Iniciante
Estática
Podemos utilizar aqui o teorema das três forças: no corpo atuam as forças peso, normal e tração e suas linahs de ação devem coincidir em um ponto C, conforme a figura abaixo:
Fazendo a semelhança de triângulos ΔABC e ΔADE:
¯AB¯AD=¯BC¯DE=12=h√s2−l2cos2θ
Como h=√s2−l2cos2θ−lsinθ, temos:
2lsinθ=√s2−l2cos2θ
l2cos2θ=4l2−s23
Portanto:
h=√s2−l23
h=√s2−l23
Intermediário
Forças centrais
Primeiramente, osbervemos um fato importante da órbita da partícula: a posição C do centro de força. Suponha que C se encontre fora da circunferencia. Agora, traçe uma reta que passa por O, o centro da circunferência. Essa reta intercepta a órbita em dois pontos, e as velocidades da partícula nesses dois pontos são opostas. Dessa forma, o vetor momento angular em torno de C posssui sentido oposto nesses dois pontos, como o vetor momento angular é constante (a força é central) isso é um absurdo. Logo, concluí-se que C não pode estar fora da circunferência: deve estar sob ela ou dentro, digamos que a uma distância a do centro. Pela segunda lei de Kepler, a velocidade aerolar é contante e durante um período o vetor posição da partícula em relação a C varre a área da circunferência de raio R, independentemente de a (Verifique isso visualmente). Logo, o período pode ser achada através da segunda lei:
L2mτ=πR2
Onde L2m é a velocidade aerolar e τ é o período requerido. Portanto, nossa última tarefa é expressar L em função de β. Faremos isso rigorosamente. Considere que a força central em questão tenha a forma K(r). Isto é, a força resultante é dada por:
→FRES=−K(r)ˆr
Onde ˆr é o versor que aponta na direção do vetor posição da partícula em relação à C. Para um ponto genérico P da órbita, consideremos o momento angular em torno de C:
L=mvpsinθrp=mRrpsinθω(rp)
Sendo θ o ângulo formado entre o vetor velocidade e a reta PC. Esse ângulo pode ser obtido pela lei dos cossenos:
sinθ=r2p+R2−a22rpR
Por outro lado, podemos igualar a resultante centrípeta com a força resultante na direção de O:
K(rp)sinθ=mω(rp)2R
ω(rp)=√K(rp)(r2p+R2−a2)2mrpR2
Portanto, podemos agora resolver para K(rp) e ω(rp):
K(rp)=8rpR2L2m(r2p+R2−a2)
e
ω(rp)=Lm(r2p+R2−a2)
Da equação acima, obtem-se rapidamente:
v1=LR2mR(R+a)
e
v2=LR2mR(R−a)
Eliminando a dessas duas equações:
L=4mRβ
Logo:
τ=πRβ2
τ=πRβ2
Avançado
Gravitação
a) A energia potencial gravitacional é o trabalho contra as forças gravitacionais (como essa força é atrativa essa energia é, evidentemente, negativa) necessário para formar a nuvem. A energia potencial não depende da forma no qual a nuvem foi formada, depende apenas do seu estado final. Convenientemente, faremos o cálculo considerando que a nuvem é formada trazendo pequenas (infinitesimais) porções de massa do infinito e distribuindo as mesmas uniformente, formando cascas de massas infinitesimais. Essas cascas de massa infinitesimal dm=4πr2ρdr interage com a esfera de massa de raio r formada pelo conjunto das cascas infitesimais anteriores. A energia de interação entre essas duas massas é:
dU=−Gm(r)dmr
Onde m(r)=ρ43πr3. Integrando a expressão acima, obtem-se a energia total.
U=−G43πρ∫R0r4dr=−35GM2R
b) A energia interna é a soma das contribuições de cada partícula. Cada partícula contribui com 32kT. Portanto, a energia interna total U é igual a 32NkT. Usando o critério fornecido no enunciado, chega-se na massa mínima:
Mj=(3kT2Gm)3/2(34πρ)1/2
Onde foi usado que:
ρ=M43πR3
c) A densidade de massa crítica é dada por:
ρj=34πM2(3kT2Gm)3
E a concentração n=ρjm. Substituido os valores numéricos, chega-se em:
n=1,85.106m−3
d) Devemos fazer o equilíbrio da parcela da nuvem compreendida entre r e r+dr:
(p(r)−p(r+dr))4πr2=Gm(r)r24πr2dr
Onde foi usado o teorema das cascas, que afirma que a parte externa da nuvem não exerce força na parcela da nuvem que foi feito o equilíbrio. Cancelando os fatores númericos, chega-se na expressão do enunciado.
e) Nesse caso, ρ é constante e, portanto, m(r)=ρ43πr3. Intergração direta da expressão acima, nos dá o valor esperado:
P0=23πGρ2R2
f) Para um processo adiabático a quantidade pVγ é constante, ou seja, sua diferencial é nula, portanto:
γdVV+dpp=0
Pela primeira lei dU=−pdV e da equação acima concluí-se que:
d(pV)=−(γ−1)pdV
Logo:
dU=1γ−1d(pV)
Integrando a expressão acima, chega-se na expressão do enunciado.
g) Usando a dica do enunciado, temos:
∫R04πr3dpdrdr=−∫R0Gm(r)ρ(r)r4πr2dr
Uma simples integração por partes no lado esquerdo, nos dá o resultado requerido:
[p(r)4πr3]R0−3∫R0p(r)4πr2dr
h) Observe que o primeiro termo da equação acima é nulo: a pressão em R é zero. O segundo termo é igual a −3V<p>. O primeiro termo do lado direto da equação é igual a energia potencial gravitacional Ω já calculada. Agora, basta substituir isso na expressão para a energia interna. O resultado obtido é:
−3(γ−1)U=Ω
j) A energia total é a soma da energia potencial gravitacional com a energia interna. Usando o teorema do virial:
E=3γ−43(γ−1)Ω
Para γ=53:
E=Ω2
Como Ω é negativo, E também será. Ou seja, caso E diminua, U aumenta e, consequentemente, T aumenta. Isso significa que o sistema tem uma capacidade térmica negativa e quando a estrela radia energia, ela contrai e esquenta (aumento de temperatura).
k) Pelo dado do enunciado, podemos estimar a energia total disponível do sol como sendo 0,008Mc2. Portanto, o tempo de vida pode ser estimar mediante:
t=0,008Mc2L
Substituindo os valores numéricos, obtemos a ordem de grandeza de t: 1011 anos. O valor obtido através dessa estimativa é coerente com a idade atual do sol.
a) [\-\dfrac{3}{5}\dfrac{GM^2}{R}</p><p><strong>b)�</strong>
b)�!M_j={\dfrac{3kT}{2Gm}}^{3/2}{\dfrac{3}{4{\pi}{\rho}}}^{1/2}</p><p><strong>c)</strong>
c) !n=1,85.10^6m^{-3}</p><p><strong>d)�</strong>Demonstra��o.</p><p><strong>e)�</strong>
d)�Demonstra��o.
e)�!P_0=\dfrac{2}{3}{\pi}G{\rho}^2R^2</p><p><strong>f)�</strong>Demonstra��o.</p><p><strong>g)�</strong>Demonstra��o.</p><p><strong>h)</strong>Demonstra��o.</p><p><strong>j)�</strong>Negativa.</p><p><strong>k)</strong>
f)�Demonstra��o.
g)�Demonstra��o.
h) Demonstra��o.
j)�Negativa.
k) !t=\dfrac{0,008Mc^2}{L}$$