Soluções Física - Semana 113

Termodinâmica: gases

A equação da reta é facilmente obtida:

$$P=P_0\left(1-\dfrac{V}{V_0}\right)$$

Pela lei dos gases dada no enunciado:

$$P=\dfrac{RT}{V-b}$$

Igualando as duas expressões acima, chegamos em uma equação quadrática de $T(V)$:

$$T=\dfrac{-PoV^2}{RV_0}+\dfrac{P_0V}{R}\left(1+\dfrac{b}{V_0}\right)-\dfrac{P_0b}{R}$$

Para achar as temperaturas máximas, basta utilizarmos a conhecida fórmula do vértice da parábola, o reusltao é:

$$T_m=\dfrac{-P_0b}{R}+\dfrac{P_0V_0}{4R}\left(1+\dfrac{b}{V_0}\right)^2$$

Para o caso do gás ideal, basta fazermos $b=0$ na equação acima. Utilizando a aproximação binomial, chega-se na diferença entre as temperaturas máximas:

$$\Delta{T}=\dfrac{P_0b}{2R}$$

Evidentemente, a maior temperatura é obtida no caso de um gás ideal.

$$\Delta{T}=\dfrac{P_0b}{2R}$$

Interferência de ondas

Evidentemente, o sinal será cancelado devido á interferência das ondas provenientes das três fontes monocromáticas. Para que haja interferência destrutiva no ponto $A_1$, a terceira fonte deve estar a uma distância $r_1=R_1+\left(N+1/2\right)\lambda$, onde $R_1$ é a distância das fontes até esse ponto. Certamente, essa não é a única condição necessária: a amplitude dessa terceira fonte deve ser o dobro da amplitude das outras duas, a fim de cancelar completamente o sinal resultante. A ánalise é a mesma para o ponto $A_2$: a terceira fonte deve estar a uma distância $r_2=R_2+\left(N+1/2\right)\lambda$, onde $R_2$ é a distância das outras duas fontes até o ponto em questão. Como satisfazer simultaneamente essas duas condições? Geometricamente, as soluções possivéis são dadas pelas intersecções dos círculos de raios $r_1$ e $r_2$. A construção geométrica deve ser feita de acordo com a escala fornecida, de acordo com a figura abaixo:

Os pontos em cinza representam as intersecções na região entre os pontos $A_1$ e $A_2$ e, portanto, são as possíveis posições da terceira fonte. Conforme dito antes, a amplitude dessa terceira fonte é dobrada, logo, a intensidade é quadruplicada.

Mecânica: conservação de energia e momento angular

Seja ${\omega}_i$ a velocidade angular inicial do i-ésimo dominó. Podemos encontrar a velocidade angular ${\omega}'_i$ desse dominó imediatamente antes da colisão com o próximo dominó através da conservação de energia, a colisão ocorrre quando o dominó cai por um ângulo $\alpha$ tal que $\tan{\alpha}=1/2$. Logo, como o momento de inércia é $I=ml^2/3$:

$${\omega}'_i=\sqrt{{\omega}_i^2+\dfrac{3g}{l}\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)}$$

A colisão entre os dominós é inelástica, portanto, os mesmos se movem juntos imediatamente após a colisão. Portanto:

$$\cos{\alpha}l{\omega}''_{i}=\cos{\alpha}\dfrac{l}{2}{\omega}_{i+1}$$

Onde o sobescrito '' se refere a velocidade angular do primeiro domíno após a colisão com o dominó seguinte. Por conservação de momento angular:

$$I{\omega}_{i+1}=I\left({\omega}'_i-{\omega}''_{i+1}\right)$$

Utilizando as equações acima, chega-se em:

$$\left({\omega}'_i-{\omega}''_{i+1}\right)=2{\omega}_{i+1}$$

Logo:

$${\omega}_{i+1}=\dfrac{2}{5}{\omega}'_i=\dfrac{2}{5}\sqrt{{\omega}_i^2+\dfrac{3g}{l}\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)}$$

Na situação do enunciado: ${\omega}_i={\omega}_{i+1}=\omega$. Portanto, usando a equação acima:

$$\omega=\sqrt{\dfrac{4g}{7l}\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)}$$

$$\omega=\sqrt{\dfrac{4g}{7l}\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)}$$