Física - Semana 148

Escrito por Matheus Felipe R. Borges, Wesley Antônio e Rafael Moreno Ribeiro

Iniciante

Canhão no abrigo?

Um canhão localizado sob um abrigo que forma um ângulo $\alpha$ com a horizontal laça diversos projéteis. O canhão está localizado no ponto $A$ , a uma distância $L$ da base do abrigo (Ponto $B$ ).

Figura 1: Ilustração da situação do problema iniciante.

Considere que o canhão não consegue atingir o ângulo de $45^{\circ}$ sem que o projétil colida com o abrigo. Se a velocidade inicial de cada projétil é $v_0$ , mostre que o alcance máximo que um dos projéteis pode atingir é

$A=\dfrac{{v_0}^2}{g}\sin{\left[2(\alpha+\gamma)\right]}$

onde

$\sin{\left(\gamma\right)}=\sqrt{\dfrac{gL\sin{\left(2\alpha\right)}}{{v_0}^2}}$

Intermediário

As leis de Kepler do amor

(a) Suponha que um corpo sofra uma força restauradora central nos eixos $x$ e $y$ , da forma $\vec{F}_x = -kx \hat \imath$ e $\vec{F}_y = -ky \hat \jmath$ . Com isso, ache qual será o formato da trajetória que ele irá percorrer no plano $xy$ .

Um casal de físicos, que acabaram de resolver a letra a) desse problema, decide viajar para um outro universo no dia dos namorados, com o intuito de se desconectarem do nosso. Ao chegarem lá, veem que a gravidade é um pouco diferente da que estamos acostumados, mas todas as outras leis da física permanecem iguais. Portanto, se dirigiram ao Centro de Pesquisas Físicas de LoveVerse, o universo para o qual tinham ido, e lá leram o seguinte texto sobre as leis de Kepler daquele universo:

Planetas percorrem órbitas elípticas com o Sol no centro.
Uma linha desenhada do planeta até o sol ... (essa parte estava ilegível)
O período orbital de todos os planetas são os mesmos, independentemente do tamanho dos eixo maior ou menor.

(b) Com isso, ajude o casal a descobrir que forma a lei gravitacional assume naquele universo e qual o complemento do enunciado da segunda lei, deixando-os tranquilos para aproveitarem o resto do dia dos namorados!

Avançado

Qu(ase)ímica

Urânio natural é composto de $99,3 \% \ U^{238}$ , de modo que iremos ignorar a presença de outros isótopos na amostra inicial. A série de decaimento do $U^{238}$ já foi muito estudado devido às suas aplicações na obtenção de energia nuclear e se encontra na tabela abaixo, na qual um isótopo decai no isótopo da célula vizinha (à direita). A tabela também mostra a energia $E_{decai.}$ liberada por cada reação (expressa em $MeV$ ) e o logaritmo do tempo de meia vida de cada isótopo (isto é, $log( \tau_{\small{\frac{1}{2}}} s^{-1} )$ ).

Seguem alguns dados importantes (ou não) do Urânio:

Densidade - $\rho = 1,89 \times 10^{4} \ kg \cdot m^{-3}$

Condutividade térmica - $\kappa = 27,5 \ W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$

Massa molar - $\mu = 0,238 \ kg \cdot mol^{-1}$

Temperatura de fusão - $T_{0} = 1408 \ K$

Tenha em mente também que $N_{A} = 6,02 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ é o Número de Avogadro, $e = 1,602 \times 10^{-19} C$ é a carga elementar e que a temperatura ambiente é de $T_{a} = 25^{o}C$ .

(a) Sabendo que todo o $U^{234}$ presente na amostra vem do decaimento do $U^{238}$ , determine a porcentagem de $U^{234}$ no minério.

(b) Determine $\dfrac{dQ}{d\nu}$ , a densidade volumétrica de produção de calor do urânio natural devido ao decaimento.

(c) Considere uma esfera de minério de urânio. Quão grande deve ser o seu raio, de modo que o interior da bola derreta?

Figura 2: Tabela para o problema avançado.

Lembre que $\vec{\phi}_{q} = - k \vec{\nabla} T$ , em que $\vec{\phi}_{q}$ é o fluxo de calor, $T$ a temperatura e $\vec{\nabla} = (\dfrac{\partial}{\partial x} \hat{x} + \dfrac{\partial}{\partial y} \hat{y} + \dfrac{\partial}{\partial z} \hat{z})$ é o operador Nabla.