Escrito por Ualype Uchôa
Iniciante
Mecânica: Conservação de Energia
Devemos analisar a altura máxima atingida como função do parâmetro θ, o ângulo de lançamento com relação ao solo. Observe a figura a seguir, que ilustra o momento em que uma partícula de lama abandona a roda:
Figura 1: Ilustração da roda e de uma partícula de lama no momento em que esta é lançada.
A partícula de lama, evidentemente, sai com velocidade inicial v=ωR do movimento circular. Sua altura inicial é
h=R+Rcosθ=R(1+cosθ).
Seja o solo nosso nível de referência. Agora, conservemos a energia mecânica (não existem forças dissipativas) entre a posição inicial da lama e a posição de máxima altura, na qual a partícula possui apenas a componente horizontal da velocidade, que é constante. Equacionando:
mv22+mgh=mv2x2+mgHmax(θ),
ω2R22+gR(1+cosθ)=ω2R2cosθ22+gHmax(θ).
Isolando Hmax(θ), obtemos uma equação quadrática em cosθ:
Hmax(θ)=−ω2R22gcosθ2+Rcosθ+(ω2R22g+R).
Perceba que o coeficiente do termo quadrático é negativo, ou seja, existe de fato uma altura limite. Podemos maximizar essa função facilmente utilizando as coordenadas do vértice da parábola, resultando exatamente na expressão do enunciado:
Hmax=R+ω2R22g+g2ω2.
Demonstração.
Intermediário
Óptica geométrica: Lentes
(a) Como a lente fica mais curvada, a sua espessura aumentará. Isso significa que as moléculas de água estarão tentando se afastar da superfície; ou seja, concluímos que o líquido é repelido.
(b) Da geometria, decorre:
cosθ=R−tR=1−tR.
c) A lente possui o formato de uma calota esférica cuja altura é t, com o raio da esfera sendo R. Então:
V=πt6(3R2+t2).
É válido considerar a aproximação t≪R (simplificará as contas e será necessário para o próximo item), de tal forma que podemos desprezar o termo t2 frente à R2:
V≈πR2t2.
Porém, do item anterior, t=R(1−cosθ). Substituindo:
V(R,θ)≈πR32(1−cosθ).
(d) Sendo a espessura desprezível em relação ao raio, podemos utilizar a famosa equação dos fabricantes de lentes para calcular o foco da lente líquida.
1f=(nrel−1)(1R1+1R2).
Sendo nrel=nlente/nmeio. Para os raios das faces da lente, usamos as seguintes convenções:
Face convexa → R>0;
Face côncava → R<0;
Face plana → R=∞.
Na situação presente, temos R1=∞ e R2=+R, o último podendo ser expressado em função do volume e do ângulo de contato, pelo item anterior. Logo:
1f=n−1[2Vπ(1−cosθ)]1/3,
f=[2Vπ(1−cosθ)]1/31n−1.
(a) O líquido sofre repulsão.
(b) cosθ=R−tR=1−tR.
(c) V(R,θ)≈πR32(1−cosθ).
(d) f=[2Vπ(1−cosθ)]1/31n−1.
Avançado
Efeito fotoelétrico
(a) Utilizemos a célebre equação do efeito fotoelétrico:
Kmax=hf−φ,
sendo φ a função trabalho do metal e f=c/λ a frequência para uma dada radiação incidente. Do enunciado, φ=hc/λ0. Logo:
Kmax=hc(1λ−1λ0),
mas Kmax=mv21/2, logo:
v1=√2Kmaxm≈4,37∗105 m/s.
(b) A D.D.P entre a esfera e o infinito o acelera até atingir uma certa velocidade máxima no infinito, quando a interação com as demais cargas é nula. Utilizando o teorema da energia cinética para o elétron (entre a saída da esfera e chegada no infinito):
Weletrica=K2−K1
e(ϕ0−0)=mv222−Kmax
v2=√2(Kmax+eϕ0)m≈6,05∗105 m/s.
(c) Primeiramente, devemos entender o porquê do potencial da esfera convergir para um certo valor. Depois de um certo tempo, vários elétrons terão abandonado a esfera, e, consequentemente, sua carga aumentará (pois os elétrons possuem carga negativa), e, por sua vez, o potencial também. Haverá, então, um certo momento em que um fotoelétron sairá da esfera e não conseguirá chegar até o infinito. Apliquemos, novamente, o teorema da energia cinética, mas na condição limitante em que a velocidade do fotoelétron no infinito é nula:
eϕ1=0−Kmax,
ϕ1=−Kmaxe≈+0,54 V.
Perceba, então, que a carga (resultante) final da esfera é positiva; ou seja, restam mais prótons do que elétrons.
(d) Após a exposição prolongada, o potencial elétrico da esfera variou de:
Δϕ=ϕ1−ϕ0=14πϵ0R(q1−q0).
Contudo, a variação da carga na esfera Δq=q1−q0 foi somente devido aos elétrons que a abandonaram. Sendo assim, o número de fotoelétrons que escaparam é:
N=Δq−e.
Dessa forma, podemos encontrar o número de fotoelétrons que escaparam:
N=4πϵ0R−e(−Kmaxe−ϕ0)≈7,2∗106.
(a) v1=√2Kmaxm≈4,37∗105 m/s.
(b) v2=√2(Kmax+eϕ0)m≈6,05∗105 m/s.
(c) ϕ1=−Kmaxe≈+0,54 V.
(d) N=4πϵ0R−e(−Kmaxe−ϕ0)≈7,2∗106.