Soluções Física - Semana 121

Cinemática

(a) Para que a raposa capture o coelho, a posição horizontal deles deve ser a mesma.

A velocidade horizontal da raposa é $v_{h_B}=v\sin{\theta}$.

A velocidade horizontal do coelho é $v_{h_A}=v$.

Vemos que a velocidade horizontal da raposa é sempre menor que a do coelho. Portanto a raposa não capturarå o coelho.

(b) Seja $r$ a distância entre a raposa é o coelho, e $x$ a distância horizontal entre os dois.

$v_x=v-v\sin{\theta}$

$v_r=v\sin{\theta}-v$

$\rightarrow v_r=-v_x$

Peguemos dois instantes de tempo muito próximos um do outro, $t_{n-1}$ e $t_n$

$\dfrac{r_n-r_{n-1}}{t_n-t_{n-1}}=-\dfrac{x_n-x_{n-1}}{t_n-t_{n-1}}$

$\rightarrow x_n+r_n=x_{n-1}+r_{n-1}$

Se repetirmos esse processo para os instantes $n-2$, $n-3$, ... , $n-k$, encontraremos o mesmo resultado, que é válido para o instante inicial. No início $x_0=0$ e $r_0=d$. Portanto, para qualquer instante:

$x+r=d$

Na distância mínima a distância entre eles é igual a distância horizontal ($x=r_{min}$).

$r_{min}+r_{min}=d$

$\rightarrow r_{min}=\dfrac{d}{2}$

(a) Não consegue capturar.

(b) $r_{min}=\dfrac{d}{2}$

Termodinâmica e oscilações

Vamos olhar para a configuração de forças na bolinha;

 

Definiremos o eixo $x$ positivo para baixo. Portanto, vemos que se $x$ aumenta o volume diminui. Seja a variação de volume $\Delta V$:

$\Delta V=-\pi a^2 x$

Olhando para a condição de equilíbrio sabemos que a força resultante é zero.

$F_{gas}=mg \rightarrow P_0\cdot \pi a^2=mg$

$\rightarrow P_0=\dfrac{mg}{\pi a^2}$

Como não há troca de calor com o meio externo o processo realizado no gás e adiabåtico. Para o processo adiabåtico o produto $P\cdot V^{\gamma}$ é constante.

$PV^{\gamma}=P_0V_0^{\gamma}$

$P_0V_0^{\gamma}=P(V_0+\Delta V)^{\gamma}$

$\rightarrow P=P_0\left (1+\dfrac{\Delta V}{V_0}\right )^{-\gamma}$

Para deslocamentos pequenos $\Delta V<<V_0$, ou $\dfrac{\Delta V}{V_0}<<1$. Podemos, portanto, utilizar a aproximação binomial:

Se $\left | x\right | <<1 \rightarrow (1+x)^n\approx 1+nx$

Portanto:

$P\approx P_0\left ( 1-\gamma \dfrac{\Delta V}{V_0}\right)$

$P=P_0\left ( 1+ \dfrac{\gamma \pi a^2 x}{V_0}\right)$

Aplicando a $2^a$ lei de Newton na bolinha:

$m\ddot x=mg-F_{gas}=mg-P\cdot \pi a^2$

$m\ddot x=mg-P_0\left ( 1+ \dfrac{\gamma \pi a^2 x}{V_0}\right)\pi a^2$

Sabemos que $P_0=\dfrac{mg}{\pi a^2}$.

$m\ddot x=mg-mg\left ( 1+ \dfrac{\gamma \pi a^2 x}{V_0}\right)$

$\ddot x =-\left (\dfrac{\gamma \pi a^2 g}{V_0}\right ) x$

Essa é a equação de um MHS. A frequência angular desse movimento será:

$\omega =\sqrt{\dfrac{\gamma \pi a^2 g}{V_0}}=\dfrac{2\pi}{T}$

$\rightarrow \gamma=\dfrac{4\pi V_0}{a^2gT^2}$

$\gamma=\dfrac{4\pi V_0}{a^2gT^2}$

Eletrodinâmica / circuitos de corrente alternada

(a) Essa questão será resolvida de dois modos: resolvendo a equação diferencial para o circuito tal qual ele aparece e utilizando uma visão "complexa" (utilizando números complexos) para o circuito.

