Escrito por Paulo Henrique
Iniciante
Deslizamento com atrito
Considere um plano inclinado de ângulo α com atrito . Uma partícula pontual é lançada (sobre o plano) com velocidade v0 perpendicular à direção da componente tangencial do peso Psinα. O objetivo desse problema é determinar a velocidade terminal da partícula.
Obtendo as equações de movimento
Denote por μ o coeficiente de atrito cinético entre a partícula e o plano. Para o resto do problema, adote o seguinte par de eixos cartesianos (com origem no ponto de lançamento):
Figura 1: Sistema de eixos cartesianos com origem no ponto de lançamento
Agora, seja χ(t) o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo γ.
Figura 2: Diagrama do corpo livre e ângulos importantes. Na figura acima, N denota a força normal exercido pelo plano, que é perpendicular ao plano.
a) Utilizando a figura acima, escreva as equações de movimento da partícula. Mais especificamente, monte as equações das acelerações da partícula nos eixos γ e θ(t), onde θ(t) é a direção instantânea do vetor velocidade (que varia com o tempo).
Obtendo o coeficiente de atrito cinético
É dado que num instante de tempo t0 a partícula atinge uma velocidade terminal vT, isto é, a partir desse instante a velocidade da partícula permanece constante.
b) Com ajuda do item a, determine aθ(t0)=0 e aγ(t0)=0 em função de μ e χ(t0).
c) Determine μ(α) e χ(t0).
Reescrevendo as equações de movimento
d) Utilizando os resultados do item c, reescreva as equações de movimento do item a. Mostre que aθ(t)+aγ(t)=0.
Relação entre as velocidades
Seja vγ a velocidade da partícula no eixo γ. A partir do item d, queremos provar que para todo t1, t2>0, teremos:
v(t1)+vγ(t1)=v(t2)+vγ(t2)
Para isso usaremos o resultado do item d.
e) Após um tempo δt muito pequeno, teremos:
v(t+δt)=v(t)+aθ.δt e vγ(t+δt)=vγ(t)+aγ.δt
Usando o fato que qualquer intervalo finito Δt pode ser montado a partir de N intervalos δt tais que Nδt=Δt, mostre o resultado enunciado no começo dessa seção.
f) Obtenha vT.
Intermediário
Uma esfera homogênea é lançada horizontalmente em um plano horizontal com velocidade v0 e velocidade angular ω0=0. O coeficiente de atrito cinético entre a esfera e o plano é função da distância ao ponto de lançamento x:
μ(x)=μ1+μ2cos(xλ)
Determine a velocidade terminal da esfera.
Avançado
O oscilador linearmente amortecido
O oscilador linearmente amortecido é um modelo mais realista do sistema massa-mola de frequência natural ω onde, ao invés de nenhum amortecimento, há um amortecimento constante. Isto é, a força de amortecimento é a força de atrito usual, dado por μcmg quando o oscilador está em movimento e, quando o oscilador está em repouso, atinge o valor máximo de μemg. Adote μe>μc.
Comumente o problema é visualizado mais facilmente através de um diagrama chamado espaço de fase p(x), que é a representação do momento linear p versus posição (x). Aqui, trabalharemos numa solução puramente analítica.
Obtendo a força de atrito
a) Evidentemente, a força de atrito é cinética é dada por μcmg para ˙x<0, −μcmg para ˙x>0. Qual o valor da força de atrito f para ˙x=0? Expresse sua resposta em função das constantes do problema: ω0, λc≡μcgω2, λe≡μegω2.
A região −λe≤x≤λe é denominada zona de parada, pois o bloco cessa seu movimento se, em algum instante, tiver ˙x=0 nessa zona.
Conforme você deve desconfiar, não é trivial obter uma expressão para a força de atrito: dependendo do sinal de ˙x, seu sentido é alterado. Para contornar essa dificuldade, analisemos o movimento do bloco em etapas onde o sinal da velocidade não muda. Sendo assim, uma etapa n é definida como o movimento entre duas paradas (pontos de retorno). O inicio do movimento corresponde à etapa n=0. Claramente, a força de atrito (em função de n) depende fortemente das condições iniciais (velocidade inicial v0 e posição inicial x0). Por exemplo, se v0>0 e x0>0, etapas pares tem f=−μcmg e impares μcmg. O caso geral pode ser montado através de duas funções elementares: para i,j∈Z, δ(i,j)=1 se i=j e δ(i,j)=0, caso contrário. Também definimos a seguinte função: Δ(θ)=θ|θ|, para θ≠0 com Δ(0)=0.
b) Mostre que, se ˙x≠0, a força de atrito em cada etapa é dado por:
fn=f0mω2λccosnπ
Onde
f0=Δ(x0)δ(0,v0)−Δ(v0)(1−δ(0,v0))
A equação de movimento em cada etapa
Tendo em mãos fn, podemos obter a equação de movimento para cada etapa. Para isso, denotemos tn como sendo o instante da e-nésima parada:
¨xn+ω2xn=fn tn<t<tn+1
c) Obtenha a solução geral da equação acima. Ou seja, obtenha xn(t), que nos dá a posição da partícula em função do tempo para cada etapa. Observe que cada etapa tem sua equação diferencial e, portanto, suas constantes arbitrárias na solução geral. Mostre que ela pode ser escrita da seguinte forma:
xn(t)=ancosωt+bnsinωt+f0λccosnπ tn<t<tn+1
d) Para caracterizarmos o movimento para todo t, devemos obter as constantes das soluções an, bn e tn. Obtenha uma relação de recursão entre tn e tn+1 e obtenha t1 em função de a0 e b0.
e) Obtenha as constantes de cada etapa em função de a0, b0 e t1.
f) Dadas as condições inicias x0 e v0, obtenha a0 e b0.
Término do movimento
Munidos de x(t) podemos, agora, analisar o término do movimento. Como há um amortecimento, o oscilador não oscila indefinidamente e existe um valor de n correspondente à última etapa do movimento. Denote por n0 o valor do n correspondente a essa etapa.
g) Mostre que n0 pode ser obtido através da equação modular abaixo:
|a0cosωt1+b0sinωt1+(2n0−1)f0λc|≤λe
h) Multiplicando a desigualdade acima por |f0λc|=1λc. Mostre que, se ⌈x⌉ denota o menor inteiro maior ou igual a x, n0 pode ser escrito da seguinte forma:
n0=⌈λc−λe−f0(a0cosωt1+b0sinωt1)2λc⌉