Soluções Física - Semana 144

Análise de dados, calculo de incerteza, montagem de gráficos e tabelas

a) Para instrumentos de medição, sabemos que existem duas maneiras de analisar a incerteza: a primeira é se o instrumento for digital, nesse caso a incerteza associada a esse instrumento é a menor medida apresentada (por exemplo um cronômetro, ou um termômetro digital), ou alguma relação entre as medições, e nesse caso o manual de instruções do aparelho deve trazer a maneira como a incerteza deve ser calculada (por exemplo um multímetro digital), o segundo é o caso para um aparelho analógico, neste caso a incerteza do aparelho é a menor medida possível a ser feita dividida por dois (por exemplo uma régua escolar).

Como o transferidor é um instrumento analógico, e sua incerteza é $0,5^{\circ}$ a sua menor medida é $1,0^{\circ}$.

b) Plotando os pontos em um gráfico temos:

Figura 01: Gráfico $\alpha$ x $\theta$

c) Para a construção dessa tabela teremos que calcular a incerteza da função seno. Utilizando a tabela de incertezas apresentada pela OBF, temos que:

$\sigma_{\sin{x}}=\left|\cos{x}\right|\sigma_x$

Com o ângulo $x$ medido em radianos.

Como o nosso ângulo foi dado foi dado em graus devemos convertê-lo para radianos multiplicando por $\dfrac{\pi}{180}$.

$\sigma_{\sin{x}}=\left|\cos{x}\right|\cdot 0,5\cdot \dfrac{\pi}{180}$

$\rightarrow \sigma_{\sin{x}}= \dfrac{\pi}{360}\left|\cos{x}\right|$

Aplicando os valores, montamos a seguinte tabela:

Figura 02: Tabela $\sin{\alpha}$ x $\sin{\theta}$

d) Plotando o gráfico de $\sin{\alpha}$ x $\sin{\theta}$:

Figura 03: Gráfico $\sin{\alpha}$ x $\sin{\theta}$

e) Organizando a lei de Snell, chegamos a:

$\sin{\alpha}=\dfrac{1}{n}\sin{\theta}$

Essa é uma equação do tipo $Y=A+BX$ com:

$Y=\sin{\alpha}$ , $A=0$ , $B=\dfrac{1}{n}$ e $X=\sin{\theta}$

Fazendo uma regressão linear com os pontos, e utilizando o método dos mínimos quadrados para calcular a incerteza dos coeficientes encontramos:

$A=(-0,0002\pm 0,0003)$ e $B=(0,67337\pm 0,0005)$

Como $B=\dfrac{1}{n}$:

$n=B^{-1}$

Utilizando a tabela de incertezas da OBF:

$\sigma_n=\dfrac{\sigma_B}{B^2}$

Aplicando valores, chegamos a:

$\boxed{n=(1,485\pm 0,001)}$

a)

$1,0^{\circ}$

b)

c)

d)

e)

$\boxed{n=(1,485\pm 0,001)}$

Montagem de graficos e tabelas, cálculo de incertezas e calculo de valores.

a) Plotando o gráfico, temos:

Figura 04: Gráfico $h$ x $t$

b) Pela lei da condução térmica de Fourier, temos:

$\dfrac{dq}{dt}=\dfrac{kA\Delta \theta}{x}$

Onde $x$ é o tamanho da camada de gelo, e $A$ é a área da camada de gelo.

A quantidade de calor para congelar uma massa $dm$ de água é:

$dq=dm\cdot L$

$dq=\rho A dx\cdot L$

Logo:

$\dfrac{\rho L A dx}{dt}=\dfrac{KA\Delta \theta}{x}$

$xdx=\dfrac{K\Delta \theta}{\rho L}dt$

$\displaystyle \int_{h_0}^{h} xdx=\dfrac{k\Delta \theta}{\rho L}\displaystyle \int_{0}^{t} dt$

$\rightarrow h^2=h_0^2+\dfrac{2K\Delta \theta}{\rho L}\cdot t$

Essa equação já é uma equação linearizada, da tipo $Y=A+BX$, com:

