Escrito por Akira Ito e Gabriel Hemétrio
Iniciante
Sistema Triplo
Considere um sistema de três estrelas idênticas de massa \(M\) dispostas nos vértices de um
triângulo equilátero de lado \(d\). Considerando somente o efeito gravitacional que cada uma exerce sobre as
demais, calcule a velocidade orbital das estrelas com respeito ao centro de massa do sistema para que a
distância entre elas permaneça inalterada.
Intermediário
Brilha brilha estrelinha
Nesse problema vamos estudar como ocorrem as pulsações estelares por meio de um modelo simplificado. Considere uma estrela de massa $$M$$ e raio $$R_0$$ que possui uma fina casca esférica de massa $$m$$ na sua borda, conforme ilustra a figura abaixo. Inicialmente, o sistema está em equilíbrio, de forma que a pressão interna da estrela $$p_0$$ (que pode ser considerada um gás ideal) cancela perfeitamente a atração gravitacional na casca. Em alguma etapa do problema, a aproximação de Taylor $$(1+x)^n \approx 1+nx$$, se $$x<<1$$, pode ser útil.
a) Escreva a condição de equilíbrio descrita acima em função dos dados fornecidos e constante(s) universais.
Em algum momento futuro, o cometa P_W4nG passou por perto da estrela e perturbou o equilíbrio, de forma que o raio da estrela passou a executar pequenas oscilações.
b) Depois que o cometa passou, percebeu-se que o raio e a pressão passaram a ser $$R$$ e $$p$$, respectivamente. A partir desse momento, o raio começará a oscilar. É possível calcular a aceleração do raio conforme a seguinte expressão:
$$a_R=ApR^2-\dfrac{B}{R^2}$$
Em que $$A$$ e $$B$$ são constantes. Determine $$A$$ e $$B$$.
c) Por mais tentador que seja, essas oscilações nem sempre podem ser aproximadas para um movimento harmônico simples (MHS). Na verdade, apenas alguns gases possuem essa propriedade. Considerando que o processo descrito é aproximadamente adiabático (caso necessário, utilize $$\gamma$$, coeficiente adiabático do gás), encontre a relação entre $$p$$, $$R$$, $$p_0$$ e $$R_0$$.
d) Com os resultados anteriores em mente, encontre os possíveis valores de $$\gamma$$ para que o movimento seja um MHS. Considere que a variação do raio é muito pequena, ou seja $$\Delta R = R-R_0 << R_0$$.
e) Agora vamos particularizar o nosso estudo para uma estrela composta por um gás monoatômico ($$\gamma=5/3$$). Calcule o período de pequenas oscilações do raio da estrela em função de $$M$$, $$R$$ e constante(s) universais.
Avançado
Atmosfera de Fótons
Nessa questão, tentaremos obter as leis fundamentais que regem um sistema de fótons e analisar como isso se aplica na atmosfera estelar. Para isso:
(a) Mostre que a equação de estados para um gás de fóton é do tipo:
\[P = \dfrac{u}{3}\]
(b) A partir do resultado anterior e da 1º Lei da Termodinâmica, demonstre que:
\[ \left(\dfrac{\partial u}{\partial T} \right)_V = \dfrac{4u}{T}\]
(c) Conclua com base nisso, que a pressão que um gás de fóton exerce nas paredes de uma cavidade é dada por:
\[P = \dfrac{4\sigma T^4}{3c}\]
(d) Agora estamos prontos para modelar acreções de massa em atmosferas estelares. Para nosso modelo, considere a atmosfera de uma estrela de raio \(R\) e massa \(M\) que possui fóton e gás ideal com partículas de massa \(\mu\) à temperatura inicial \(T\). Em certo momento, uma nuvem de poeira passa perto da estrela e absorve parte de sua matéria, formando uma camada adicional sobre a fotosfera da estrela. Sabendo que a espessura da camada exterior é \(\Delta r << R\), calcule a variação de brilho relativo \(\dfrac{\Delta I}{I}\) da estrela.