Iniciante
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Termodinâmica: gases
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A equação da reta é facilmente obtida:
\[P=P_0\left(1-\dfrac{V}{V_0}\right)\]
Pela lei dos gases dada no enunciado:
\[P=\dfrac{RT}{V-b}\]
Igualando as duas expressões acima, chegamos em uma equação quadrática de $$T(V)$$:
\[T=\dfrac{-PoV^2}{RV_0}+\dfrac{P_0V}{R}\left(1+\dfrac{b}{V_0}\right)-\dfrac{P_0b}{R}\]
Para achar as temperaturas máximas, basta utilizarmos a conhecida fórmula do vértice da parábola, o reusltao é:
\[T_m=\dfrac{-P_0b}{R}+\dfrac{P_0V_0}{4R}\left(1+\dfrac{b}{V_0}\right)^2\]
Para o caso do gás ideal, basta fazermos $$b=0$$ na equação acima. Utilizando a aproximação binomial, chega-se na diferença entre as temperaturas máximas:
\[\Delta{T}=\dfrac{P_0b}{2R}\]
Evidentemente, a maior temperatura é obtida no caso de um gás ideal.
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\[\Delta{T}=\dfrac{P_0b}{2R}\]
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Intermediário
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Interferência de ondas
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Evidentemente, o sinal será cancelado devido á interferência das ondas provenientes das três fontes monocromáticas. Para que haja interferência destrutiva no ponto $$A_1$$, a terceira fonte deve estar a uma distância $$r_1=R_1+\left(N+1/2\right)\lambda$$, onde $$R_1$$ é a distância das fontes até esse ponto. Certamente, essa não é a única condição necessária: a amplitude dessa terceira fonte deve ser o dobro da amplitude das outras duas, a fim de cancelar completamente o sinal resultante. A ánalise é a mesma para o ponto $$A_2$$: a terceira fonte deve estar a uma distância $$r_2=R_2+\left(N+1/2\right)\lambda$$, onde $$R_2$$ é a distância das outras duas fontes até o ponto em questão. Como satisfazer simultaneamente essas duas condições? Geometricamente, as soluções possivéis são dadas pelas intersecções dos círculos de raios $$r_1$$ e $$r_2$$. A construção geométrica deve ser feita de acordo com a escala fornecida, de acordo com a figura abaixo:
Os pontos em cinza representam as intersecções na região entre os pontos $$A_1$$ e $$A_2$$ e, portanto, são as possíveis posições da terceira fonte. Conforme dito antes, a amplitude dessa terceira fonte é dobrada, logo, a intensidade é quadruplicada.
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Avançado
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Mecânica: conservação de energia e momento angular
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Seja $${\omega}_i$$ a velocidade angular inicial do i-ésimo dominó. Podemos encontrar a velocidade angular $${\omega}’_i$$ desse dominó imediatamente antes da colisão com o próximo dominó através da conservação de energia, a colisão ocorrre quando o dominó cai por um ângulo $$\alpha$$ tal que $$\tan{\alpha}=1/2$$. Logo, como o momento de inércia é $$I=ml^2/3$$:
\[{\omega}’_i=\sqrt{{\omega}_i^2+\dfrac{3g}{l}\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)}\]
A colisão entre os dominós é inelástica, portanto, os mesmos se movem juntos imediatamente após a colisão. Portanto:
\[\cos{\alpha}l{\omega}”_{i}=\cos{\alpha}\dfrac{l}{2}{\omega}_{i+1}\]
Onde o sobescrito ” se refere a velocidade angular do primeiro domíno após a colisão com o dominó seguinte. Por conservação de momento angular:
\[I{\omega}_{i+1}=I\left({\omega}’_i-{\omega}”_{i+1}\right)\]
Utilizando as equações acima, chega-se em:
\[\left({\omega}’_i-{\omega}”_{i+1}\right)=2{\omega}_{i+1}\]
Logo:
\[{\omega}_{i+1}=\dfrac{2}{5}{\omega}’_i=\dfrac{2}{5}\sqrt{{\omega}_i^2+\dfrac{3g}{l}\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)}\]
Na situação do enunciado: $${\omega}_i={\omega}_{i+1}=\omega$$. Portanto, usando a equação acima:
\[\omega=\sqrt{\dfrac{4g}{7l}\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)}\]
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\[\omega=\sqrt{\dfrac{4g}{7l}\left(1-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)}\]
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