Física - Semana 163

       Escrito por Akira Ito e Gabriel Hemétrio 

"Há muito tempo atrás em uma galáxia muito distante...

É um momento de grande desafio para os estudantes de física. A arma definitiva do Império, a Estrela da Morte, ameaça a própria estrutura do universo. Somente desvendando os segredos da física podemos esperar derrotar essa ameaça maligna.

O Império tem um aliado poderoso, o Lorde das Trevas Epylau, que fará de tudo para esmagar nossos esforços. O caminho à frente será perigoso e os desafios que enfrentaremos testarão nossas habilidades e determinação até o limite.

O destino da galáxia está em jogo, e nossa única esperança está nos bravos rebeldes, Hemétrio e Ito, que arriscam tudo para lutar contra o Império. Infelizmente eles não são muito inteligentes e precisam da ajuda das mentes mais brilhantes da galáxia.

Devemos prosseguir, pois o destino da galáxia está em jogo. Se pudermos resolver todos os problemas, ajudaremos a destruir a Estrela da Morte e trazer liberdade para a galáxia.

Então, vamos usar o poder da física para superar nossos obstáculos e sair vitoriosos. A Força está conosco."

Iniciante

Touchdown

Em várias cenas de combate, os cavaleiros jedi precisam fugir de projéteis de laser das tropas inimigas. Embora a precisão dos inimigos seja surpreendentemente baixa, em alguns casos, um projétil acaba indo em direção a um jedi e esse precisa "rebater" o tiro com seu sabre de luz. Nesse problema vamos estudar o fenômeno de reflexão de um feixe de luz e um modelo para sua interação com um sabre de luz.

Podemos entender a luz como um grande conjunto de minúsculas partículas sem massa (conhecidas como fótons) que colidem sempre de maneira elástica, ou seja, $e=1$. Caso o estudante não conheça, o coeficiente $e$ é definido da seguinte maneira:

$e=\dfrac{|v_{dep}|}{|v_{ant}|}$

Em que $v_{dep}$ é a velocidade de afastamento depois de uma colisão e $v_{ant}$ é a velocidade de aproximação antes da colisão. Essa velocidade é medida na direção normal. A velocidade tangencial não muda em colisões sem atrito.

a) Vamos começar trabalhando um caso familiar da mecânica. Considere uma partícula de massa $m$ que se move com velocidade $v$ iniciamente em direção a um espelho. Sabendo que $e=1$, mostre que a velocidade da partícula é conservada e que $\theta=\theta '$.

b) Ainda no contexto do item anterior, calcule a variação de momento linear (quantidade de movimento) da partícula. A terceira lei de Newton afirma que o momento linear de um sistema fechado é sempre conservado, então de onde veio o momento adicional da partícula?

c) Encontre uma expressão para o momento $p$ da partícula em função de sua energia $E$ e velocidade $v$.

d) Ao invés de uma superfície plana, vamos considerar a colisão de uma pequena partícula de massa $m$ com um cilindro de massa $M$, que representa o sabre de luz. A partícula incide com velocidade $v$ e sai com velocidade $v'$. O cilindro recua com velocidade $u$.

Utilize a lei de conservação de momento na direção normal (radial) e tangencial para encontrar duas relações entre $v$, $v'$ e $u$. Deixe as respostas em função de $M$, $m$, $\theta$ e $\theta '$.

e) Assumindo que a colisão seja elástica, encontre o valor do ângulo $\theta '$ em função das massas e do ângulo $\theta$ . No caso de uma partícula de luz, a massa $m$ é desprezível, ou seja $M>>m$ . Nesse caso mostre que nós voltamos para o caso do primeiro item.

f) Como foi discutido no item b, há uma troca de momento linear entre as partículas incidentes e a superfície em que elas colidem. Embora as partículas que formam a luz tenham massa zero, elas podem transferir momento durante uma colisão.

A energia de um fóton é calculado pela expressão $E=hf$, em que $h$ é a constante de Planck e $f$ é a frequência do fóton. No nosso caso, esse vale cerca de $E_0=3\cdot 10^{-19}\textrm{J}$. Essa energia é muito pequena, mas pode se tornar significativa dependendo do número de fótons envolvidos.  Considerando que um canhão laser do universo de Star Wars é capaz de emitir até $2\cdot 10^{28}$ fótons por disparo, estime o momento transferido para o sabre de luz durante a reflexão de um projétil.

Intermediário

Estrela da Morte

O imperador supremo do lado negro da força, Epylau, decidiu explodir o planeta em que vivia Akira. Para isso, Epylau lançou, a partir de um laser de potência muito alta $P$, uma enorme quantidade de energia no planeta até que ele se colapsasse. Sabendo que o planeta é formado inteiramente por hidrogênio molecular (massa molar do hidrogênio: $\mu_H$) e possui massa $M$ e temperatura inicial $T_0$, responda:

a) Calcule a energia térmica média total do planeta $\langle K \rangle$.

b) Estime o valor da energia média de auto interação gravitacional $\langle U \rangle$ do planeta.

Cálculos mais avançados indicam que a energia de auto interação gravitacional do planeta é dada por:

$$\langle U \rangle = - \dfrac{3GM^2}{5R}$$

Sabe-se que, na condição de equilíbrio, pelo Teorema do Virial: $2 \langle K \rangle + \langle U \rangle = 0$ e, assim, o planeta não colapsa. Entretanto, caso $\langle U \rangle > 2 \langle K \rangle$ o planeta colapsa. Com base nisso:

c) Calcule a temperatura máxima que o planeta pode ter antes de colapsar. Apresente-a da forma:

$$T = AM^{\alpha}$$

e encontre o valor de $A$ e $\alpha$.

d) Por fim, calcule o tempo total até o planeta se colapsar totalmente, ie, desde quando o laser começa ser apontado ao planeta até o momento em que seu raio se torna infinitamente pequeno.

Avançado

Viagem Extragaláctica

A nave Millennium Falcon, enquanto fugia dos soldados do Império de Epylau, adentrou uma nuvem de raio $R$ preenchida uniformemente por poeira de densidade $\rho$. Sabe-se que as partículas de poeira, durante o percurso da nave, sofrem colisões elásticas e, portanto, não são acretadas. Para essa questão, pode-se aproximar a nave para um disco de espessura $\epsilon$, raio $r$ e massa $M$. Sabendo que a nave está se movendo com velocidades relativísticas, visando fugir o mais rápido possível de seus inimigos, e sua velocidade inicial é $v_0$, calcule o tempo que ela permanesce na nuvem.
Se necessário, use que:

$$\int \dfrac{dx}{x^2 \sqrt{1-x^2}} = -\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}$$

$$\int \dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \rm{arcsinh}(x)$$