Física - Semana 130

Escrito por Wanderson Faustino Patricio 

Iniciante

Ondas gravitacionais foram previstas por Einstein em 1916 e diretamente detectadas pela primeira vez em 2015. Sob determinadas condições, um sistema girando com velocidade angular $\omega$ irradia tais ondas com potência proporcional a $Gc^{\beta}Q^{\gamma}\omega^{\delta}$, em que $G$ é a constante de gravitação universal, $c$ é a velocidade da luz no vácuo, e $Q$ é uma grandeza que tem unidade em $kg\cdot m^2$.

Quais os valores de $\beta$, $\gamma$ e $\delta$?

Intermediário

No circuito mostrado na figura abaixo $R_x$ é um resistor com resistência variável, cuja resistência pode assumir qualquer valor. Os extremos $A$ e $B$ são conectados a uma bateria ideal de d.d.p. constante e igual a $\epsilon=120V$.

Figura 1

$a)$ Qual a resistência equivalente entre os pontos $A$ e $B$?

$b)$ Qual a máxima potência do circuito?

$R=100\Omega$.

Avançado

Relógio Eletrostático

Neste problema iremos estudar o período de oscilações  de um relógio baseado nas pequenas oscilações de um anel circular colocado na presença de um campo elétrico produzido por uma linha infinita de cargas uniformemente distribuídas. Considere o sistema mostrado na figura, onde uma distribuição linear uniforme de carga $\lambda$ num fio passa pelo centro de um anel de raio $a$.

Figura 2: Representação do sistema

$a)$ Considere que a distribuição de cargas está sob o eixo $z$ de um sistema de coordenadas cartesianas. Determine o vetor campo elétrico dessa distribuição em função de $\lambda$, da permissividade elétrica do meio ($\epsilon_0$) e do vetor posição $\vec{d}$ (saindo do fio e perpendicular a ele) do ponto onde se deseja determinar o campo com relação a linha de cargas.

A figura a seguir indica um sistema de coordenadas $(x_1,y_1,z_1)$ fixo no anel e um ponto arbitrário $P$ de coordenadas.

$x_1=a\cos{\theta}$

$y_1=a\sin{\theta}$

$z_1=0$

Figura 3: Vista de cima

$b)$ Considere agora que o plano do anel gira um ângulo $\alpha$ em torno do eixo $x$, como mostra a Figura 2. Os eixos fixos no anel inicialmente coincidiam com aqueles mostrados na Figura 2, e o centro do anel está na  origem de $(x,y,z)$. Determine as coordenadas do mesmo $P$ mostrado na Figura 3, em $(x,y,z)$.

Considere a partir de agora que o anel possui uma carga total $Q$ distribuída uniformemente.

$c)$ Determine o elemento de carga $dq$ sobre um elemento do anel de comprimento $\left| d\vec r\right|$, localizado na posição $\vec r$. Utilize os mesmos ângulos e posições mostrados nas figuras anteriores.

$d)$ Determine o elemento de força sobre o elemento de carga devido à distribuição de carga $\lambda$.

$e)$ Com o resultado obtido nos itens $(a)$, $(b)$ e $(c)$, determine a força total (vetor) sobre o anel.

$f)$ Determine o elemento de torque sobre o elemento de carga calculada em $(c)$.

$g)$ Qual o módulo e direção do torque resultante no anel?

$h)$ Esboce um gráfico do torque resultante no anel como função do ângulo $\alpha$ para o intervalo $-\pi<\alpha<\pi$.

A partir de agora vamos determinar o período de oscilação do anel ao redor do eixo $x$. Para isso considere que o mesmo possua uma massa $M$ uniformemente distribuída e que sua espessura seja desprezível.

$i)$ Determine o momento de inércia do anel em relação ao eixo $x$.

$j)$ Escreva a equação do movimento do anel submetido a ação do torque externo.

$k)$ A partir do resultado obtido no item anterior e considerando com pequenos ângulos de oscilação $\alpha$ em torno de $\alpha=0$, determine o período de oscilação do mesmo.

Se necessário utilize:

$\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}+\cos^2{y}\cdot \sin^2{x}} dx=\dfrac{2\pi}{\left|\cos y\right| + \cos^2y}$