$Y=h^2$ , $A=h_0^2$ , $B=\dfrac{2K\Delta \theta}{\rho L}$ e $X=t$

c) Como a função que estamos trabalhando é um polinômio, a incerteza de cada medida varia de acordo com a medida:

$\sigma_{h^2}=2h\sigma_{h}$

Organizando a tabela:

Figura 05: Tabela $h^2$ x $t$

Plotando o gráfio obtemos:

Figura 06: Gráfico $h^2$ x $t$

d) Fazendo uma regressão linear com os dados da Figura 05 obtemos:

$A=(0,00251\pm 0,00001)m^2$ e $B=(1947\pm 3)\cdot 10^{-10} m^2s^{-1}$

Como $A=h_0^2$:

$h_0=\sqrt{A}$   e   $\sigma_{h_0}=\dfrac{\sigma_A}{2\sqrt{A}}$

Aplicando valores chegamos a:

$\boxed{h_0=(0,0500\pm 0,0001)m}$

Como $B=\dfrac{2K\Delta \theta}{\rho L}$:

$K=\dfrac{\rho L B}{2\Delta \theta}$

Utilizando a tabela de incertezas da OBF para as incerteza do produto e da divisão temos:

$\sigma_K^2=\left( \dfrac{BL\sigma_{\rho}}{2\Delta \theta}\right)^2+\left( \dfrac{B\rho\sigma_{L}}{2\Delta \theta}\right)^2+\left( \dfrac{\rho L\sigma_{B}}{2\Delta \theta}\right)^2+\left(\dfrac{BL\rho\sigma_{\Delta \theta}}{2(\Delta \theta)^2}\right)^2$

OBS: Como o $\Delta \theta$ é a diferença entre duas temperaturas, a sua incerteza não será apenas $0,1^{\circ}$, mas será necessário utilizar a regra da incerteza para a soma:

$\sigma_{\Delta \theta}^2=0,1^2+0,1^2$

$\sigma_{\Delta \theta}=\sqrt{2}\cdot 0,1^{\circ}$

Aplicando valores encontramos:

$\boxed{K=(2,17\pm 0,02)\, W/(m\cdot K)}$

e) Ajeitando a equação da altura temos:

$h=\left[h_0^2\left(1+\dfrac{2K\Delta \theta t}{\rho Lh_0^2}\right)\right]^{\frac{1}{2}}$

$h=h_0\left(1+\dfrac{2K\Delta \theta t}{\rho Lh_0^2}\right)^{\frac{1}{2}}$

Utilizando a aproximação binomial:

$h=h_0\left(1+\dfrac{1}{2}\dfrac{2K\Delta \theta t}{\rho Lh_0^2}\right)$

$h=h_0+\dfrac{K\Delta \theta}{\rho L h_0}\cdot t$

Perceba que essa é uma função linear entre $h$ e $t$, usando os dois primeiros valores para calcular o coeficiente angular temos:

$m=\dfrac{0,0625-0,0566}{7200-3600}=\dfrac{K\Delta \theta}{\rho L h_0}=\dfrac{K\cdot 15}{1000\cdot 335200 \cdot 0,05}$

$\boxed{K=1,83\,W/(m\cdot K)}$

Perceba que a diferença entre esse resultado e o resultado encontrado antes difere em $15\%$ o que é uma diferença muito grande, e portanto, esse método não é uma boa aproximação para essa faixa de valores.

a)

b)

$\rightarrow h^2=h_0^2+\dfrac{2K\Delta \theta}{\rho L}\cdot t$

 

$Y=h^2$ , $A=h_0^2$ , $B=\dfrac{2K\Delta \theta}{\rho L}$ e $X=t$

c)

d)

$\boxed{h_0=(0,0500\pm 0,0001)m}$

 

$\boxed{K=(2,17\pm 0,02)\, W/(m\cdot K)}$

e)

