Escrito por Wanderson Faustino Patricio
Iniciante
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática [/spoiler][spoiler title=’Solução ‘ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) 
Para que a raposa capture o coelho, a posição horizontal deles deve ser a mesma.
A velocidade horizontal da raposa é $$v_{h_B}=v\sin{\theta}$$.
A velocidade horizontal do coelho é $$v_{h_A}=v$$.
Vemos que a velocidade horizontal da raposa é sempre menor que a do coelho. Portanto a raposa não capturarå o coelho.
(b) Seja $$r$$ a distância entre a raposa é o coelho, e $$x$$ a distância horizontal entre os dois.
$$v_x=v-v\sin{\theta}$$
$$v_r=v\sin{\theta}-v$$
$$\rightarrow v_r=-v_x$$
Peguemos dois instantes de tempo muito próximos um do outro, $$t_{n-1}$$ e $$t_n$$
$$\dfrac{r_n-r_{n-1}}{t_n-t_{n-1}}=-\dfrac{x_n-x_{n-1}}{t_n-t_{n-1}}$$
$$\rightarrow x_n+r_n=x_{n-1}+r_{n-1}$$
Se repetirmos esse processo para os instantes $$n-2$$, $$n-3$$, … , $$n-k$$, encontraremos o mesmo resultado, que é válido para o instante inicial. No início $$x_0=0$$ e $$r_0=d$$. Portanto, para qualquer instante:
$$x+r=d$$
Na distância mínima a distância entre eles é igual a distância horizontal ($$x=r_{min}$$).
$$r_{min}+r_{min}=d$$
$$\rightarrow r_{min}=\dfrac{d}{2}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito ‘ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) Não consegue capturar.
(b) $$r_{min}=\dfrac{d}{2}$$
[/spoiler]
Intermediário
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Termodinâmica e oscilações [/spoiler][spoiler title=’Solução ‘ style=’default’ collapse_link=’true’]
Vamos olhar para a configuração de forças na bolinha;
Definiremos o eixo $$x$$ positivo para baixo. Portanto, vemos que se $$x$$ aumenta o volume diminui. Seja a variação de volume $$\Delta V$$:
$$\Delta V=-\pi a^2 x$$
Olhando para a condição de equilíbrio sabemos que a força resultante é zero.
$$F_{gas}=mg \rightarrow P_0\cdot \pi a^2=mg$$
$$\rightarrow P_0=\dfrac{mg}{\pi a^2}$$
Como não há troca de calor com o meio externo o processo realizado no gás e adiabåtico. Para o processo adiabåtico o produto $$P\cdot V^{\gamma}$$ é constante.
$$PV^{\gamma}=P_0V_0^{\gamma}$$
$$P_0V_0^{\gamma}=P(V_0+\Delta V)^{\gamma}$$
$$\rightarrow P=P_0\left (1+\dfrac{\Delta V}{V_0}\right )^{-\gamma}$$
Para deslocamentos pequenos $$\Delta V<<V_0$$, ou $$\dfrac{\Delta V}{V_0}<<1$$. Podemos, portanto, utilizar a aproximação binomial:
Se $$\left | x\right | <<1 \rightarrow (1+x)^n\approx 1+nx$$
Portanto:
$$P\approx P_0\left ( 1-\gamma \dfrac{\Delta V}{V_0}\right)$$
$$P=P_0\left ( 1+ \dfrac{\gamma \pi a^2 x}{V_0}\right)$$
Aplicando a $$2^a$$ lei de Newton na bolinha:
$$m\ddot x=mg-F_{gas}=mg-P\cdot \pi a^2$$
$$m\ddot x=mg-P_0\left ( 1+ \dfrac{\gamma \pi a^2 x}{V_0}\right)\pi a^2$$
Sabemos que $$P_0=\dfrac{mg}{\pi a^2}$$.
$$m\ddot x=mg-mg\left ( 1+ \dfrac{\gamma \pi a^2 x}{V_0}\right)$$
$$\ddot x =-\left (\dfrac{\gamma \pi a^2 g}{V_0}\right ) x$$
Essa é a equação de um MHS. A frequência angular desse movimento será:
$$\omega =\sqrt{\dfrac{\gamma \pi a^2 g}{V_0}}=\dfrac{2\pi}{T}$$
$$\rightarrow \gamma=\dfrac{4\pi V_0}{a^2gT^2}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito ‘ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\gamma=\dfrac{4\pi V_0}{a^2gT^2}$$
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Eletrodinâmica / circuitos de corrente alternada
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução ‘ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) Essa questão será resolvida de dois modos: resolvendo a equação diferencial para o circuito tal qual ele aparece e utilizando uma visão “complexa” (utilizando números complexos) para o circuito.
$$1^a$$ Solução: Analisando o circuito tal como ele é.
