Escrito por Ualype Uchôa
Iniciante:
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Calorimetria
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Logo de cara, é importante perceber que o calorímetro não é ideal; ou seja, ele troca calor com os componentes que estão dentro dele; para colocá-lo nas contas, basta tratá-lo como sendo um corpo adicional no nosso sistema térmico, com massa e calor específico conhecidos. Feito esse adendo, prosseguimos com a resolução.
Primeiramente, devemos analisar se todo o gelo chega a derreter (lembre-se que a mudança de estado ocorre à temperatura constante), pois, caso a resposta seja sim, a temperatura de equilíbrio está acima de $$0^{\circ} C$$. Caso não, a temperatura de equilíbrio é $$0^{\circ}C$$. Lembre-se que a mudança de estado ocorre à temperatura constante. Para fazermos isso, imagine “trazer” tanto o alumínio quanto a água até $$0^{\circ}C$$ para entrarem em equilíbrio com o gelo – que mantemos a $$0^{\circ}C$$ -, e assim analisemos o calor total que eles podem fornecê-lo. Esse calor total (que é sensível) é dado, em, módulo, por
$$Q_{fornc.}=250*0,21*20+500*1,00*20=11050$$ $$cal$$.
Mas o gelo, para derreter por completo, precisa de um calor latente de
$$Q_{derr.}=100*80=8000$$ $$cal$$.
Ora, como $$Q_{fornc.} > Q_{derr.}$$, todo o gelo vira água e o sistema alcança uma temperatura final maior que $$0^{\circ}C$$, pois o calor que pode ser fornecido é mais que suficiente. Após tal análise, podemos finalmente calcular de fato a temperatura de equilíbrio $$T_f$$. Utilizemos a equação fundamental da calorimetria, a qual estabelece que a soma dos calores trocados é nula, pois os componentes estão isolados:
$$\displaystyle \sum Q=0$$.
Devemos levar em conta: calor sensível do calorímetro de alumínio + calor sensível dos $$500$$ $$g$$ de água + calor latente do gelo ao derreter + calor sensível do gelo que virou água. Portanto:
$$250*0,21*\left(T_f-20\right)+500*1,00*\left(T_f-20\right)+100*80+100*1,00*\left(T_f-0\right)=0$$.
Isolando $$T_f$$ e fazendo as contas, acha-se:
$$\boxed{T_f=4,67^{\circ} C\approx 4,7^{\circ}C}$$.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\boxed{T_f=4,67^{\circ}C \approx 4,7^{\circ}C}$$.
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Intermediário:
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Calorimetria
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para solucionar o problema, bastava usar a equação fundamental da calorimetria, pois os corpos encontram-se isolados:
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{N} Q_i = 0$$.
Chame de $$T$$ a temperatura de equilíbrio. Então, vale que
$$C_1\left(T-T_1\right)+C_2\left(T-T_2\right)+C_3\left(T-T_3\right)+…+C_N\left(T-T_N\right)=0$$.
Isolando $$T$$, o escrevemos compactamente da seguinte forma:
$$\boxed{T=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{N} C_i T_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{N} C_i}}$$.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\boxed{T=\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{N} C_i T_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{N} C_i}}$$.
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Avançado:
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Calorimetria e Termodinâmica (Ciclos termodinâmicos)
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$a)$$ A chave desse problema (e que servirá da mesma forma para o item $$b)$$) é o processo devemos escolher para intermediar essa troca de calor. Para obtermos a máxima quantidade de trabalho possível, é claro que devemos escolher o ciclo que possui a maior eficiência teórica; com isso, concluímos que a máquina deve ser de Carnot. Simbolizando por $$dQ_1$$ e $$dQ_2$$ os infinitésimos de calor dos corpos $$1$$ e $$2$$, respectivamente. Como o processo é reversível, e, portanto, isentrópico, a variação de entropia do sistema é zero. Isto é:
$$dS=\dfrac{dQ_1}{T_1′}+\dfrac{dQ_2}{T_2′}=0$$,
sendo $$T_1’$$ e $$T_2’$$ as temperaturas instantâneas dos corpos. A partir dessa equação, encontramos a temperatura $$T_F$$ de ambos os corpos ao fim do processo, quando a troca de calor cessa. Temos:
$$\dfrac{a dT_1}{T_1′}+\dfrac{a dT_2}{T_2′}=0$$.
Integrando, com os devidos limites:
$$\displaystyle \int_{T_1}^{T_F} \dfrac{ dT_1}{T_1′}+\displaystyle \int_{T_2}^{T_F} \dfrac{ dT_2}{T_2′}=0$$,
$$T_F=\sqrt{T_1 T_2}$$,
positivo, pois a outra solução (temperatura negativa) não faz sentido. Agora, executamos o balanço de energia para a máquina térmica: tudo que entra, sai. Vamos supôr $$T_1 > T_2$$, sem perda de generalidade, apenas para definir quem é nossa fonte quente – nesse caso, o corpo $$1$$. Sendo $$W$$ o trabalho total extraído, vale escrever que:
$$-dQ_1=dW+dQ_2$$.
