Escrito por Ualype Uchôa
Iniciante:
Análise Dimensional
Aqui, nos deparamos com um problema de análise dimensional, pois foi pedida apenas a dependência de com as outras grandezas. Sendo assim, podemos escrever a dimensão de
como sendo:
Para aqueles não familiarizados com tal notação, representa a dimensão fÃsica de determinada grandeza. Trabalhando no SI, sabemos de forma direta que
,
e
. Para encontrarmos
, utilizamos a Lei da Gravitação Universal
, da qual decorre que a dimensão de
é de
. Substituindo os resultados na primeira equação:
Para que a dimensão de ambos os lados seja igual, temos que os expoentes de e
devem ser zero, e o de
deve ser
. Logo, temos que:
Â
De em
,
, e de
e
em
,
. Por fim, podemos escrever:
Intermediário:
Termologia e Conservação de Energia
O segredo deste problema é identificar como será utilizado o calor fornecido à s esferas. A princÃpio, não deveria haver diferença na temperatura final de ambas as esferas; contudo, o calor
, por conservação de energia, transforma-se em energia térmica, aquecendo a esfera, e, também, em um acréscimo/decréscimo de energia potencial gravitacional, pois a esfera se expande durante o processo, logo, sua força peso deve realizar trabalho para elevar/descer seu centro de massa, que, dependendo da esfera, será positivo ou negativo, o que causará uma diferença nas temperaturas finais atingidas. Com a compreensão teórica do problema, podemos iniciar a equacioná-lo. Em ambas as esferas, o nÃvel de referência para o cálculo da energia potencial será o seu
inicial. Escrevendo a conservação de energia para a esfera
:
Utilizando a dilatação linear da esfera, podemos descobrir :
No mesmo processo, para , a diferença está na energia potencial, pois seu
, ao final, encontra-se mais abaixo de sua posição inicial. Logo a energia potencial final é
. Assim:
Logo:
Como é, em geral, muito pequeno, podemos desprezar o termo de segunda ordem no denominador, deixando a resposta com uma aparência levemente mais agradável:
Note que a temperatura final da esfera é maior.
Avançado:
Oscilações acopladas
Escolhamos a origem na massa quando a mola está não deformada. Seja
a coordenada de
e
a coordenada da massa pendular. Obteremos as equações de movimento pela 2a Lei de Newton. Sendo
a tração no fio, para o pêndulo, temos, na vertical:
E na horizontal:
Mas observe que , logo:
Para a massa , não olharemos para as forças na vertical. Na horizontal, temos a força elástica e a tração do fio (apontando no sentido positivo). Sendo assim:
Em posse das equações de movimento, podemos determinar as frequências naturais de oscilação; isto é, as frequências de oscilação nos modos normais. Como, em qualquer um desses modos, a frequência de oscilação de ambos os corpos é igual, podemos chutar uma solução oscilatória para cada um dos corpos: para a massa ,
e
. Não nos preocuparemos com as fases iniciais, pois buscamos apenas as frequências, e não descrever o movimento com rigor. Nosso objetivo será relacionar as constantes
e
de forma a isolar
. Substituindo
e
e suas demais derivadas nas equações de movimento, obtemos as seguintes relações:
De :
De :
Fazendo a igualdade de ambas as expressões acima, e com um pequeno esforço algébrico, chegamos à seguinte equação biquadrática:
Fazendo a substituição , a equação reduz-se à uma do segundo grau, cuja solução é facilmente obtida pela fórmula de Bháskara.
As quatro soluções matematicamente possÃveis reduzem-se a apenas duas com sentido fÃsico (que correspondem à s frequências nos dois modos de oscilação normal), tendo em vista que o sinal de no lado de fora dos colchetes torna a frequência negativa, o que não tem sentido. Sendo assim, as duas frequências podem ser condensadas na seguinte resposta: