Soluções Física - Semana 104

Análise Dimensional

Aqui, nos deparamos com um problema de análise dimensional, pois foi pedida apenas a dependência de $\ni$ com as outras grandezas. Sendo assim, podemos escrever a dimensão de $\ni$ como sendo:

$[\ni]=[\rho]^{\alpha}[R]^{\beta}[G]^{\gamma}$

Para aqueles não familiarizados com tal notação, $"[  ]"$ representa a dimensão física de determinada grandeza. Trabalhando no SI, sabemos de forma direta que $[\ni]=s^{-1}$, $[\rho]=kg.m^{-3}$ e $[R]=m$. Para encontrarmos $[G]$, utilizamos a Lei da Gravitação Universal $\left(F=\dfrac{GMm}{d^2}\right)$, da qual decorre que a dimensão de $G$ é de $m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}$. Substituindo os resultados na primeira equação:

$[\ni]=(kg.m^{-3})^{\alpha}m^{\beta}(m^{3}.kg^{-1}.s^{-2})^{\gamma}$

$s^{-1}=kg^{(\alpha - \gamma)}m^{(\beta+3\gamma-3\alpha)}s^{-2\gamma}$

Para que a dimensão de ambos os lados seja igual, temos que os expoentes de $kg$ e $m$ devem ser zero, e o de $s$ deve ser $-1$. Logo, temos que:

$\alpha=\gamma$  $(1)$

$\beta+3\gamma-3\alpha=0$ $(2)$

$\gamma=\dfrac{1}{2}$ $(3)$

De $(3)$ em $(1)$, $\alpha=\dfrac{1}{2}$, e de $(3)$ e $(1)$ em $(2)$, $\beta=0$. Por fim, podemos escrever:

$\ni \propto \sqrt{\rho G}$

$\ni \propto \sqrt{\rho G}$

Termologia e Conservação de Energia

O segredo deste problema é identificar como será utilizado o calor $Q$ fornecido às esferas. A princípio, não deveria haver diferença na temperatura final de ambas as esferas; contudo, o calor $Q$, por conservação de energia, transforma-se em energia térmica, aquecendo a esfera, e, também, em um acréscimo/decréscimo de energia potencial gravitacional, pois a esfera se expande durante o processo, logo, sua força peso deve realizar trabalho para elevar/descer seu centro de massa, que, dependendo da esfera, será positivo ou negativo, o que causará uma diferença nas temperaturas finais atingidas. Com a compreensão teórica do problema, podemos iniciar a equacioná-lo. Em ambas as esferas, o nível de referência para o cálculo da energia potencial será o seu $CM$ inicial. Escrevendo a conservação de energia para a esfera $B$:

$Q=C \Delta T + U$

$Q=C \Delta T + mg \Delta R$

Utilizando a dilatação linear da esfera, podemos descobrir $\Delta R$:

$\Delta R = R \alpha \Delta T$

$Q=(C+mgR \alpha) \Delta T$

$\Delta T = \dfrac{Q}{C+mgR \alpha}$

$T_B=\dfrac{Q}{C+mgR \alpha}+T_0$

No mesmo processo, para $A$, a diferença está na energia potencial, pois seu $CM$, ao final, encontra-se mais abaixo de sua posição inicial. Logo a energia potencial final é $-mg\Delta R$. Assim:

$T_A=\dfrac{Q}{C-mgR\alpha}+T_0$

Logo:

$T_A-T_B = \dfrac{Q}{C-mgR\alpha} - \dfrac{Q}{C+mgR\alpha}$

$T_A-T_B = \dfrac{2mgRQ\alpha}{C^2-m^2g^2R^2 \alpha^2}$

Como $\alpha$ é, em geral, muito pequeno, podemos desprezar o termo de segunda ordem no denominador, deixando a resposta com uma aparência levemente mais agradável:

$T_A-T_B \approx \dfrac{2mgRQ\alpha}{C^2}$

Note que a temperatura final da esfera $A$ é maior.