Preste atenção na convenção de sinais: usamos $$-dQ_1$$ pois $$dQ_1$$ é o calor sensível do corpo $$1$$, que perde energia, o que faz o corpo $$2$$ esquentar; portanto $$-dQ_1$$ é positivo e refere-se à energia que adentra a máquina. A energia que flui para fora é a soma de $$dW$$ e $$dQ_2$$ (como o corpo $$2$$ ganha energia, $$dQ_2$$ já é positivo). Sendo assim:
$$dW=-dQ_1-dQ_2=-a\left(dT_1+dT_2\right)$$.
Integrando:
$$W=-a\left(\displaystyle \int_{T_1}^{T_F}dT_1+\displaystyle \int_{T_2}^{T_F}dT_2\right)$$,
$$W=a\left(T_1-2\sqrt{T_1T_2}+T_2\right)$$,
ou, de forma mais “limpa”:
$$\boxed{W=a\left(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2}\right)^2}$$.
$$b)$$ O raciocínio é totalmente análogo. As contas mudam levemente ao efetuar as integrais devido à dependência da capacidade térmica com a temperatura. Você pode mostrar (precisará resolver integrais de potências simples) – com base em tudo que fora feito até agora – que a nova temperatura final é
$$T_F=\left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)^{\frac{1}{n}}$$.
E, com isso, chegar na seguinte expressão para o trabalho:
$$\boxed{W=\dfrac{a}{n+1}\left[T_1^{n+1}+T_2^{n+1}-2\left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)^{1+\frac{1}{n}}\right]}$$.
Para reproduzir o resultado do último item, não basta tomar $$n=0$$, pois acabamos com algumas indeterminações no último termo. Tomando o limite de $$n \rightarrow 0$$, fica claro que os dois primeiros termos viram apenas $$T_1$$ e $$T_2$$, e $$n+1 \rightarrow 1$$. O desafio está na seguinte operação:
$$\displaystyle \lim_{n\to 0} \left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)^{1+\frac{1}{n}}$$.
Necessitaremos de um considerável manejo matemático. Esta parte está além do que em geral é cobrado em olimpíadas de física; caso queira, pode pular sem preocupações. Para os curiosos e sedentos por conhecimento, tratem como um adicional. Começaremos separando o termo maior em dois, e então invocamos a propriedade de que o limite do produto de duas funções é o produto dos limites de cada função entre si:
$$\displaystyle \lim_{n\to 0} \left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)^{1+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to 0} \left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right) \lim_{n\to 0} \left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)^{\frac{1}{n}} $$,
$$\displaystyle \lim_{n\to0} \left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)^{1+\frac{1}{n}}=\lim_{n\to 0} \left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)^{\frac{1}{n}}$$.
Foi utilizado, na última linha, que o resultado do limite à esquerda é $$1$$. Agora, lembrando que $$u=e^{ln(u)}$$, façamos a seguinte transformação:
$$\displaystyle \lim_{n\to 0} \left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)^{\frac{1}{n}} \rightarrow \lim_{n\to 0} e^{ln\left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)^{\frac{1}{n}}}= \lim_{n\to 0} e^\dfrac{ln\left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)}{n}$$.
Haja vista que a função exponencial é contínua, podemos executar a seguinte operação, utilizando o fato de que $$\lim f(g(x))= f (\lim g(x))$$ para uma função $$f$$ contínua:
$$\displaystyle \lim_{n\to 0} e^\dfrac{ln\left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)}{n} \rightarrow e^{\displaystyle \lim_{n\to 0} \dfrac{ln\left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)}{n}}$$.
E, por fim, utilizando a regra de L’Hospital (é útil lembrar que $$d(c^x)/dx=c^xln(c)$$, sendo $$c$$ uma constante e $$d(lnx)/dx=1/x$$):
$$e^{\displaystyle \lim_{n\to 0} \dfrac{ln\left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)}{n}}=e^{\displaystyle \lim_{n \to 0} \dfrac{T_1^n ln T_1 + T_2^n lnT_2}{T_1^n+T_2^n}}$$.
O limite no expoente é trivial, e pode ser encontrado fazendo $$n=0$$ diretamente. Desta forma, podemos, por fim, escrever que
$$\displaystyle \lim_{n\to 0} \left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)^{1+\frac{1}{n}}=e^{\displaystyle \dfrac{1}{2}ln(T_1T_2)}=\sqrt{T_1 T_2}$$.
Portanto, conseguimos resgatar a expressão em $$a)$$ forçando um caso particular de $$b)$$:
$$W=a\left(T_1-2\sqrt{T_1T_2}+T_2\right)$$ $$c.q.d.$$,
como queríamos demonstrar.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$a)$$ $$\boxed{W=a\left(\sqrt{T_1}-\sqrt{T_2}\right)^2}$$.
$$b)$$ $$\boxed{W=\dfrac{a}{n+1}\left[T_1^{n+1}+T_2^{n+1}-2\left(\dfrac{T_1^n+T_2^n}{2}\right)^{1+\frac{1}{n}}\right]}$$.
Demonstração.
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