Escrito por Akira Ito e Gabriel Hemétrio ?

Iniciante ?

Jack The Pumpkinhead

Wesley, visando celebrar o seu primeiro Halloween em Yale, decidiu montar diversos exemplares da famosa abóbora Jack Pumpkinhead para colocar em seu quintal. Para isso, ele comprou diversas lâmpadas de potência luminosa de $10$ $W$ e encaixou cada uma em sua respectiva abóbora. As abóboras podem ser consideradas esféricas de raio $R = 10$ $cm$ de modo que são feitas $4$ aberturas, que aproximaremos como planas, em cada objeto: uma semi-circular de raio $r = 3$ $cm$ e três triângulares com todos os lados iguais de comprimento $l = 2$ $cm$. Sabendo disso, calcule a intensidade luminosa $I_0$ de uma abóbora vista por uma pessoa à uma distância $d = 5,0$ $m$ dela.

Intermediário ??

Aranha Macabra

Nessa questão iremos modelar o funcionamento de teias de aranha. Para tanto, considere um pequeno inseto de massa $m$ que é preso em uma teia que será modelada como $6$ molas de constante elástica $k$ que se ligam ao bicho, como na imagem. Quando o inseto cai na teia, ele apresenta pequenas oscilações. No momento que o inseto é preso, um aranha começa a se mover em direção à ele com velocidade $v_0$. Qual deve ser a distância mínima da aranha para que ela alcance o pequeno inseto antes que ele complete $5$ períodos de oscilações e, portanto, morra de tontura?

Avançado ???

Bruxa Malu

A bruxinha Malu estava voando com sua vassoura mágica pelos céus quando, de repente, ela é atingida por um pássaro. Durante a queda, sua vassoura se parte no meio e fica, portanto, inutilizável. Por sorte, um gênio da física Gemétrio estava por perto e tinha uma solução para o problema da bruxa.

Gemétrio carregava consigo um tapete quadrado ordinário de área $A$ e deu a seguinte sugestão:

''Use um feitiço para manter a superfície superior do tapete à uma temperatura constante $\tau$ e a superfície inferior à uma temperatura $T>\tau$. Dessa forma, certamente o tapete será capaz de voar."

A bruxa, confusa, então pede a sua ajuda para entender se isso é realmente possível.

a) Vamos começar nosso estudo com um modelo simplificado. Considere um gás ideal confinado em uma caixa cúbica com faces de área $A$.

Para uma molécula de gás com massa $m$ e velocidade $v_x$ na direção perpendicular à parede da caixa, calcule o módulo do impulso fornecido ao longo de uma colisão. Assuma que as temperaturas do gás e do recipiente são iguais.

b) Considere a distribuição de Maxwell em uma direção (digamos, $x$):

\begin{equation*}
\frac{dN}{N}=f(v_x)dv_x= \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{1/2}e^{-mv_x^2/2k_B T}dv_x
\end{equation*}

Em que, $m$ é a massa de uma partícula de gás, $k_B$ é a constante de Boltzmann, $T$ é a temperatura do gás e $v_x$ é a velocidade de uma partícula ao longo da direção $x$.

Calcule a velocidade média $\langle v_x \rangle$ e mostre que ela é metade da velocidade média usual de um gás $\langle v \rangle$.

c) Mostre que o número de colisões que ocorrem em uma das paredes por unidade de tempo é:

\begin{equation*}
\frac{dN}{dt}=\frac{1}{4}\eta \langle v \rangle A
\end{equation*}

Em que $\eta$ é o número de moléculas por unidade de volume.

d) Agora vamos voltar para o problema original. Com os resultados anteriores em mente, calcule a força resultante no tapete.

e) Essa situação hipotética é realmente fascinante, mas será que ela é possível na vida real? Tente pensar nas considerações que fizemos ao longo do problema e veja se todas elas fazem sentido.