$T_A-T_B = \dfrac{2mgRQ\alpha}{C^2-m^2g^2R^2 \alpha^2} \approx \dfrac{2mgRQ\alpha}{C^2}$

Oscilações acopladas

Escolhamos a origem na massa $m$ quando a mola está não deformada. Seja $x_1$ a coordenada de $m$ e $x_2$ a coordenada da massa pendular. Obteremos as equações de movimento pela 2a Lei de Newton. Sendo $T$ a tração no fio, para o pêndulo, temos, na vertical:

$T\cos{\phi}=Mg$

$T \approx Mg$

E na horizontal:

$-T\sin{\phi}=M\ddot{x_2}$

Mas observe que $\sin{\phi}=\dfrac{x_2-x_1}{L}$, logo:

$\ddot{x_2}+\dfrac{g}{L}x_1-\dfrac{g}{L}x_2=0$

$\ddot{x_2}+ \omega_{p}^2 x_1 - \omega_{p}^2 x_2 = 0$ $(1)$

Para a massa $m (=M)$, não olharemos para as forças na vertical. Na horizontal, temos a força elástica e a tração do fio (apontando no sentido positivo). Sendo assim:

$-kx_1+T\sin{\phi}=m\ddot{x_1}$

$-\omega_{s}^2 x_1 + \omega_{p}^2 x_2 - \omega_{p}^2 x_1 = \ddot{x_1}$

$\ddot{x_1}+(\omega_{s}^2+\omega_{p}^2)x_1+\omega_{p}^2 x_2 = 0$ $(2)$

Em posse das equações de movimento, podemos determinar as frequências naturais de oscilação; isto é, as frequências de oscilação nos modos normais. Como, em qualquer um desses modos, a frequência de oscilação de ambos os corpos é igual, podemos chutar uma solução oscilatória para cada um dos corpos: para a massa $m$, $x_1(t)=A\cos{\omega t}$ e $x_2(t)=B\cos{\omega t}$. Não nos preocuparemos com as fases iniciais, pois buscamos apenas as frequências, e não descrever o movimento com rigor. Nosso objetivo será relacionar as constantes $A$ e $B$ de forma a isolar $\omega$. Substituindo $x_1$ e $x_2$ e suas demais derivadas nas equações de movimento, obtemos as seguintes relações:

De $(1)$:

$\dfrac{A}{B}=\dfrac{\omega_{p}^2}{\omega^2-\omega^2}$

De $(2)$:

$\dfrac{A}{B}=\dfrac{\omega_{p}^2+\omega_{s}^2-\omega^2}{\omega_{p}^2}$

Fazendo a igualdade de ambas as expressões acima, e com um pequeno esforço algébrico, chegamos à seguinte equação biquadrática:

$\omega^4-(2\omega_{p}^2+\omega_{s}^2)\omega^2+\omega_{p}^2 \omega_{s}^2=0$

Fazendo a substituição $\omega^2=\alpha$, a equação reduz-se à uma do segundo grau, cuja solução é facilmente obtida pela fórmula de Bháskara.

$\omega=\pm \left[\dfrac{1}{2}(2\omega_{p}^2+\omega_{s}^2) \pm \dfrac{1}{2}(4\omega_{p}^2+\omega_{s}^4)^{\dfrac{1}{2}}\right]^{\dfrac{1}{2}}$

As quatro soluções matematicamente possíveis reduzem-se a apenas duas com sentido físico (que correspondem às frequências nos dois modos de oscilação normal), tendo em vista que o sinal de $"-"$ no lado de fora dos colchetes torna a frequência negativa, o que não tem sentido. Sendo assim, as duas frequências podem ser condensadas na seguinte resposta:

$\omega=\left[\dfrac{1}{2}(2\omega_{p}^2+\omega_{s}^2) \pm \dfrac{1}{2}(4\omega_{p}^4+\omega_{s}^4)^{\dfrac{1}{2}}\right]^{\dfrac{1}{2}}$

$\omega=\left[\dfrac{1}{2}(2\omega_{p}^2+\omega_{s}^2) \pm \dfrac{1}{2}(4\omega_{p}^4+\omega_{s}^4)^{\dfrac{1}{2}}\right]^{\dfrac{1}{2}}$