Soluções Física - Semana 122

Análise dimensional e Mecânica

a) Primeiramente, vamos utilizar o fato de que o comprimento da perna é proporcional ao comprimento total do animal. Sendo $C$ o comprimento do dinossauro e $c$ o da galinha, vale

$\dfrac{L}{l}=\dfrac{C}{c}$.

A segunda informação é que a resistência (força por área) sobre os ossos de ambos os animais é igual; isto é, o peso sobre a secção reta do osso da perna é o mesmo. Logo, seja $m$ a massa da galinha e $M$ a massa do dinossauro, e $s$ e $S$ as respectivas secções do osso:

$\dfrac{Mg}{S}=\dfrac{mg}{s}$,

$\dfrac{M}{m}=\dfrac{S}{s}$.

Mas, por análise dimensional, a massa dos animais é proporcional à terceira potência de seu comprimento, com a constante de proporcionalidade estando relacionada à densidade média. Podemos considerar que esta é igual para ambos, o que nos permite escrever

$\dfrac{M}{m}=\dfrac{C^3}{c^3}$.

Combinando-se as três relações, chegamos em

$L=l\left(\dfrac{S}{s}\right)^{1/3}=lN^{1/3}$.

Substituindo:

$L=15*(10^4)^{1/3}$ $cm$ $\approx 3.2$ $m$.

É de se esperar que o comprimento da perna seja próximo de $A$, o que está de acordo com o resultado obtido.

b) Devemos perceber que cada perna demora $1$ período para varrer a distância $A$, pois, periodicamente, ela para durante meio período para que a outra perna ande também. Então, a velocidade média vale:

$v=\dfrac{A}{\tau}=\dfrac{A}{2 \pi} \sqrt{\dfrac{g}{L}}$.

Substituindo os valores:

$v \approx 1.1$ $m/s$,

que é próxima à velocidade de caminhada de um ser humano, o que é razoável. Poderíamos aprimorar a estimativa considerando que o movimento da perna é correspondente à oscilação de um pêndulo físico em vez de um pêndulo simples, o que leva em conta o formato da perna, que pode ser considerada uma barra homogênea. Com esse modelo, obtemos uma resposta de $1.4$ $m/s$.

a) $L = lN^{1/3} \approx 3.2$ $m$.

b) $v=\dfrac{A}{2 \pi} \sqrt{\dfrac{g}{L}} \approx 1.1$ $m/s$.

Ondulatória: Efeito Doppler

a) A resolução desse item (em geral, de situações de efeito doppler nos quais a fonte e/ou o observador estão acelerados) deve ser feita com muita cautela, e peço que o leitor preste muita atenção aos detalhes. Há DOIS efeitos a serem considerados: a aceleração da fonte e o tempo que o som emitido leva para chegar ao observador. É evidente que ocorrerá efeito doppler devido à velocidade relativa entre a fonte e o observador. Lembre-se que a equação do efeito doppler unidimensional é:

$f=f_0\left(\dfrac{v_{som} \pm v_o}{v_{som} \pm v_f}\right)$,

Sendo $f$ → frequência observada; $f_0$ → frequência emitida pela fonte; $v_{som}$ → velocidade do som; $v_f$ → velocidade da fonte; $v_o$ → velocidade do observador. Todas as velocidades são medidas em relação à terra e convencionamos o sentido positivo do observador para a fonte. É imprescindível ressaltar que, na equação acima, $v_f$ é a velocidade instantânea da fonte, no momento em que ela emitiu uma certa onda sonora. Desta forma, a situação física é a seguinte:

A fonte, inicialmente a uma distância $h$ da cabeça do observador, começa a se mover aceleradamente, e emite uma onda de frequência própria $f_0$ num instante $t_1$, instante no qual sua velocidade é $gt_1$. Essa onda sonora demora $\Delta t$ para chegar ao observador, percorrendo uma distância $v_s \Delta t = h - \dfrac{1}{2}gt_1^2$ (o último termo é a distância percorrida pela fonte até o tempo $t_1$). Sendo assim, a onda sonora emitida pela fonte em $t_1$ será percebida pelo observador apenas em $t_1 + \Delta t = t$, com frequência aparente $f$. Agora, nos resta equacionar esta situação. Haja vista que $t_1=t-\Delta t$:

$v_s \Delta t = h- \dfrac{1}{2} g (t-\Delta t)^2$.

Desenvolvendo, chegamos em uma equação quadrática para $\Delta t$:

$\dfrac{1}{2}g \Delta t^2 + (v_s -gt) \Delta t + \left(\dfrac{1}{2}gt^2 - h\right)=0$.

Cuja solução é

$\Delta t = \dfrac{-(v_s-gt) \pm \sqrt{v_s^2 - 2v_sgt +2gh}}{g}$,

de onde escolhemos a raiz com o sinal positivo, pois, caso contrário, $\Delta t$ seria negativo, o que é absurdo (lembre-se que $v_s > gt$).

Agora, vamos utilizar a fórmula do efeito doppler. Como já fora comentado, devemos usar a velocidade da fonte no instante em que o som foi emitido. No nosso caso, $v_f = gt_1=g(t-\Delta t)$. Substituindo o resultado anterior:

$v_f = v_s - \sqrt{v_s^2 - 2v_sgt +2gh}$.

Usamos, agora, a fórmula do efeito doppler para encontrarmos a frequência:

$f=f_0\left(\dfrac{v_s \pm v_o}{v_s \pm v_f}\right)$.