$1^a$ Solução:  Analisando o circuito tal como ele é.

Aplicando as leis de Kirchoff no circuito temos:

$V_i+V_{resistor}+V_{capacitor}=0$

$V_t\cos{\left(\omega t\right)} - RI-\dfrac{Q}{C}=0$

Sendo $I=\dfrac{dQ}{dt}=\dot Q$ temos:

$R\dot Q+\dfrac{Q}{C}=V_t\cos{\left(\omega t\right)}$

Haverão duas soluções para essa EDO uma homogênea e uma particular.

(I) Solução homogênea: 

$R\dot {Q}_{h}+\dfrac{Q_h}{C}=0$ (Eq 1)

A solução será do tipo:

$Q_h=A\cdot e^{pt} \rightarrow \dot {Q}_{h}=A\cdot p\cdot e^{pt}$

Voltando à (Eq 1):

$R\cdot A\cdot p\cdot e^{pt}+\dfrac{ A\cdot e^{pt}}{C}=0$

$\rightarrow p=-\dfrac{1}{RC}$

$\rightarrow Q_h=A\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$

(II) Solução particular

A solução particular terá a aparência da função da tensão alternada.

$Q_p=A\sin{\left(\omega t\right)} +B\cos{\left (\omega t\right)}$

$\dot {Q}_{p}=\omega A\cos{\left(\omega t\right)}-\omega B\sin{\left(\omega t\right)}$

$V_t\cos{\left(\omega t\right)}=R\left(\omega A\cos{\left(\omega t\right)}-\omega B\sin{\left(\omega t\right)}\right)+\dfrac {A\sin{\left(\omega t\right)} +B\cos{\left (\omega t\right)}}{C}$

Chegamos ao seguinte sistema:

$\begin{cases} \dfrac{A}{C}-\omega R B=0\\ \omega RA+\dfrac{B}{C}=V_t \end{cases}$

Logo:

$A=\dfrac{\omega R C^2 V_t}{1+\omega^2 R^2 C^2}$ e $B=\dfrac{CV_t}{1+\omega^2 R^2 C^2}$

$\rightarrow Q_p=\sqrt{A^2+B^2}\left(\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos{(\omega t)}+\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin{(\omega t)}\right)=\rho\cos{(\omega t - \theta)}$

Onde: $\rho=\sqrt{A^2+B^2}$ e $\theta =\tan^{-1}{\left (\frac{B}{A}\right)}$

A solução geral para a EDO será a soma da homogênea com a particular:

$Q(t)=Q_h+Q_p=A\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+\rho\cos{(\omega t - \theta)}$

Perceba que a solução homogênea é uma exponencial decrescente. Após muito tempo esse termo tenderá a zero, portanto, o termo que influenciará na oscilação será somente a solução particular. Logo, a amplitude de oscilação será $V_0=\dfrac{\rho}{C}$.

$CV_0=\rho=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\omega RC^2V_t}{1+\omega^2R^2C^2}\right)^2+\left(\dfrac{CV_t}{1+\omega^2R^2C^2}\right)^2}=\dfrac{CV_t}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}$

$\rightarrow V_0=\dfrac{V_t}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}$

$2^a$ Solução: Visão complexa do circuito.

Para compreensão dessa solução você precisa ter experiência de como trabalhar com números complexos.

Primeiramente considere as notações: $i=\sqrt{-1}$ e $Re(z)$ denota a parte real do número complexo $z$.

Sabendo que $e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$, perceba que $V_t\cos{(\omega t)}=Re(V_te^{i\omega t})$.

Seja o número complexo $z$ da forma: $z=a+bi$.