Aplicando as leis de Kirchoff no circuito temos:
$$V_i+V_{resistor}+V_{capacitor}=0$$
$$V_t\cos{\left(\omega t\right)} – RI-\dfrac{Q}{C}=0$$
Sendo $$I=\dfrac{dQ}{dt}=\dot Q$$ temos:
$$R\dot Q+\dfrac{Q}{C}=V_t\cos{\left(\omega t\right)}$$
Haverão duas soluções para essa EDO uma homogênea e uma particular.
(I) Solução homogênea:
$$R\dot {Q}_{h}+\dfrac{Q_h}{C}=0$$ (Eq 1)
A solução será do tipo:
$$Q_h=A\cdot e^{pt} \rightarrow \dot {Q}_{h}=A\cdot p\cdot e^{pt}$$
Voltando à (Eq 1):
$$R\cdot A\cdot p\cdot e^{pt}+\dfrac{ A\cdot e^{pt}}{C}=0$$
$$\rightarrow p=-\dfrac{1}{RC}$$
$$\rightarrow Q_h=A\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$$
(II) Solução particular
A solução particular terá a aparência da função da tensão alternada.
$$Q_p=A\sin{\left(\omega t\right)} +B\cos{\left (\omega t\right)}$$
$$\dot {Q}_{p}=\omega A\cos{\left(\omega t\right)}-\omega B\sin{\left(\omega t\right)}$$
$$V_t\cos{\left(\omega t\right)}=R\left(\omega A\cos{\left(\omega t\right)}-\omega B\sin{\left(\omega t\right)}\right)+\dfrac {A\sin{\left(\omega t\right)} +B\cos{\left (\omega t\right)}}{C}$$
Chegamos ao seguinte sistema:
$$\begin{cases} \dfrac{A}{C}-\omega R B=0\\ \omega RA+\dfrac{B}{C}=V_t \end{cases}$$
Logo:
$$A=\dfrac{\omega R C^2 V_t}{1+\omega^2 R^2 C^2}$$ e $$B=\dfrac{CV_t}{1+\omega^2 R^2 C^2}$$
$$\rightarrow Q_p=\sqrt{A^2+B^2}\left(\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cos{(\omega t)}+\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\sin{(\omega t)}\right)=\rho\cos{(\omega t – \theta)}$$
Onde: $$\rho=\sqrt{A^2+B^2}$$ e $$\theta =\tan^{-1}{\left (\frac{B}{A}\right)}$$
A solução geral para a EDO será a soma da homogênea com a particular:
$$Q(t)=Q_h+Q_p=A\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+\rho\cos{(\omega t – \theta)}$$
Perceba que a solução homogênea é uma exponencial decrescente. Após muito tempo esse termo tenderá a zero, portanto, o termo que influenciará na oscilação será somente a solução particular. Logo, a amplitude de oscilação será $$V_0=\dfrac{\rho}{C}$$.
$$CV_0=\rho=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{\left(\dfrac{\omega RC^2V_t}{1+\omega^2R^2C^2}\right)^2+\left(\dfrac{CV_t}{1+\omega^2R^2C^2}\right)^2}=\dfrac{CV_t}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}$$
$$\rightarrow V_0=\dfrac{V_t}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}$$
$$2^a$$ Solução: Visão complexa do circuito.
Para compreensão dessa solução você precisa ter experiência de como trabalhar com números complexos.
Primeiramente considere as notações: $$i=\sqrt{-1}$$ e $$Re(z)$$ denota a parte real do número complexo $$z$$.
Sabendo que $$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$$, perceba que $$V_t\cos{(\omega t)}=Re(V_te^{i\omega t})$$.
