmann $e^{-\dfrac{U}{k T}}$ ($k$ é a constante de Boltzmann), determine a energia média de cada dipolo $<U>$ e use isso para mostrar que a polarização do gás ideal é dada por

$P=Np\left[\coth{\left(\dfrac{pE}{k T}\right)}-\left(\dfrac{k T}{pE}\right)\right]$.

b) Faça um esboço do gráfico $\dfrac{P}{Np}$ versus $\dfrac{pE}{k T}$.

c) No limite em que o campo elétrico é muito pequeno; i.e. $pE \ll kT$ (o que geralmente ocorre em gases ideais, por exemplo), encontre a susceptibilidade elétrica da substância, em função de $T$, $N$, $p$ e constantes da natureza.

Ajuda matemática:

A $\coth{x}$ pode ser expandida em vários termos da seguinte forma:

$\coth{x}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{3}-\dfrac{x^3}{45}+...$