Soluções Física - Semana 130

Análise dimensional

Sabemos que no estudo da física não trabalhamos somente com números. Nossas variáveis possuem dimensões, e são calculadas com unidades. Por exemplo, a gravidade não é apenas $g=9,81$, porém, $g=9,81m/s^2$.

Existem 5 dimensões possíveis: distância, tempo, massa, carga e temperatura. Todas as outras coisas podem ser descritas juntando essas outras dimensões. Por exemplo, a velocidade é a divisão do espaço pelo tempo.

Representamos a dimensão de uma variável $f$ como $\left[f\right]$.

As dimensões podem ser representadas em diferentes unidades. Para essa resolução usaremos as unidades no Sistema Internacional de Unidades (SI).

Quando temos uma igualdade na física, temos:

$f=g\rightarrow \left[f\right]=\left[g\right]$

$\left[fg\right]=\left[f\right]\cdot\left[g\right]$

$\left[f^x\right]=\left[f\right]^x$

Os expoentes não podem ter dimensão.

Segundo o nosso enunciado:

$P=kGc^{\beta}Q^{\gamma}\omega^{\delta}$

Onde $k$ é uma constante adimensional, e portanto não será considerada para o cálculo da nossa dimensão.

$\left[P\right]=\dfrac{\left[Energia\right]}{\left[Tempo\right]}$

$\left[P\right]=\dfrac{F\cdot d}{t}$

$\left[P\right]=\dfrac{kg\cdot \dfrac{m}{s^2}\cdot m}{s}$

$\left[P\right]=kg\cdot m^2\cdot s^{-3}$

Para a segunda parte da equação:

$I)$

$\left[G\right]=\dfrac{N\cdot m^2}{kg^2}$

$\left[G\right]=\dfrac{kg\cdot \dfrac{m}{s^2}\cdot m^2}{kg^2}$

$\left[G\right]=kg^{-1}m^3s^{-2}$

$II)$

$\left[c\right]=m\cdot s^{-1}$

$III)$

$\left[\omega\right]=s^{-1}$

Já sabemos que a dimensão de $Q$ é $kg\cdot m^2$.

Juntando essas informações na igualdade original:

$\left[P\right]=\left[Gc^{\beta}Q^{\gamma}\omega^{\delta}\right]$

$\left[P\right]=\left[G\right]\left[c\right]^{\beta}\left[Q\right]^{\gamma}\left[\omega\right]^{\delta}$

$kg\cdot m^2\cdot s^{-3}=(kg^{-1}m^3s^{-2})(m\cdot s^{-1})^{\beta}(kg\cdot m^2)^{\gamma}(s^{-1})^{\delta}$

$\rightarrow kg\cdot m^2\cdot s^{-3}=kg^{-1+\gamma}m^{3+\beta+2\gamma}s^{-2-\beta-\delta}$

Chegamos ao seguinte sistema:

$\begin{cases} -1+\gamma=1\\ 3+\beta+2\gamma=2\\ -2-\beta-\delta=-3 \end{cases}$

Logo:

$\gamma=2$ , $\beta=-5$ e $\delta=6$

Portanto podemos escrever:

$P=k\dfrac{GQ^2\omega^6}{c^5}$

Perceba que se dobrarmos a velocidade angular a potência será 64 vezes maior.

$\gamma=2$ , $\beta=-5$ e $\delta=6$

Eletrodinâmica/Circuitos resistivos

$a)$ Sejam $C$ e $D$ os pontos onde o resistor $R_x$ está conectado. Observando os pontos $A$, $C$ e $D$ vemos uma formação de resistores em Delta. Essa formação é complicada de se analisar porque as correntes não se dividem uniformemente. Para Analisar essa configuração vamos mudar essa configuração para uma configuração em estrela.

Suponha que possamos trocar os resistores $R$, $2R$ e $R_x$ por outros três resistores $r_1$, $r_2$ e $r_3$, segundo a representação a seguir:

Vamos calcular a resistência equivalente entre cada par de pontos. Para isso consideraremos que o outro ponto não está conectado a nada.

$A$ e $C$: $R$ em paralelo com $2R$ mais $R_x$

Em Delta:

$R_{AC}=\dfrac{R(2R+R_x)}{2R+R+R_x}$

Em Estrela:

$R_{AC}=r_1+r_2$

$A$ e $D$: $2R$ em paralelo com $R$ mais $R_x$

Em Delta:

$R_{AD}=\dfrac{2R(R+R_x)}{2R+R+R_x}$

Em Estrela:

$R_{AD}=r_1+r_3$

$D$ e $C$: $R_x$ em paralelo com $2R$ mais $R$

Em Delta:

$R_{DC}=\dfrac{R_x(2R+R)}{2R+R+R_x}$

Em Estrela:

$R_{DC}=r_3+r_2$

Chegamos ao seguinte sistema:

$\begin{cases}r_1+r_2= \dfrac{R(2R+R_x)}{2R+R+R_x} \\ r_1+r_3=\dfrac{2R(R+R_x)}{2R+R+R_x} \\ r_2+r_3=\dfrac{R_x(2R+R)}{2R+R+R_x} \end{cases}$

Resolvendo o sistema chegamos a:

$r_1=\dfrac{2R^2}{3R+R_x}$, $r_2=\dfrac{RR_x}{3R+R_x}$ e $r_3=\dfrac{2RR_x}{3R+R_x}$

Reorganizando o circuito chegamos a:

A resistência equivalente entre $A$ e $B$ será $r_1$ em série com $r_2$ mais $2R$ em paralelo com $r_3$ mais $R$.

