Soluções Física – Semana 111

Dinâmica: plano inclinado

Seja $a_y$ a aceleração vertical descendente do bloco e $a_x$ sua aceleração horizontal para a direita. A aceleração requerida é $a$ para a esquerda. No referencial da cunha, o bloco desliza ao longo do plano inclinado de tal forma que as acelerações estão vinculadas:

$$\dfrac{a_y}{a_x+a}=\tan{\alpha}$$

Onde $a_x+a$ é a aceleração relativa horizontal.  Pela segunda lei de Newton, temos três equações:

$$N\sin{\alpha}=Ma$$

$$N\sin{\alpha}=ma_x$$

$$mg-N\cos{\alpha}=ma_y$$

Acima, temos 4 equações e 4 icógnitas ($N$,$a_x$,$a_y$ e $a$), resolvendo para $a$:

$$a=\dfrac{mg\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{M+m\sin^2{\alpha}}$$

$$a=\dfrac{mg\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{M+m\sin^2{\alpha}}$$

Gravitação

a) O torque em relação ao centro da força é nulo, visto que a força aponta para a origem. Logo, como $\tau=\dfrac{d\vec{L}}{dt}=0$, $\vec{L}$ é uma constante.

b) Pela definição do enunciado:

$$\dot{r}=-\dfrac{1}{u^2}\dot{u}=-r^2{\dot{\theta}}\dfrac{du}{d\theta}$$

Mas $r^2\dot{\theta}=l/m$. Portanto, como $L$ é uma constante de movimento:

$$\ddot{r}=-\dfrac{l}{m}\dot{\theta}\dfrac{d^2u}{d{\theta}^2}=\dfrac{l^2}{m^2}u^2\dfrac{d^2u}{d{\theta}^2}$$

Agora, vamos para o referencial que gira instantaneamente com $\dot{\theta}$. Nesse referencial, a partícula só se aproxima ou se afasta no centro radialmente. Pela segunda lei de Newton:

$$F(r)+mr{\dot{\theta}}^2=m\ddot{r}$$

Onde o lado esquerdo é a força resultante que é a soma da força central com a centrífuga. Substituindo na equação acima a expressão para $\ddot{r}$, chegamos na equação de Binet:

$$\dfrac{d^2u}{d{\theta}^2}+u=-\dfrac{m}{l^2u^2}\lambda(r)$$

c) Se $\lambda(r)=ku^2$, chegamos numa equação diferencial do M.H.S. A solução geral é:

$r \left( \theta \right) = \dfrac{A}{1+B \cos \left(\theta - \theta_{0} \right)}$

d) Sim. A velocidade aerolar da partícula é $\dfrac{L}{2m}$, como $L$ é constante para qualquer força central, a velocidade aerolar também será e, portanto, a segunda lei de kepler é válida.

e) Seja $f_1$ a distância da partícula a um dos focos e $f_2$ a distância até o outro. Pela definição de elipse:

$$f_1+f_2=2a$$

Onde $a$ é o semi-eixo maior. Por convenniência, medimos o ângulo $\theta$ a partir do momento de máximo afastamento. Dessa forma, pela lei dos cossenos:

$$f_1^2=c^2+r^2-2rc\cos{\theta}$$

e

$$f_2^2=c^2+r^2+2rc\cos{\theta}$$

Onde $c$ é distância do sol aos focos. Elevando a primeira equação ao quadrado:

$$f_1^2=f_2^2+4a^2-4af_2$$

Substituindo os valores de $f_1^2$ e $f_2^2$ na expressão acima, chegamos em:

$$f_2=a+\dfrac{rc\cos{\theta}}{a}$$

Elevando ao quadrado e substituindo $f_2^2$:

$$a^2+\dfrac{c^2r^2\cos^2{\theta}}{a^2}+2rc\cos{\theta}=r^2+c^2+2rc\cos{\theta}$$

Usando a propriedade da elipse; $a^2=c^2+b^2$, chegamos na expressão de $r(\theta)$$:

$$r(\theta)=\dfrac{b}{\sqrt{1-{\epsilon}^2\cos^2{\theta}}}$$

f) Aqui, basta derivarmos $r(\theta)$ duas vezes e substituir na equação de Binet, o processo é puramente braçal. Substituindo a segunda derivada na equação de Binet, chega-se na expressão do enunciado.

