Soluções Física - Semana 133

Ondulatória/ Efeito Doppler

Sabemos que como o emissor de som está em queda livre, ele começará a ganhar velocidade. Como a gravidade é constante, temos que:

$v_E=v_0+gt$

Como no início o emissor estava parado:

$v_0=0$

$\rightarrow v_E=gt$

Da equação do efeito Doppler sabemos que a frequência percebida pelo observador (o qual se move com velocidade $v_o$) será:

$f=f_0\dfrac{V_s-v_o}{V_s-v_E}$

Como o observador está parado ($v_o=0$):

$f=f_0\dfrac{V_s}{V_s-v_E}=f_0\dfrac{V_s}{V_s-gt}$

$\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{f_0}\cdot \dfrac{V_s-gt}{V_s}$

$\rightarrow \dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{f_0}-\dfrac{g}{f_0\cdot V_s}t$

Se plotarmos o gráfico $\dfrac{1}{f}$x$t$ o coeficiente angular será $-\dfrac{g}{f_0\cdot V_s}$. Portanto:

$-\dfrac{g}{f_0\cdot V_s}=-3,00\cdot 10^{-5}$

$\dfrac{10}{f_0\cdot 340}=3,00\cdot 10^{-5}$

$\rightarrow f_0=980,39Hz$

$f_0=980,39Hz$

Empuxo hidrostático/ Oscilações mecânicas

Analisemos a posição de equilíbrio desse sistema. Suponha que na posição de equilíbrio a parte do cilindro no líquido de cima tenha altura $h$.

A força resultante no cilindro é zero:

$\rho_BShg+\rho_AS(H-h)g-mg=0$

$\rho_Bh+\rho_AH-\rho_Ah=\dfrac{m}{S}$

$h=\dfrac{\dfrac{m}{S}-\rho_AH}{\rho_B-\rho_A}=0,05m=5cm$

Tiremos o cilindro de sua  posição de equilíbrio, impulsionando uma distância $x$ para cima.

$F_r=\rho_BS(h+x)g+\rho_AS(H-h-x)-mg=m\ddot x$

$m\ddot x=-(\rho_A-\rho_B)Sgx+(\rho_BShg+\rho_AS(H-h)g-mg)$

Como visto anteriormente a segunda parcela se anula. Portanto:

$m\ddot x=-(\rho_A-\rho_B)Sgx$

$\ddot x=-\left[\dfrac{(\rho_A-\rho_B)Sg}{m}\right]x$

Essa é a equação de um M.H.S. Portanto, o período do movimento é:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{(\rho_A-\rho_B)Sg}}$

$T\approx 0,99s$

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{(\rho_A-\rho_B)Sg}}$

Átomo de Bohr/ Radiação de Larmor

a) Como a única força atuando no elétron é a força elétrica, basta aplicarmos a lei de Coulomb:

$\vec F=\dfrac{e(-e)}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat r$

$\vec F=-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat r$

b) Como a força está na direção radial, ela deve ser igual a resultante centrípeta.

$\vec F=\vec F_{cp}$

$-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat r=-\dfrac{m_ev^2}{r}\hat r$

$v=\sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}}$

c) A energia resultante será a soma da energia cinética com a energia potencial eletrostática:

$E=-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}+\dfrac{m_ev^2}{2}$

$E=-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}+\dfrac{m_e}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}$

$E=-\dfrac{1}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}$

d) Pela regra da cadeia temos que:

$\dfrac{dE}{dt}=\dfrac{dE}{dr}\dfrac{dr}{dt}$

Olhando para a equação do item c):

$\dfrac{dE}{dr}=\dfrac{1}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}$

Pela $2^a$ lei de Newton:

$F=m_ea \rightarrow -\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}=m_ea$

$a=-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0m_er^2}$

Aplicando a equação de Larmor:

$\dfrac{dE}{dr}\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{e^2a^2}{6\pi \epsilon_0c^3}$

$\dfrac{1}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{e^2}{6\pi \epsilon_0c^3}\left(-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0m_er^2}\right)^2$

$r^2dr=-\dfrac{e^4}{12\pi^2\epsilon_0^2m_e^2c^3}dt$

Seja $\tau=\dfrac{12\pi^2\epsilon_0^2m_e^2c^3}{e^4}$:

$\displaystyle \int_{r_0}^r r^2dr=-\dfrac{1}{\tau} \displaystyle \int_0^t dt$

Logo:

$r^3=r_0^3-\dfrac{3}{\tau}t$

Para $r=0$:

$t=\dfrac{\tau r_0^3}{3}$

$t=\dfrac{36\pi^2\epsilon_0^2m_e^2c^3r_0^3}{e^4}$

A distância média para o primeiro estado do átomo de hidrogênio é da ordem de $1$ ângstron ($10^{-10}m$).

Aplicando esse valor na equação anterior chegamos a uma aproximação de:

$t\approx 9,5\cdot 10^{-10}s$

Com esse resultado, podemos perceber que pela análise clássica, a existência do átomo é impossível.

e) Utilizaremos o momento angular para calcular as velocidades.

Como não há forças tengenciais, o momento angular é constante.

$L=mvr=cte$

Portanto:

$\displaystyle \oint Ld\theta=nh$

$m_evr\cdot 2\pi=nh$

$\rightarrow v=\dfrac{nh}{2\pi m_e r}$

f) Utilizando o resultado do item b):

$v=\sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}}$

Logo:

$\sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}}=\dfrac{nh}{2\pi m_e r}$

Portanto:

$r_n=\dfrac{\epsilon_0h^2}{\pi m_ee^2}n^2$

Utilizando o resultado do item c):

$E_n=-\dfrac{1}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r_n}$

$E_n=-\dfrac{1}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0}\cdot \dfrac{\pi m_e e^2}{\epsilon_0 h^2 n^2}$

$\rightarrow E_n=-\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^2}\dfrac{1}{n^2}$

Calculando os valores temos que:

$E_n=-\dfrac{13,6eV}{n^2}$

g) A diferença entre as energias dos dois estados é:

$\Delta E=E_{n_2}-E_{n_1}=-\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^2}\dfrac{1}{n_2^2}-\left(-\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^2}\dfrac{1}{n_1^2}\right)$

$\Delta E=\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^2}\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)$

Essa diferença de energia é liberada na forma de luz. A energia do fóton é:

$E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}$

Portanto:

$\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^2}\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)$

$\rightarrow \dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^3c}\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)$

Colocando os valores:

$\dfrac{1}{\lambda}=1,097\cdot 10^7\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)m^{-1}$

a) $\vec F=-\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}\hat r$

b) $v=\sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 m_e r}}$

c) $E=-\dfrac{1}{2}\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}$

d) $t=\dfrac{36\pi^2\epsilon_0^2m_e^2c^3r_0^3}{e^4}$

e) $v=\dfrac{nh}{2\pi m_e r}$

f) $E_n=-\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^2}\dfrac{1}{n^2}$

g) $\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{m_ee^2}{8\epsilon_0^2h^3c}\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)$