$R_{AB}=r_1+\dfrac{(r_2+2R)(r_3+R)}{r_2+r_3+2R+R}$

$R_{AB}=\dfrac{2R^2}{3R+R_x}+\dfrac{(\dfrac{RR_x}{3R+R_x}+2R)(\dfrac{2RR_x}{3R+R_x}+R)}{\dfrac{RR_x}{3R+R_x}+\dfrac{2RR_x}{3R+R_x}+2R+R}$

$R_{AB}=\left(\dfrac{4+3\dfrac{R_x}{R}}{3+2\dfrac{R_x}{R}}\right)R$

$R_{AB}=\left(\dfrac{4+3\dfrac{R_x}{100}}{3+2\dfrac{R_x}{100}}\right)100$

$b)$ Como $R_x$ assume qualquer valor de resistência: $R_x\in[0, \infty)$.

Aplicando esses limites em $R_{AB}$:

$\dfrac{4}{3}R\leq R_{AB}< \dfrac{3}{2}R$

A potência de um circuito resistivo é:

$P=\dfrac{\epsilon^2}{R_{AB}}$

Portanto para a maior potência a resitência equivalente deve ser menor.

$P=\dfrac{\epsilon^2}{\dfrac{4}{3}R}$

$\rightarrow P=108W$

$a)$$R_{AB}=\left(\dfrac{4+3\dfrac{R_x}{100}}{3+2\dfrac{R_x}{100}}\right)100$

$b) P=108W$

Eletrostática/ Dinâmica do corpo rígido

$a)$ Pela lei de Gauss sabemos que: $\displaystyle \oint \vec E\cdot d\vec A=\dfrac{q_{int}}{\epsilon_0}$.

Para o cálculo do fluxo elétrico tomemos uma gaussiana cilíndrica ao redor do fio infinito cuja altura é $h$ e o raio da base é o vetor $\vec d$.

Pela simetria podemos ver que o campo elétrico resultante será na direção radial. Portanto:

$E\cdot 2\pi dh=\dfrac{q_{int}}{\epsilon_0}$

A carga iterna à gaussiana é $q_{int}=\lambda h$. Logo:

$E=\dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 d}$

$\vec E=\dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 d}\hat d$

$\rightarrow \vec E=\dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 d^2}\vec d$

$b)$ Percebemos que as posições em $x$ dos dois sistemas de coordenadas é a mesma.

$x=x_1=a\cos{\theta}$

As posições em $y$ se relacionam por $y=y_1\cos{\alpha}$.

$y=a\sin{\theta}\cos{\alpha}$

Como a distância até o aro cirular é constante e igual a $a$ temos:

$x^2+y^2+z^2=a^2$

$z^2=a^2-a^2\cos^2{\theta}-a^2\sin^2{\theta}\cos^2{\alpha}$

$\rightarrow z=a\sin{\theta}\sin{\alpha}$

$c)$ Utilizando os ângulos apresentados na Questão, temos que:

$\left|d\vec r\right|=ad\theta$

Como a carga é distribuída uniformemente no anel, um diferencial de carga no anel será:

$dQ=\dfrac{Q}{2\pi}d\theta$

$d)$ Como o fio é infinito no eixo $z$ vemos que o vetor $\vec d$ é somente em $x$ e $y$.

$\vec d=x\hat x+y\hat y=a\cos{\theta}\hat x+a\sin{\theta}\cos{\alpha}\hat y$

$\rightarrow d^2=a^2(\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta})$

A força elétrica nesse diferencial de carga será $d\vec F=dQ\cdot \vec E$.

$d\vec F=\dfrac{Q}{2\pi}d\theta\cdot \dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0a^2(\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta})}(a\cos{\theta}\hat x+a\sin{\theta}\cos{\alpha}\hat y)$

$d\vec F=\dfrac{\lambda Q}{4\pi^2\epsilon_0a}\dfrac{\cos{\theta}\hat x+\sin{\theta}\cos{\alpha}\hat y}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}}d\theta$

$e)$

$\vec F=\displaystyle \int_0^{2\pi} d\vec F$

$\vec F=\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\lambda Q}{4\pi^2\epsilon_0a}\dfrac{\cos{\theta}}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}}d\theta \hat x+\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\lambda Q}{4\pi^2\epsilon_0a}\dfrac{\sin{\theta}\cos{\alpha}}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}}d\theta \hat y$

As funções são antissimétricas no intervalo de 0 a $2\pi$, portanto, vemos que a força resultante no anel é zero.

