Física - Semana 141

Escrito por Ualype Uchôa

Iniciante

Descolando

Dois blocos, $1$ (massa $m_1$) e $2$ (massa $m_2$) repousam tranquilamente sobre uma mesa horizontal lisa, estando o bloco $1$ em contato com uma parede vertical. Eles estão conectados entre si por uma mola ideal de constante elástica $k$ inicialmente indeformada. Natônio, um jovem físico, fica bastante incomodado com tal tranquilidade e resolve perturbar o sistema, empurrando o bloco $2$ uma distância $x$ em direção à parede, e então soltando-o. Encontre a velocidade do centro de massa do sistema no momento em que o bloco $1$ "descola" da parede.

Intermediário

Oscilações normais

Uma mola ideal é distendida de $\Delta l_1$ e fixada em uma mesa horizontal nos pontos $A$ e $B$. A razão entre os períodos de pequenas oscilações transversais e longitudinais de uma pequena massa fixada no ponto médio da mola é igual a $n_1=4$. Depois, aumenta-se a extensão da mola de $\Delta x=3,5$ $cm$, e a razão citada previamente torna-se então $n_2=3$. Determine o comprimento de equilíbrio da mola $l_0$ e as extensões $\Delta l_1$ e $\Delta l_2$ (sendo a última a distensão da mola após a extensão adicional $\Delta x$).

Figura 1: Oscilação longitudinal à esquerda e oscilação transversal à direita.

Avançado

Propagação de ondas em molas

Parte 1: O básico

Mostre que a velocidade de propagação de uma onda longitudinal em uma mola (slinky) com densidade linear de massa $\mu$, comprimento $l$ e constante elástica $k$ vale $\sqrt{\dfrac{kl}{\mu}}$.

Parte 2: Massa-mola diferenciado

A extremidade esquerda de uma massa $m$ está conectada a uma parede por meio de uma mola de massa desprezível (mola 1) de constante elástica $s$. Já a extremidade direita da massa está conectada a uma mola muito longa (mola 2). A mola 2 possui massa por unidade de comprimento $\mu$ e o valor de sua constante elástica multiplicado pelo seu comprimento é $\kappa$. Negligencie a gravidade e presuma que o solo não é rugoso neste problema. Inicialmente, ambas as molas encontram-se em seus respectivos comprimentos de equilíbrio. Em $t = 0$, a massa recebe uma velocidade inicial $v_0$ para a direita, gerando uma onda longitudinal na mola 2 que viaja para a direita.

Figura 2: Imagem para o problema avançado.

(a) Mostre que a equação de movimento da massa é dada por

$m\dfrac{d^2 \chi}{dt^2}+\gamma\dfrac{d \chi}{dt}+s\chi=0$

onde $\chi$ é o deslocamento da massa (considere o sentido positivo para a direita). Determine a constante $\gamma$.

(b) Resolva para $\chi(t)$ no regime $4ms> \kappa \mu$ usando as condições iniciais fornecidas.

(c) Encontre a função de onda $\psi (x, t)$, onde $x = 0$ significa a posição de equilíbrio da massa. Observe que $x$ aqui se refere à coordenada de equilíbrio de uma seção da mola 2 e $\psi (x, t)$ representa seu deslocamento do equilíbrio no tempo $t$. 

OBS: Se $\psi=\psi(x,t)$ é uma função de onda geral do tipo $\psi(x,t)=f(x-vt)$, vale que $\dfrac{\partial \psi}{\partial x}=-\dfrac{1}{v}\dfrac{\partial \psi}{\partial t}$.

(d) A função de onda em (c) só é válida para $x < \beta t$. Encontre a constante $\beta$ e explique por que isso acontece.