Soluções Física – Semana 145

Efeito Doppler

Como sabemos, se existe velocidades relativas entre o emissor e o receptor de som, ocorrerá um percepção de frequência diferente da frequência originalmente emitida.

Pela equação do efeito doppler, temos que a frequência percebida pelo observador é dado por:

$f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{\left|V_s\right|\pm\left|V_o\right|}{\left|V_s\right|\pm\left|V_f\right|}$

Onde $V_o$ é a velocidade do observador, $V_f$ é a velocidade da fonte, e $V_s$ é a velocidade do som.

Como o professor Physicson está parado vendo o carro:

$V_o=0$

Quando o carro está se aproximando, a frequência aparente aumenta:

$f_{ap}=f_0\cdot \dfrac{V_s}{V_s-V_f}$

Quando o carro está se afastando, a frequência diminui:

$f_{af}=f_0\cdot \dfrac{V_s}{V_s+V_f}$

Fazendo a razão entre as duas frequências:

$\dfrac{f_{ap}}{f_{af}}=\dfrac{V_s+V_f}{V_s-V_f}$

Aplicando valores:

$\dfrac{28}{23}=\dfrac{340+V_f}{340-V_f}$

$\rightarrow V_f=\dfrac{100}{3}\, \dfrac{m}{s}$

Comvertendo essa velocidade para $km/h$, devendo multiplicar esse valor por $3,6$, temos que a velocidade do carro de som é:

$\boxed{V_f=120\,km/h}$

Calculando a multa, temos:

$M=\dfrac{120-60}{60}\cdot (R$ 100)$

$\boxed{M=R$200,00}$

$\boxed{M=R$200,00}$

Efeito Doppler

a) Utilizando a mesma fórmula que utilizamos na questão iniciante, e sabendo que $V_o=0$, temos:

$f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{V_s}{V_s\pm\left|V_f\right|}$

Porém, devemos ter cuidado, visto que a velocidade que deve ser usada para a fonte, é a velocidade relativa na direção da linha que une os dois corpos.

Seja $\beta$ o ângulo entre a velocidade da fonte e a linha que une os corpos.

Figura 01: Representação do sistema

A velocidade da fonte na direção da linha que une é:

$V_f=v\cdot \cos{\beta}$

Portanto a frequência percebida é dada por:

$f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{V_s}{V_s\pm v\cos{\beta}}$

Os valores máximo e mínimo são alcançados para $\beta=0$. Logo:

$f_{max}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0-v}$  e  $f_{min}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0+v}$

b) Como visto no item anterior:

$f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{V_s}{V_s\pm v\cos{\beta}}$

Basta calcular o valor de $\beta$.

Figura 02: Representação dos comprimentos

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo $ABC$:

$CB^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos{\alpha}$

$\rightarrow CB=\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cdot \cos{\alpha}}$

Aplicando a lei dos senos no triângulo $ABC$:

$\dfrac{CB}{\sin{\alpha}}=\dfrac{AB}{\sin{(90^\circ+\beta)}}=\dfrac{AB}{\cos{\beta}}$

$\rightarrow \boxed{\cos{\beta}=\dfrac{d}{\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cdot \cos{\alpha}}}\cdot \sin{\alpha}}$

Portanto, a frequência percebida em função do ângulo $\alpha$ é:

$\boxed{f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0-v\cdot \dfrac{d}{\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cdot \cos{\alpha}}}\cdot \sin{\alpha}}}$

c) A frequência máxima ocorrerá para $\beta=0$ e $\cos{\beta}=\dfrac{d}{\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cdot \cos{\alpha}}}\cdot \sin{\alpha}=1$

$1=\dfrac{2R}{\sqrt{R^2+(2R)^2-2R(2R)\cdot \cos{\alpha}}}\cdot \sin{\alpha}$

$\dfrac{2\sin{\alpha}}{\sqrt{5-4\cos{\alpha}}}=1$

$4\sin^2{\alpha}=4(1-\cos^2{\alpha})=5-4\cos{\alpha}$

$4\cos^2{\alpha}-4\cos^2{\alpha}+1=0$

$(2\cos{\alpha}-1)^2=0$

$\cos{\alpha}=\dfrac{1}{2}$

Como $\boxed{\alpha=60^\circ}$

Para $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$:

$f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0-v\cdot \dfrac{d}{\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cdot \cos{\alpha}}}\cdot \sin{\alpha}}$

$f_{perc}=100 \cdot \dfrac{340}{340-100\cdot \dfrac{2R}{\sqrt{R^2+(2R)^2-2R(2R)\cdot \cos{\dfrac{\pi}{6}}}}\cdot \sin{\dfrac{\pi}{6}}}$

$\boxed{f_{perc}\approx 131,12 Hz}$

a) 

$f_{max}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0-v}$  e  $f_{min}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0+v}$

b) 

$\boxed{f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0-v\cdot \dfrac{d}{\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cdot \cos{\alpha}}}\cdot \sin{\alpha}}}$

c)

$\boxed{\alpha=60^{\circ}}$

$\boxed{f_{perc}\approx 131,12 Hz}$

Efeito Doppler relativístico

a) Tomaremos como sentido positivo, o sentido que liga a fonte ao observador.

Seja $f_0=1/(365\cdot 24\cdot 60\cdot 60)=3\cdot 10^{-8}Hz$ a frequência com que $A$ envia um sinal (Obs: não iremos utilizar o valor numérico). $A$ está se afastando de $B$.

I) No regerencial de $A$:

Consideremos que no referencial de $A$ ele envia um sinal a cada $T_0=\dfrac{1}{f_0}$ unidades de tempo (1 ano). O tempo para $A$ enviar $n$ sinais será:

$\Delta T=nT_0=\dfrac{n}{f_0}$

$\rightarrow n=f_0\cdot \Delta T$

II) No referencial de $B$:

O comprimento de onda no referencial de $B$, após passar um tempo $T'=\dfrac{1}{f'}$ é:

$\lambda=(c+v) T'=\dfrac{c+v}{f'}$

$n$ sinais serão emitidos após um tempo $\Delta T'$:

$n\cdot \lambda=c\cdot \Delta T'$

$n\cdot \dfrac{c+v}{f'}=c\cdot \Delta T'$

$\rightarrow n=\dfrac{f'\cdot \Delta T'}{\left(1+\dfrac{v}{c}\right)}$

Igualando-se os $n$:

$f_0\cdot \Delta T=\dfrac{f'\cdot \Delta T'}{\left(1+\dfrac{v}{c}\right)}$

$\dfrac{T'}{T_0}=\dfrac{\Delta T'}{\Delta T}\cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{v}{c}}$

Pela dilatação do tempo, sabemos que:

$\Delta T'=\dfrac{\Delta T}{\gamma}=\Delta T\cdot \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$

Logo:

$\dfrac{T'}{T_0}=\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{v}{c}}$

$\rightarrow \boxed{T'=T_0\sqrt{\dfrac{c-v}{c+v}}}$

Perceba que o tempo que $B$ demora para receber um sinal de $A$ é maior que o tempo de um ano, logo $B$ pensará estar ficando mais velho.

b) Esse item resultará no mesmo resultado do item a), como desafio, tente resolvê-lo apenas no referencial do observador.

a) e b)

Nos dois casos o observador pensará estar ficando mais velho.