$\vec F=\vec 0$

$f)$

$d\vec{\tau}=\vec r \times d\vec F$

$d\vec{\tau}=(a\cos{\theta}\hat x +a\sin{\theta}\cos{\alpha}\hat y +a\sin{\theta}\sin{\alpha}\hat z) \times \left(\dfrac{\lambda Q}{4\pi^2\epsilon_0a}\dfrac{\cos{\theta}\hat x+\sin{\theta}\cos{\alpha}\hat y}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}}d\theta\right)$

Portanto:

$d\vec{\tau}=\dfrac{\lambda Q \sin{\alpha}}{4\pi^2\epsilon_0}\dfrac{(-\sin^2{\theta}\cos{\alpha}\hat x +\sin{\theta}\cos{\theta}\hat y)}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}} d\theta$

$g)$ Perceba que a integral em $y$ é antissimétrica, portanto, o torque resultante em $y$ é zero.

$\vec {\tau}=-\dfrac{\lambda Q \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{4\pi^2\epsilon_0}\displaystyle \int_0^{2\pi} \dfrac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}} d\theta \hat x$

$\rightarrow \vec{\tau}=-\dfrac{\lambda Q \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{4\pi^2\epsilon_0}\left(\dfrac{2\pi}{\left|\cos{\alpha}\right|+\cos^2{\alpha}}\right)\hat x$

$h)$

Se $-\pi\leq \alpha <-\dfrac{\pi}{2}$, $\cos{\alpha}<0$

Se $-\dfrac{\pi}{2}\leq \alpha \leq\dfrac{\pi}{2}$, $\cos{\alpha}\geq 0$

Se $\dfrac{\pi}{2}<\alpha \leq \pi$, $\cos{\alpha}<0$

Para $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ ou $\alpha=-\dfrac{\pi}{2}$, a função é indeterminada, mas tende aos valores máximos e mínimos da função $\left(\pm \dfrac{\lambda Q}{2\pi \epsilon_0}\right)$ nas proximidades desses valores.

Utilizando essas informações na equação do torque temos:

$i)$ O momento de inércia do anel em relação ao eixo $z$ é $I_z=ma^2$.

Pela simetria do sistema sabemos que $I_x=I_y$.

Pelo teorema dos eixos perpendiculares:

$I_z=I_x+I_y=2I_x$

$I_x=\dfrac{ma^2}{2}$

$j)$

$\vec{\tau}=I\dfrac{d^2\vec{\alpha}}{dt^2}$

$-\dfrac{\lambda Q \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{4\pi^2\epsilon_0}\left(\dfrac{2\pi}{\left|\cos{\alpha}\right|+\cos^2{\alpha}}\right)\hat x=\dfrac{ma^2}{2}\dfrac{d^2\alpha}{dt^2}\hat x$

$\rightarrow \ddot{\alpha}=-\dfrac{\lambda Q\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\pi \epsilon_0ma^2(\left|\cos{\alpha}\right|+cos^2{\alpha})}$

$k)$ Para ângulos muito pequenos ($\alpha<<1$): $sin{\alpha}\approx \alpha$, $\left|\cos{\alpha}\right|\approx 1$ e $cos^2{\alpha}\approx 1$.

Portanto:

$\ddot{\alpha}=-\left(\dfrac{\lambda Q}{2\pi \epsilon_0ma^2}\right)\alpha$

Essa é a equação de um M.H.S. , cuja frequência angular é:

$\omega=\sqrt{\dfrac{\lambda Q}{2\pi \epsilon_0ma^2}}$

O período do movimento é:

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}$

$\rightarrow T=2\pi\sqrt{\dfrac{2\pi\epsilon_0ma^2}{\lambda Q}}$

$a)$

$\vec E=\dfrac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 d^2}\vec d$

$b)$

$(x, y, z)=(a\cos{\theta}, a\sin{\theta}\cos{\alpha}, a\sin{\theta}\sin{\alpha})$

$c)$

$dQ=\dfrac{Q}{2\pi}d\theta$

$d)$

$d\vec F=\dfrac{\lambda Q}{4\pi^2\epsilon_0a}\dfrac{\cos{\theta}\hat x+\sin{\theta}\cos{\alpha}\hat y}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}}d\theta$

$e))$

$\vec F=\vec 0$

$f)$

$d\vec{\tau}=\dfrac{\lambda Q \sin{\alpha}}{4\pi^2\epsilon_0}\dfrac{(-\sin^2{\theta}\cos{\alpha}\hat x +\sin{\theta}\cos{\theta}\hat y)}{\cos^2{\theta}+\cos^2{\alpha}\sin^2{\theta}} d\theta$

$g)$

$\rightarrow \vec{\tau}=-\dfrac{\lambda Q \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{4\pi^2\epsilon_0}\left(\dfrac{2\pi}{\left|\cos{\alpha}\right|+\cos^2{\alpha}}\right)\hat x$

$h)$

$i)$

$I_x=\dfrac{ma^2}{2}$

$j)$

$\ddot{\alpha}=-\dfrac{\lambda Q\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\pi \epsilon_0ma^2(\left|\cos{\alpha}\right|+cos^2{\alpha})}$

$k)$

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{2\pi\epsilon_0ma^2}{\lambda Q}}$