Seja o número complexo $$z$$ da forma: $$z=a+bi$$.
$$(I) \dfrac{d\left(Re(z)\right)}{dt}=\dfrac{da}{dt}$$
$$(II) Re\left(\dfrac{dz}{dt}\right)=\dfrac{da}{dt}$$
$$\rightarrow \dfrac{d\left(Re(z)\right)}{dt}=Re\left(\dfrac{dz}{dt}\right)$$
Como para o nosso circuito estamos apenas resolvendo uma EDO, podemos encontrar uma solução complexa que atenda às mesmas equações e retirar a parte real após encontrá-la. Nessa solução desconsideraremos o termo homogêneo, visto que ele não influencia na oscilação.
Suponha que a solução complexa para a corrente seja $$\overline{I}=k\cdot e^{i\omega t}$$. A carga será:
$$\int_0^{\overline{Q}} dQ=\int_0^t \overline{I}dt=\int_0^t k\cdot e^{i\omega t} dt$$
$$\overline{Q}=\dfrac{k}{i\omega} e^{i\omega t}$$
Voltando a Lei das malhas:
$$V_i+V_{resistor}+V_{capacitor}=0$$
$$V_i-R\overline{I}-\dfrac{\overline{Q}}{C}=0$$
$$V_t\cdot e^{i\omega t}-R\cdot k\cdot e^{i\omega t}-\dfrac{k}{i\omega C}e^{i\omega t}=0$$
$$\rightarrow k=\dfrac{V_t}{R+\frac{1}{i\omega C}}$$
A carga será:
$$\overline{Q}=\dfrac{\frac{1}{i\omega}}{R+\frac{1}{i\omega C}} V_te^{i\omega t}$$
A voltagem complexa será portanto:
$$\rightarrow \overline {V}=\dfrac{\overline{Q}}{C}=-\dfrac{\frac{i}{\omega C}}{R-\frac{i}{\omega C}} V_te^{i\omega t}$$
Podemos escrever o número complexo $$z=a+bi$$ como $$z=\sqrt{a^2+b^2}\cdot e^{i\alpha}$$, onde $$\alpha=\tan^{-1}{\frac{b}{a}}$$. Portanto:
$$\overline {V}=\dfrac{1}{\omega C} e^{-i\frac{\pi}{2}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{R^2+\frac{1}{\omega^2 C^2}}e^{i\theta}}V_t\cdot e^{i\omega t}$$
$$\rightarrow \overline{V}=\dfrac{V_t}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}\cdot e^{i(\omega t+\theta -\frac{\pi}{2})}$$
Essa é a solução complexa para a voltagem no capacitor, porém, desejamos a solução real pro circuito:
$$V=Re(\overline {V})$$
$$V=\dfrac{V_t}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}\cos{(\omega t+\theta -\frac{\pi}{2})}$$
Chegamos assim a amplitude $$V_0$$ de oscilação:
$$\rightarrow V_0=\dfrac{V_t}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}$$
(b) inicialmente precisamos ver as “condições de contorno” da função.
$$(I)$$ Para $$\omega=0$$, $$V_0=V_t$$.
$$(II)$$ Para $$\omega$$ muito grande ($$\omega \rightarrow \infty $$), $$V_t \rightarrow 0$$.
$$(III)$$ $$\dfrac{dV_0}{d\omega}=-\dfrac{\omega R^2C^2 V_t}{(1+\omega^2R^2C^2)^{\frac{3}{2}}}\leq 0 $$, $$\forall \omega \geq 0$$.
Para os valores positivos de $$\omega$$ a função é decrescente, e para $$\omega=0$$ a derivada é zero.
$$(IV)$$ $$\dfrac{d^2V_0}{d\omega^2}=\dfrac{R^2C^2(2\omega^2R^2C^2-1)V_t}{(1+\omega^2R^2C^2)^{\frac{3}{2}}}$$
Se $$0\leq \omega <\dfrac{1}{\sqrt{2}RC}$$, $$\dfrac{d^2V_0}{d\omega^2}<0$$. Se $$\omega >\dfrac{1}{\sqrt{2}RC}$$ , $$\dfrac{d^2V_0}{d\omega^2}>0$$. Portanto, a concavidade do gráfico inicialmente está virada para baixo e depois ficará virada pra cima.
Juntando essas informações chegamos ao seguinte esboço:
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) $$V_0=\dfrac{V_t}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}$$
(b)
[/spoiler]