$\boxed{K=1,83\,W/(m\cdot K)}$

Cálulo de ddp, resolução de EDO, cálculo de erros, montagem de tabelas e gráficos

Parte A

a) Suponhamos que a corrente total que passa no circuito é $I$, e que a corrente que passa no capacitor é $i=\dot Q$, dessa maneira a corrente que passa no resistor paralelo ao capacitor é $I-i$. Como a ddp no capacitor é igual a ddp nesse resistor temos:

$\dfrac{Q}{C}=R(I-i)$

$RI=\dfrac{Q}{C}+R\dot Q$

A ddp do circuito é a soma da ddp do capacitor e do resistor em série com este, logo:

$\varepsilon=\dfrac{Q}{C}+RI=\dfrac{Q}{C}+\dfrac{Q}{C}+R\dot Q$

$\boxed{\dot Q+\dfrac{2}{RC}Q=\dfrac{\varepsilon}{R}}$

b) A solução particular será constante:

$Q_p=X$  e  $\dot{Q}_p=0$

$\rightarrow Q_p=\dfrac{\varepsilon C}{2}$

A solução homogênea será do tipo:

$Q_h=A\cdot e^{\lambda t}$  e  $\dot{Q}_h=\lambda A\cdot e^{\lambda t}$

$\lambda A\cdot e^{\lambda t}+\dfrac{2}{RC}A\cdot e^{\lambda t}=0$

$\rightarrow \lambda=-\dfrac{2}{RC}$

$\rightarrow Q_h=A\cdot e^{-\frac{2}{RC}t}$

c) A carga será a soma da homogênea com a particular:

$Q(t)=A\cdot e^{-\frac{2}{RC}t}+\dfrac{\varepsilon C}{2}$

Como a carga inicial é zero:

$0=A+\dfrac{\varepsilon C}{2}$

$A=-\dfrac{\varepsilon C}{2}$

A carga no capacitor será:

$Q(t)=\dfrac{\varepsilon C}{2}\left(1-e^{-\frac{2}{RC}t}\right)$

A ddp será:

$\boxed{\varepsilon_c=\dfrac{\varepsilon }{2}\left(1-e^{-\frac{2}{RC}t}\right)}$

Como $\varepsilon_c+\varepsilon_R=\varepsilon$:

$\boxed{\varepsilon_R=\dfrac{\varepsilon }{2}\left(1+e^{-\frac{2}{RC}t}\right)}$

Parte B

a) Se plotarmos como as tensões se comportariam em um mesmo gráfico teremos:

Figura 07: Gráfico das tensões

b) Utilizando a aproximação para a exponencial teremos:

$e^{-\frac{2}{RC}t}\approx 1-\dfrac{2}{RC}t$

Portanto, nas ddp's do capacitor e do resistor:

$\varepsilon_c\approx \dfrac{\varepsilon}{RC}\cdot t$

e

$\varepsilon_R\approx \varepsilon-\dfrac{\varepsilon}{RC}\cdot t$

Portanto:

$a_c=\dfrac{\varepsilon}{RC}$  ,  $a_R=-\dfrac{\varepsilon}{RC}$  ,  $b_c=0$  e  $b_R=\varepsilon$

c)

$\tan{\alpha}=a_c=\dfrac{\varepsilon}{RC}$

$\boxed{C=\dfrac{\varepsilon}{R\cdot \tan{\alpha}}}$

Parte C

a) Plotando os pontos:

Figura 08: Gráfico Tensão x Tempo

b) Se aproximarmos o gráfico na região próxima a $t=0$ teremos:

Figura 09: Gráfico extrapolado

Podemos ver que o coeficiente angular da reta extrapolada do gráfico vai ser:

$a_c\approx \dfrac{3-0}{20-0}=\dfrac{\varepsilon}{RC}=\dfrac{6}{10000C}$

$\boxed{C=4mF}$

c) Organizando a equação teremos:

