Física - Semana 149

Escrito por Wesley Andrade

Iniciante

Kepler Variante

Considere um planeta em uma órbita elíptica com semieixo maior $a$ e período $P$. Caso aumentemos seu período em $\Delta P \ll P$, qual será a consequente variação no semieixo maior? Pode ser útil a relação $\left(1+x\right)^n \approx 1+nx$ para $x \ll 1$.

 

Intermediário

Invariante Adiabático

Nesse problema, iremos abordar um resultado físico muito importante: se um movimento oscilatório ocorre, com os parâmetros do sistema mudando bem devagar (quasi-estático), temos que a área do gráfico no diagrama de fases $\left(p_x \times x \right)$, sendo $p_x$ o momento linear na direção $x$, será conservada. À tal grandeza damos o nome de "invariante adiabática".

Por exemplo, se em um pêndulo simples variarmos o comprimento do fio em um tempo bem maior que o período, podemos utilizar esse resultado.

(a) Munido dessa informação, prove que a quantia $\dfrac{E}{f}$ em um M.H.S. é um invariante adiabático. Lembre-se que $\omega= \sqrt{\dfrac{k}{m}}=2 \pi f$.

(b) Considere um corpo preso à uma mola de constante elástica $k_1$ realizando um movimento oscilatório de amplitude $A_1$. De repente, a constante elástica começa a diminuir bem lentamente, até atingir um valor $k_2$. Calcule, para tal instante, qual será a amplitude $A_2$ do movimento.

(c) Por fim, suponha um modelo de gás unidimensional, isto é, uma bolinha com velocidade bastante elevada presa entre duas paredes de área $S$, sendo uma delas móvel. Demonstre que, usando a invariante adiabática do sistema, podemos chegar na famosa relação de transformações adiabáticas reversíveis $PV^\gamma = cte$, sendo $\gamma$ o expoente adiabático deste sistema.

 

Avançado

Biot-Polar?

Considere um loop de fio plano que carrega uma corrente contínua $I$; iremos trabalhar nesse problema uma forma de calcular o campo magnético em um ponto do plano, que pode ser a origem (ou qualquer um dentro ou fora do loop, mas pode-se pegar a origem para simplificações). O formato do fio é dado por uma função em coordenadas polares $r(\theta)$.

Figura 1: Ilustração do loop

(a) Mostre que que a magnitude do campo magnético na origem é:

$B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle \oint \dfrac{d\theta}{r}$

(b) Podemos testar essa fórmula em casos simples, para verificar sua funcionalidade. Assim, teste-a calculando o valor do campo magnético no centro de um loop circular.

(c) A "espiral de lituus" é definida por:

$r(\theta) = \dfrac{a}{\sqrt{\theta}}, \ \ \ \ \ (0 < \theta \leq 2\pi)$

(para alguma constante $a$). Faça o gráfico dessa figura e complete com um segmento reto ao longo do eixo $x$, para poder formar-se um loop fechado. Então, calcule a magnitude do campo magnético na origem.

(d) Para uma cônica qualquer, com foco na origem, podemos escrever sua equação polar por:

$r(\theta) = \dfrac{p}{1+e\cos{\theta}}$

onde $p$ é o semi-latus rectum e $e$ é a excentricidade. Mostre que o campo na origem independe da excentricidade.

(e) Por fim, considere que uma elipse de dimensões bem menores que a do loop seja posta na origem. Seus eixos possuem um tamanho que varia com o tempo (sendo esse tempo suficientemente pequeno para não deixar suas dimensões comparáveis às do loop):

$a(t) = a_0e^t$

$b(t) = b_0e^t$

Além disso, considere que a corrente também varia com o tempo: $I(t) = I_0 + kt$. Calcule, então, a força eletromotriz induzida na elipse pelo loop externo (considere que esse loop seja uma cônica de semi-latus rectum $p$).