Escrito por Akira Ito e Gabriel Hemétrio 

Iniciante

Sistema Triplo

Considere um sistema de três estrelas idênticas de massa $M$ dispostas nos vértices de um
triângulo equilátero de lado $d$. Considerando somente o efeito gravitacional que cada uma exerce sobre as
demais, calcule a velocidade orbital das estrelas com respeito ao centro de massa do sistema para que a
distância entre elas permaneça inalterada.

Intermediário

Brilha brilha estrelinha

Nesse problema vamos estudar como ocorrem as pulsações estelares por meio de um modelo simplificado. Considere uma estrela de massa $M$ e raio $R_0$ que possui uma fina casca esférica de massa $m$ na sua borda, conforme ilustra a figura abaixo. Inicialmente, o sistema está em equilíbrio, de forma que a pressão interna da estrela $p_0$ (que pode ser considerada um gás ideal) cancela perfeitamente a atração gravitacional na casca. Em alguma etapa do problema, a aproximação de Taylor $(1+x)^n \approx 1+nx$, se $x<<1$, pode ser útil.

a) Escreva a condição de equilíbrio descrita acima em função dos dados fornecidos e constante(s) universais.

Em algum momento futuro, o cometa P_W4nG passou por perto da estrela e perturbou o equilíbrio, de forma que o raio da estrela passou a executar pequenas oscilações.

b) Depois que o cometa passou, percebeu-se que o raio e a pressão passaram a ser $R$ e $p$, respectivamente. A partir desse momento, o raio começará a oscilar. É possível calcular a aceleração do raio conforme a seguinte expressão:

$a_R=ApR^2-\dfrac{B}{R^2}$

Em que $A$ e $B$ são constantes. Determine $A$ e $B$.

c) Por mais tentador que seja, essas oscilações nem sempre podem ser aproximadas para um movimento harmônico simples (MHS). Na verdade, apenas alguns gases possuem essa propriedade. Considerando que o processo descrito é aproximadamente adiabático (caso necessário, utilize $\gamma$, coeficiente adiabático do gás), encontre a relação entre $p$, $R$, $p_0$ e $R_0$.

d) Com os resultados anteriores em mente, encontre os possíveis valores de $\gamma$ para que o movimento seja um MHS. Considere que a variação do raio é muito pequena, ou seja $\Delta R = R-R_0 << R_0$.

e) Agora vamos particularizar o nosso estudo para uma estrela composta por um gás monoatômico ($\gamma=5/3$). Calcule o período de pequenas oscilações do raio da estrela em função de $M$, $R$ e constante(s) universais.

 

Avançado

Atmosfera de Fótons

Nessa questão, tentaremos obter as leis fundamentais que regem um sistema de fótons e analisar como isso se aplica na atmosfera estelar. Para isso:

(a) Mostre que a equação de estados para um gás de fóton é do tipo:

$$P = \dfrac{u}{3}$$

(b) A partir do resultado anterior e da 1º Lei da Termodinâmica, demonstre que:

$$\left(\dfrac{\partial u}{\partial T} \right)_V = \dfrac{4u}{T}$$

(c) Conclua com base nisso, que a pressão que um gás de fóton exerce nas paredes de uma cavidade é dada por:

$$P = \dfrac{4\sigma T^4}{3c}$$

(d) Agora estamos prontos para modelar acreções de massa em atmosferas estelares. Para nosso modelo, considere a atmosfera de uma estrela de raio $R$ e massa $M$ que possui fóton e gás ideal com partículas de massa $\mu$ à temperatura inicial $T$. Em certo momento, uma nuvem de poeira passa perto da estrela e absorve parte de sua matéria, formando uma camada adicional sobre a fotosfera da estrela. Sabendo que a espessura da camada exterior é $\Delta r << R$, calcule a variação de brilho relativo $\dfrac{\Delta I}{I}$ da estrela.