$\varepsilon_c=\dfrac{\varepsilon }{2}\left(1-e^{-\frac{2}{RC}t}\right)$

$\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}=1-e^{-\frac{2}{RC}t}$

$e^{-\frac{2}{RC}t}=1-\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}$

$-\dfrac{2}{RC}t=\ln{\left(1-\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}\right)}$

$\boxed{\ln{\left(1-\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}\right)}=-\dfrac{2}{RC}t}$

Perceba que essa é uma função do tipo $Y=A+BX$ com:

$Y=\ln{\left(1-\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}\right)}$  ,  $A=0$  ,  $B=-\dfrac{2}{RC}$  e  $X=t$

d) Para o cálculo da incerteza associado ao logaritmo, utilizaremos a fórmula para o caso geral de uma função:

Considere uma fução:

$f=f(x_1, x_2, x_3, ... ,x_n)$

A incerteza associada a essa função é dada por:

$(\sigma_f)^2=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left[ \left(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2(\sigma_{x_i})^2\right]$

Para a nossa função:

$f(\varepsilon, \varepsilon_c)=\ln{\left(1-\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}\right)}$  e  $\sigma_{\varepsilon_c}=\sigma_{\varepsilon}=0,05V$

Calculando as derivadas parciais:

$\dfrac{\partial f}{\partial \varepsilon_c}=\dfrac{2}{2\varepsilon_c-\varepsilon}$  e  $\dfrac{\partial f}{\partial \varepsilon}=\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon^2-2\varepsilon \varepsilon_c}$

Logo:

$(\sigma_f)^2=(\sigma_{\varepsilon})^2\left(\dfrac{4\varepsilon_c^2}{(\varepsilon^2-2\varepsilon \varepsilon_c)^2}+\dfrac{4}{(2\varepsilon_c-\varepsilon)^2}\right)$

Aplicando valores:

$\boxed{\sigma_f=0,1\sqrt{\dfrac{\varepsilon_c^2}{(36-12\varepsilon_c)^2}+\dfrac{1}{(2\varepsilon_c-6)^2}}}$

Calculando os valores, montamos a seguinte tabela:

Figura 10: Tabela logaritmo x Tempo

Plotando o gráfico temos:

Figura 11: Gráfico Logaritmo x Tempo

e) Fazendo uma regressão linear encontramos:

$A=(-0,003\pm0,005)$  e  $B=(-0,0498\pm0,0001)$

Temos que:

$B=-\dfrac{2}{RC}$

$C=-\dfrac{2}{RB}$

A incerteza da capacitância será:

$\sigma_c=2\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_R}{R^2B}\right)^2+\left(\dfrac{\sigma_B}{RB^2}\right)^2}$

Portanto:

$\boxed{C=(4,0\pm 0,2)mF}$

Perceba que a aproximação feita no item b) é uma aproximação muito boa.

Parte A

a)

$\boxed{\dot Q+\dfrac{2}{RC}Q=\dfrac{\varepsilon}{R}}$

b)

$\rightarrow Q_p=\dfrac{\varepsilon C}{2}$

$\rightarrow Q_h=A\cdot e^{-\frac{2}{RC}t}$

c)

$\boxed{\varepsilon_c=\dfrac{\varepsilon }{2}\left(1-e^{-\frac{2}{RC}t}\right)}$

 

$\boxed{\varepsilon_R=\dfrac{\varepsilon }{2}\left(1+e^{-\frac{2}{RC}t}\right)}$

Parte B

a)

b)

$a_c=\dfrac{\varepsilon}{RC}$  ,  $a_R=-\dfrac{\varepsilon}{RC}$  ,  $b_c=0$  e  $b_R=\varepsilon$

c)

$\boxed{C=\dfrac{\varepsilon}{R\cdot \tan{\alpha}}}$

Parte C

a)

b)

$\boxed{C=4mF}$

c)

$Y=\ln{\left(1-\dfrac{2\varepsilon_c}{\varepsilon}\right)}$  ,  $A=0$  ,  $B=-\dfrac{2}{RC}$  e  $X=t$

d)

e)

$\boxed{C=(4,0\pm 0,2)mF}$