$(I) \dfrac{d\left(Re(z)\right)}{dt}=\dfrac{da}{dt}$

$(II) Re\left(\dfrac{dz}{dt}\right)=\dfrac{da}{dt}$

$\rightarrow \dfrac{d\left(Re(z)\right)}{dt}=Re\left(\dfrac{dz}{dt}\right)$

Como para o nosso circuito estamos apenas resolvendo uma EDO, podemos encontrar uma solução complexa que atenda às mesmas equações e retirar a parte real após encontrá-la. Nessa solução desconsideraremos o termo homogêneo, visto que ele não influencia na oscilação.

Suponha que a solução complexa para a corrente seja $\overline{I}=k\cdot e^{i\omega t}$. A carga será:

$\int_0^{\overline{Q}} dQ=\int_0^t \overline{I}dt=\int_0^t k\cdot e^{i\omega t} dt$

$\overline{Q}=\dfrac{k}{i\omega} e^{i\omega t}$

Voltando a Lei das malhas:

$V_i+V_{resistor}+V_{capacitor}=0$

$V_i-R\overline{I}-\dfrac{\overline{Q}}{C}=0$

$V_t\cdot e^{i\omega t}-R\cdot k\cdot e^{i\omega t}-\dfrac{k}{i\omega C}e^{i\omega t}=0$

$\rightarrow k=\dfrac{V_t}{R+\frac{1}{i\omega C}}$

A carga será:

$\overline{Q}=\dfrac{\frac{1}{i\omega}}{R+\frac{1}{i\omega C}} V_te^{i\omega t}$

A voltagem complexa será portanto:

$\rightarrow \overline {V}=\dfrac{\overline{Q}}{C}=-\dfrac{\frac{i}{\omega C}}{R-\frac{i}{\omega C}} V_te^{i\omega t}$

Podemos escrever o número complexo $z=a+bi$ como $z=\sqrt{a^2+b^2}\cdot e^{i\alpha}$, onde $\alpha=\tan^{-1}{\frac{b}{a}}$. Portanto:

$\overline {V}=\dfrac{1}{\omega C} e^{-i\frac{\pi}{2}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{R^2+\frac{1}{\omega^2 C^2}}e^{i\theta}}V_t\cdot e^{i\omega t}$

$\rightarrow \overline{V}=\dfrac{V_t}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}\cdot e^{i(\omega t+\theta -\frac{\pi}{2})}$

Essa é a solução complexa para a voltagem no capacitor, porém, desejamos a solução real pro circuito:

$V=Re(\overline {V})$

$V=\dfrac{V_t}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}\cos{(\omega t+\theta -\frac{\pi}{2})}$

Chegamos assim a amplitude $V_0$ de oscilação:

$\rightarrow V_0=\dfrac{V_t}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}$

(b) inicialmente precisamos ver as "condições de contorno" da função.

$(I)$ Para $\omega=0$, $V_0=V_t$.

$(II)$ Para $\omega$ muito grande ($\omega \rightarrow \infty$), $V_t \rightarrow 0$.

$(III)$ $\dfrac{dV_0}{d\omega}=-\dfrac{\omega R^2C^2 V_t}{(1+\omega^2R^2C^2)^{\frac{3}{2}}}\leq 0$, $\forall \omega \geq 0$.

Para os valores positivos de $\omega$ a função é decrescente, e para $\omega=0$ a derivada é zero.

$(IV)$ $\dfrac{d^2V_0}{d\omega^2}=\dfrac{R^2C^2(2\omega^2R^2C^2-1)V_t}{(1+\omega^2R^2C^2)^{\frac{3}{2}}}$

Se $0\leq \omega <\dfrac{1}{\sqrt{2}RC}$, $\dfrac{d^2V_0}{d\omega^2}<0$. Se $\omega >\dfrac{1}{\sqrt{2}RC}$ , $\dfrac{d^2V_0}{d\omega^2}>0$. Portanto, a concavidade do gráfico inicialmente está virada para baixo e depois ficará virada pra cima.

Juntando essas informações chegamos ao seguinte esboço:

(a) $V_0=\dfrac{V_t}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}$

(b)