Escrito por Ualype Uchôa
Iniciante:
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Resultante Centrípeta
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Devemos determinar que forças atuam como resultante centrípeta para cada massa, e então usar a definição desta, isto é:
$$F_{cp}=m\omega^2 r$$
Com $$r$$ sendo a distância ao eixo. Para a massa mais exterior, ligada ao quarto fio:
$$T_{4}=m\omega^2(4L)=4m\omega^2 L$$
Para a massa anterior, ligada aos fios $$3$$ e $$4$$:
$$T_{3}-T_{4}=m\omega^2 (3L)$$
$$T_{3}=7m\omega^2 L$$
Para a massa ligada aos fios $$2$$ e $$3$$:
$$T_{2}-T_{3}=m\omega^2 (2L)$$
$$T_{2}=9m\omega^2 L$$
Por fim, para massa mais interior, ligada aos fios $$1$$ e $$2$$:
$$T_{1}-T_{2}=m\omega^2 (L)$$
$$T_{1}=10m\omega^2 L$$
Perceba que a tração aumenta com a diminuição do raio da trajetória da partícula.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$T_{1}=10m\omega^2 L$$
$$T_{2}=9m\omega^2 L$$
$$T_{3}=7m\omega^2 L$$
$$T_{4}=4m\omega^2 L$$
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Intermediário:
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Efeito Doppler e Batimentos
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Como há velocidade relativa entre o observador e a fonte (os carros), ocorrerá Efeito Doppler e a frequência emitida por cada carro será diferente de $$f_{0}$$, e devemos, então, determiná-las. Da expressão para a frequência alterada $$f’$$ devido ao Efeito Doppler:
$$f’=f_{0}\dfrac{v \pm v_{0}}{v \pm v_{f}}$$
Onde $$v$$ é a velocidade do som, $$v_{0}$$ a do observador e $$v_{f}$$ a da fonte. Utilizemos a convenção de que o sentido positivo está dirigido do observador para a fonte. Na situação em questão, $$v_{0}= 0$$ e $$v_{f} = \pm u$$. Para o carro que se aproxima do observador:
$$f_{1}=f_{0}\dfrac{v}{v-u}$$
Já para o carro que se afasta do observador:
$$f_{2}=f_{0}\dfrac{v}{v+u}$$
Contudo, essas duas frequências (que devem ser próximas entre si) geram um batimento de frequência $$f$$, que é dada pela diferença entre a maior e a menor frequência. Logo:
$$f=f_{1}-f_{2}$$
$$f=f_{0}\dfrac{v}{v-u}-f_{0}\dfrac{v}{v+u}$$
Rearranjando os termos, temos uma equação do 2o grau em $$u$$:
$$u^2+\dfrac{2f_{0}v}{f}u – v^2=0$$
Que pode ser resolvida utilizando-se Bháskara:
$$u=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{\dfrac{-2f_0v}{f} \pm \dfrac{2f_0v}{f}\sqrt{1+\left(\dfrac{f}{f_0}\right)^2}}{2}$$
Onde escolheremos a solução positiva, pois, caso contrário, obteríamos uma frequência negativa, que é absurdo. Logo:
$$u=\dfrac{f_0 v}{f} \left(\sqrt{1+\left(\dfrac{f}{f_0}\right)^2} – 1\right)$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$u=\dfrac{f_0 v}{f} \left(\sqrt{1+\left(\dfrac{f}{f_0}\right)^2} – 1\right)$$
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Avançado:
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Corrente Elétrica e Associação de Resistores
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a) Podemos imaginar o condutor cilíndrico em questão como uma associação de diversos cilindros condutores de espessura $$dr$$ e resistência infinitesimal $$dR$$. Tendo em vista que todos estão submetidos à uma mesma diferença de potencial, eles constituem uma associação em paralelo. Utilizando a Segunda Lei de Ohm, podemos escrever $$dR$$:
$$dR=\dfrac{\rho l}{dA}$$
$$dR=\dfrac{\dfrac{\alpha}{r^2}*l}{2\pi r dr}$$
$$dR=\dfrac{\alpha l}{2 \pi r^3 dr}$$
Para uma associação de resistores em paralelo convencional (discreta), a resistência equivalente seria dada por:
$$\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+…+\dfrac{1}{R_N}$$
Para uma distribuição contínua, substituímos a soma por uma integral:
$$\dfrac{1}{R}=\displaystyle \int \dfrac{1}{dR}$$
$$\dfrac{1}{R}=\displaystyle \int \limits_0^a \dfrac{2 \pi r^3 dr}{\alpha l}$$
Onde simbolizamos por $$a$$ o raio do condutor, e a integral varre toda a sua secção reta, de forma a computar todas as contribuições dos resistores concêntricos. Do enunciado, $$S=\pi a^2$$:
$$\dfrac{1}{R}=\dfrac{S^2}{2 \alpha \pi l}$$
E então isolamos $$\dfrac{R}{l}$$, que é a resistência por unidade de comprimento:
$$\dfrac{R}{l}=\dfrac{2 \pi \alpha}{S^2}$$
b) Tendo em vista que estamos considerando o condutor ôhmico, podemos utilizar a Primeira Lei de Ohm:
$$\Delta V=RI$$
Resta-nos determinar a diferença de potencial entre suas extremidades. Utilizemos a definição de potencial:
$$ \Delta V_{AB} = -\displaystyle \int \limits_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}$$
Como o condutor é longo e simétrico, o campo será constante. Desta forma:
$$ |\Delta V| = El$$
$$RI=El=\dfrac{2 \pi \alpha I l}{S^2}$$ $$\therefore$$
$$E=\dfrac{2 \pi \alpha I}{S^2}$$
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a) $$\dfrac{R}{l}=\dfrac{2 \pi \alpha}{S^2}$$
b) $$E=\dfrac{2 \pi \alpha I}{S^2}$$
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