Soluções Física - Semana 103

Energia

a) Sabemos que a expressão da energia cinética é dada por:

$E=\dfrac{1}{2}mv^2$

Como $m=\rho V$, e $V$ é o volume da esfera envolvida pela propagação da explosão, igual a $\dfrac{4}{3}\pi R^3$:

$E=\dfrac{2}{3}\rho \pi R^3 v^2$

b) Sendo $\Delta t$ o tempo de explosão, deve-se perceber que durante esse intervalo temporal a frente da explosão percorreu uma distância $R$, que é o raio da esfera. Logo, $v=\dfrac{R}{\Delta t}$:

$E=\dfrac{2}{3}\dfrac{\rho \pi R^5}{\Delta t^2}$

Substituindo os dados, obtemos:

$E=6,98*10^{16}$ $J$

a) $E=\dfrac{2}{3}\rho \pi R^3 v^2$

b) $E=6,98*10^{16}$ $J$

Conservação de Energia e Leis de Newton

A partir do momento em que o fio $PA$ é cortado, o bloco $A$ começa a se mover para a direita, e o bloco $B$ para baixo. Durante esse movimento, a mola é distendida, e, em algum instante, a componente vertical da força elástica que atua no bloco é suficiente para levantar o bloco $A$. Neste momento, a força normal entre $A$ e a superfície é nula. Simbolizando por $\Delta x$ a distensão da mola, e $\theta$ o ângulo que a mola faz com a horizontal, temos:

$k \Delta x \sin{\theta}= mg$

$\sin{\theta}=\dfrac{l_0}{5 \Delta x}$

Mas observe que $\sin{\theta}=\dfrac{lo}{lo+ \Delta x}$, logo:

$\dfrac{l_0}{l+0+ \Delta x}=\dfrac{l_0}{5 \Delta x}$

$\Delta x=\dfrac{l_0}{4}$

Como não há trabalho de forças dissipativas, a energia mecânica é conservada. Note também que, devido ao fato de ambos os corpos estarem ligados por uma corda inextensível, a velocidade relativa entre eles é zero. Sendo $v$ a velocidade destes no referencial da terra (no momento em que $A$ perde o contato), e o plano horizontal o nível de referência para o cálculo da energia potencial gravitacional, escrevemos:

$E_{mec_{inicial}}=E_{mec_{final}}$

$0=E_{pot_{mola}}+E_{cin_{A}}+E_{cin_{B}}+E_{pot_{B}}$

Perceba que tanto $A$ como $B$ percorreram uma distância $d=\left(l_0+\Delta x\right) \cos{\theta}$, assim, $E_{pot_{B}}=-mgd$. Substituindo $\Delta x$ em $\sin{\theta}$, achamos $\sin{\theta}=\dfrac{4}{5}$, e, utilizando a identidade fundamental da trigonometria, $\cos{\theta}=\dfrac{3}{5}$, o que acarreta $d= \dfrac{3l_0}{4}$. Voltando à conservação de energia:

$0=\dfrac{k \Delta x^2}{2}+mv^2-\dfrac{3mgl_0}{4}$

$0=\dfrac{5mgl_0}{32}+mv^2-\dfrac{3mgl_0}{4}$

Isolando a velocidade pedida, $v$:

$v=\sqrt{\dfrac{19gl_0}{32}}$

$v=\sqrt{\dfrac{19gl_0}{32}}$

Oscilações elétricas e Indução Eletromagnética

a) Utilizemos o método de Maxwell das correntes circulantes. Seja $I_{1}$ a corrente circulando em sentido horário na malha esquerda, e $I_{2}$ a corrente circulando em sentido anti-horário na malha direita. Utilizando a lei das malhas na malha esquerda:

$\dfrac{q_{1}}{C}+L\dfrac{dI_1}{dt}+\dfrac{q_{2}}{C}=0$

E na direita:

$\dfrac{q_3}{C}+\dfrac{q_2}{C}+L\dfrac{dI_2}{dt}=0$

Onde $q_1$, $q_2$ e $q_3$ são as cargas instantâneas em cada capacitor, da esquerda para a direita. Lembrando da definição de corrente, $I=\dfrac{dq}{dt}$: $\dot{q_1}=I_1$, $\dot{q_2}=I_1+I_2$ e $\dot{q_3}=I_2$. Derivando as duas equações de cima em relação ao tempo, e multiplicando por $C$, obtemos:

$2I_1+I_2+LC\ddot{I_1}=0$

E:

$2I_2+I_1+LC\ddot{I_2}=0$

Para obtermos as frequências naturais de oscilação do sistema, podemos tomar as combinações lineares $(I_1+I_2)$ e $(I_1-I_2)$. Somando e subtraindo as duas equações acima, achamos mais duas equações:

$(\ddot{I_1}+\ddot{I_2})+\dfrac{3}{LC}(I_1+I_2)=0$

$(\ddot{I_1}-\ddot{I_2})+\dfrac{1}{LC}(I_1-I_2)=0$

Isto é, tais combinações realmente oscilam harmonicamente, pois são da forma conhecida $\ddot{x}+\omega^2 x = 0$. Então, as frequências naturais são:

$\omega_1 = \sqrt{\dfrac{3}{LC}}$ e $\omega_2=\sqrt{\dfrac{1}{LC}}$

b) Neste problema, temos, na verdade, dois circuitos conectados indutivamente, devido à existência da indutância mútua $L_{12}$. Chame de $I_1$ a corrente no circuito esquerdo e $I_2$ a corrente no circuito direito, ambas no sentido horário, e $q$ a carga do capacitor. Temos, na esquerda:

$\dfrac{q}{C}+L_{12}\dfrac{dI_2}{dt}+L_1\dfrac{dI_1}{dt}=0$

E na direita:

$L_2\dfrac{dI_2}{dt}+L_{12}\dfrac{dI_1}{dt}=0$

$\dot{I_1}=-\dfrac{L_{12}}{L_2}\dot{I_1}$

Lembrando que $I_1=\dot{Q}$, derivemos ambas as equações acima em relação ao tempo:

$\dfrac{I_1}{C}+L_{12}\ddot{I_2}+L_1\dot{I_1}=0$

E:

$\ddot{I_2}=-\dfrac{L_{12}}{L_2}\ddot{I_1}$

Substituindo $\ddot{I_2}$ da segunda na primeira, e reorganizando:

$\ddot{I_1}+\dfrac{L_2}{(L_{1}L_{2}-L_{12}^2)C}I_1=0$

Logo, a frequência de oscilação natural é igual a:

$\omega=\sqrt{\dfrac{L_2}{(L_{1}L_{2}-L_{12}^2)C}}$

a) $\omega_1 = \sqrt{\dfrac{3}{LC}}$ e $\omega_2=\sqrt{\dfrac{1}{LC}}$

b) $\omega=\sqrt{\dfrac{L_2}{(L_{1}L_{2}-L_{12}^2)C}}$