g) Sabemos que o período de todos os planetas são iguais. Pela relação da velocidade aerolar, o período $\tau$ está relacionado com a área total da órbita ${\pi}ab$, através de:

$$\dfrac{\tau}{{\pi}ab}=\dfrac{2m}{l}$$

Como $\tau$ é constante, $l^2$ é proporcional a $a^2b^2=b^4\dfrac{1}{1-{\epsilon}^2}$, e, portanto, os fatores dependentes da órbita cancelam na expressão para $\lambda(r)$.

a) Demonstração

b) Demonstração

c) $r \left( \theta \right) = \dfrac{A}{1+B \cos \left(\theta - \theta_{0} \right)}$

d) Sim.

e) Demonstração

f) Demonstração

g) Demonstração

Relatividade e princípio de Huygens

a) Observe que $ab$ é uma frente de onda incidente no tempo $t_0$. A pertubação dessa onda acaba quando a frente de onda atinge $d$. Portanto, $ac=bd=c(t-t_0)$. Pela figura, $ed=ag$ e:

$$\sin{\alpha}=\dfrac{bd+dg}{ag}$$

e

$$\sin{\beta}=\dfrac{ac-af}{ag-ef}$$

Temos também que $dg=ae=\dfrac{a0}{\cos{\alpha}}=\dfrac{v(t-t_0)\sin{\phi}}{\cos{\alpha}}$ e $af=\dfrac{ao}{\cos{\beta}}=\dfrac{v(t-t_0)\sin{\phi}}{\cos{\beta}}$. Pelos triângulos $aeo$ e $afo$, temos $eo=ao\tan{\alpha}$ e $of=ao\tan{\beta}$. Como $ef=eo+of$:

$$ef=v(t-t_0)\sin{\phi}\left(\tan{\alpha}+\tan{\beta}\right)$$

Das equações acima, obtemos:

$$\sin{\alpha}=\dfrac{c+v\dfrac{\sin{\phi}}{\cos{\alpha}}}{\dfrac{ag}{v(t-t_0)}}$$

e

$$\sin{\beta}=\dfrac{c-\dfrac{v\sin{\phi}}{\cos{\beta}}}{\dfrac{ag}{v(t-t_0)}-v\sin{\phi}\left(\tan{\alpha}+\tan{\beta}\right)}$$

Eliminando $\dfrac{ag}{v(t-t_0)}$ das duas equações acima, chega-se no resultado requerido.

b) Nesse caso $\phi=\pi/2$ e devemos fazer $\kappa\to{-\kappa}$ na expressão do item anterior. Abrindo o seno da soma e agrupando termos chegamos em:

$$\left(1+{\kappa}\cos{\beta}\right)\sin{\alpha}=\left(1-{\kappa}\cos{\alpha}\right)\sin{\beta}$$

Elevando os dois lados da equação ao quadrado, chega-se numa expressão quadrática para $\cos{\beta}=x$:

$$\left(1-2{\kappa}\cos{\alpha}\right)x^2+2{\kappa}\sin^2{\alpha}x+2{\kappa}\cos{\alpha}-\left(1+{\kappa}^2\right)\cos^2{\alpha}=0$$

Para escolher a solução correta, basta perceber que para $\kappa=0$, $\alpha$ deve se igualar a $\beta$. A solução correta é:

$$\cos{\beta}=\dfrac{-2{\kappa}+\left(1+{\kappa}^2\right)\cos{\alpha}}{1+{\kappa}^2-2{\kappa}\cos{\alpha}}$$

c) No referencial do laboratório, $v_x=c\cos{\alpha}$ e $v_y=c\sin{\alpha}$. No referencial do espelho:

$$v_x'=\dfrac{v_x-V}{1-v_xV/{c^2}}$$

e

$$v_y'=\dfrac{(v_y/{\gamma})}{1-Vv_x/{c^2}}$$

Após a colisão com o espelho:

$$v_x''=-v_x'$$

e

$$v_y''=v_y'$$

Finalmente, fazendo a transformação para o referencial do laboratório:

$$c\sin{\beta}=\dfrac{(v_y''/{\gamma})}{1+Vv_x''/{c^2}}$$

Substituindo as expressões encontradas na equação acima, chegamos em (com $V={\kappa}c$):

$$\sin{\beta}=\dfrac{(1-{\kappa}^2\sin{\alpha})}{1-2{\kappa}\cos{\alpha}+{\kappa}^2}$$

Utilizando a equação fundamental da trigonometria, chega-se em $\cos{\beta}$.

a) Demonstração

b) 

$$\cos{\beta}=\dfrac{-2{\kappa}+\left(1+{\kappa}^2\right)\cos{\alpha}}{1+{\kappa}^2-2{\kappa}\cos{\alpha}}$$

c) Demonstração