Soluções Física - Semana 116

Cinemática

A velocidade relativa entre os corpos é (seu módulo ao quadrado):

$$v^2=\left(V_0\cos{\alpha}+V_0\cos{\beta}\right)^2+\left(V_0\sin{\alpha}-gt-\left(V_0\sin{\alpha}-gt\right)\right)^2$$

$$v=V_0\sqrt{2\left(1+\cos{\left(\alpha+\beta\right)}\right)}$$

Como essa velocidade é constante em direção e módulo:

$$d=V_0\delta{t}\sqrt{2\left(1+\cos{\left(\alpha+\beta\right)}\right)}$$

$$d=V_0\delta{t}\sqrt{2\left(1+\cos{\left(\alpha+\beta\right)}\right)}$$

Termodinâmica: gás ideal

Considere, por simplicidade, que o gás escapa com velocidade horizontal $<v>$. O gás dentro do recipiente tem volume constante, assim como sua temperatura. O que variará durante a transformação é a pressão e o número de partículas. Seja $n$ a concentração de partículas. Pela lei dos gases:

$$P=nkT$$

Após um tempo infinitesimal $dt$, podemos escrever:

$$-n{\pi}R^2<v>=\dfrac{dN}{dt}$$

Onde $N$ é o número de partículas. Logo:

$$dt=-\dfrac{dN}{N}\dfrac{V}{{\pi}R^2<v>}$$

Como $T$ é constante:

$$\dfrac{dN}{N}=\dfrac{dP}{P}$$

Agora, basta integrarmos:

$$\Delta{t}=\dfrac{V}{{\pi}R^2<v>}\int_{P_0}^{P_C} \dfrac{dP}{P}$$

$$\Delta{t}=\dfrac{V}{{\pi}R^2<v>}ln(\dfrac{P_0}{P_C})$$

$$\Delta{t}=\dfrac{V}{{\pi}R^2}ln(\dfrac{P_0}{P_C})$$

Óptica geométrica: princípio de Fermat

a) O caminho óptico é: $L_{OP}=\int_{A}^{B} n(x,y,z)ds=n_0\int_{A}^{B} ds$. O mínimo dessa integral é quando o caminho é uma reta.

b) Seja $h_a$ a altura do ponto $A$, acima do plano e $h_b$ a altura do ponto $B$, abaixo do plano. Considere que a distância horizontal entre $A$ e $B$ seja $L$. Todos esses parâmetros são fixos. Primeiramente, pela solução do item a, a trajetória de um raio de luz em qualquer dos meios é uma reta, não necessariamente a mesma. Seja $P$ o ponto da interface no qual essa duas retas se encontram. $A$, $B$ e $P$ devem estar contidos em um mesmo plano. Veja, seja $\Delta{z}$ a distância fora do plano entre os pontos $P$ e $B$ (os eixos são tais que $z_a=z_p$), o caminho óptico é:

$$L(x,\Delta{z})=n_1\sqrt{h_A^2+x^2}+n_2\sqrt{(L-x)^2+h_B^2+{\Delta{z}}^2}$$

Onde $x$ é a distância horizontal entre os pontos $A$ e $P$. Da equação acima, fica claro que $\Delta{z}=0$ para a minimização. Derivamos $L$ em relação à $x$, o resultado deve ser nulo. Logo:

$$n_1\sin{\theta_1}=n_2\sin{\theta_2}$$

Onde foi usado que $\sin{\theta_1}=\dfrac{x}{\sqrt{h_A^2+x^2}}$ e $\sin{\theta_2}=\dfrac{(L-x)}{(L-x)^2+h_B^2}$

c) O processo é análogo ao do item anterior: escrevemos $L$ como função de $\theta$, derivamos e igualamos a zero.

$$L=n_1\sqrt{h_1^2+(L-x)^2}+n(\theta)\sqrt{h_2+x^2}$$

Derivando e igualando a zero, e usando que $\cos{\theta}=\dfrac{h_2}{\sqrt{h_2^2+x^2}}$ e $\sin{\theta}=\dfrac{x}{\sqrt{h_2^2+x^2}}$, chegamos em:

$$n_i\sin{\theta_i}=\dfrac{n_e^2\tan{r}}{\sqrt{n_0^2+n_e^2\tan^2{r}}}$$

Onde o subscrito $i$ e $r$ representam o meio de incidência e de refração, respectivamente.

a) Uma reta

b) Demonstração

c)

$$n_i\sin{\theta_i}=\dfrac{n_e^2\tan{r}}{\sqrt{n_0^2+n_e^2\tan^2{r}}}$$

Onde o subscrito $i$ e $r$ representam o meio de incidência e de refração, respectivamente.