No nosso caso, $v_o=0$ e escolhemos o sinal negativo para $v_f$, pois a fonte vai de encontro ao observador. Por fim, substituindo $v_f$:

$f=f_0\dfrac{v_s}{\sqrt{v_s^2-2v_sgt+2gh}}$.

b) Para analisar o comportamento dos dados, é interessante que obtenhamos uma relação linear (indireta) entre $f$ e $t$: essa técnica se chama linearização de equações, e é extremamente útil, por exemplo, em física experimental. Veja que, invertendo a equação obtida em a) e elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos a relação a seguir:

$\dfrac{1}{f^2}=\dfrac{1}{f_0^2}\left(1+\dfrac{2gh}{v_s^2}\right)-\dfrac{1}{f_0^2}\dfrac{2g}{v_s}t$.

Ou seja, nossa teoria prevê que a relação entre $\dfrac{1}{f^2}$ e $t$ produz um gráfico linear decrescente. Para verificarmos se o experimento está consistente com nossa hipótese, plotemos o gráfico $\dfrac{1}{f^2}$ versus $t$ utilizando os dados da tabela:

Produzindo uma reta conforme esperávamos. Sendo essa relação do tipo $y=ax+b$, podemos descobrir os coeficientes $a$ e $b$ colocando os dados numa calculadora, por meio do modo de regressão linear:

$a =1.75*10^{-7}$ $s$

$b = -3.31*10^{-6}$ $s^2$.

Guardemos esses resultados.

c) Da expressão linearizada, decorre que:

$a=-\dfrac{1}{f_0^2}\dfrac{2g}{v_s}$

Substituindo os valores de $a$, $g$ e $v_s$, encontramos

$f_0 = 574$ $Hz$.

d) Da mesma forma, a expressão linearizada nos diz que:

$b=\dfrac{1}{f_0^2}\left(1+\dfrac{2gh}{v_s^2}\right)=-\dfrac{2g}{av_s}\left(1+\dfrac{2gh}{v_s^2}\right)$

Substituindo os valores numéricos:

$h = 533$ $m$.

a) $f=f_0\dfrac{v_s}{\sqrt{v_s^2-2v_sgt+2gh}}$.

b) Ver solução.

c) $f_0 =574$ $Hz$.

d) $h = 533$ $m$.

Eletrodinâmica e Mecânica

O problema abre margem, basicamente, para duas formas de solução: conservação de energia ou torque. Usaremos a segunda, mas encorajo fortemente o leitor que tente também a primeira.

O primeiro passo é encontrar o campo magnético no interior do cilindro. Como o cilindro é muito longo, podemos considerar que o campo em seu interior é aquele gerado por um solenoide infinito:

$B=\mu_0 n I$,

sendo $n$ o número de voltas (espiras) por comprimento. No presente caso, há apenas $1$ grande espira de comprimento $L$, logo:

$B=\dfrac{\mu_0 I}{L}$.

À medida que o peso cai, o cilindro passa a girar mais rápido, e, portanto, a corrente $I$ sofre uma variação, o que, por sua vez, ocasiona uma variação do campo magnético $B$ e no fluxo magnético, gerando uma força eletromotriz induzida. Antes de tudo, calculemos a taxa de variação da corrente; quando o cilindro gira de $\Delta \theta$, a carga que passa é $\Delta q = \sigma \Delta A = \sigma R L \Delta \theta$ (área de um pequeno retângulo). Então, pela definição de corrente:

$I=I(t)=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}=\sigma R L \omega (t)$ $\therefore$

$\dfrac{dI}{dt}=\sigma R L \alpha$.

Sendo $\alpha$ a aceleração angular do cilindro. Como a corrente está no sentido horário (ver figura), o campo magnético aponta para dentro da página. Então, pela Lei de Faraday-Lenz, haverá um campo elétrico induzido circunferencial ao cilindro, no sentido anti-horário. Devemos encontrar esse campo elétrico utilizando:

$|\epsilon_{ind}|=\dfrac{d \phi}{dt}$.

Ao longo de uma volta, a tensão induzida será:

$E*2\pi R=\pi R^2 \dfrac{dB}{dt}$,

$2 \pi R E=\dfrac{\mu_0*\pi R^2}{L} \dfrac{dI}{dt}={\mu_0 \pi R^3 \sigma \alpha}$,

$E=\dfrac{\mu_0 \sigma R^2 \alpha}{2}$.

Sendo assim, podemos agora relacionar as duas forças que provocam torque no cilindro (a tração do fio e a força elétrica) com a aceleração linear $a$ do cilindro (que há de ser a mesma do peso, para que não haja deslizamento). Utilizando a segunda lei de Newton para rotações:

$\tau_{CM}=I_{CM} \alpha$

Onde o subscrito $CM$ denota que tanto os torques quanto os momentos de inércia são calculados em relação ao centro de massa. Sendo $T$ a tração e $Q=\sigma 2\pi R L$ a carga total no cilindro, temos que

$\left(T-QE\right)R={MR^2} \alpha$,

onde usamos o momento de inércia para um cilindro delgado (o enunciado diz que o cilindro possui paredes finas). Inserindo a condição de não deslizamento $a=\alpha R$ e isolando $T$:

$T=Ma+\mu_0 \pi \sigma^2 R^2 L a$.

Por fim, através da segunda lei de Newton para o peso, determinamos sua aceleração:

$mg-T=ma$,

$mg=ma+Ma+\mu_0 \pi \sigma^2 R^2 L a$,

$a=\dfrac{mg}{m+M+\mu_0 \pi \sigma^2 R^2 L}$.

$a=\dfrac{mg}{m+M+\mu_0 \pi \sigma^2 R^2 L}$.