Escrito por Wanderson Faustino Patricio
Iniciante
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Efeito Doppler [/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Como sabemos, se existe velocidades relativas entre o emissor e o receptor de som, ocorrerá um percepção de frequência diferente da frequência originalmente emitida.
Pela equação do efeito doppler, temos que a frequência percebida pelo observador é dado por:
$$f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{\left|V_s\right|\pm\left|V_o\right|}{\left|V_s\right|\pm\left|V_f\right|}$$
Onde $$V_o$$ é a velocidade do observador, $$V_f$$ é a velocidade da fonte, e $$V_s$$ é a velocidade do som.
Como o professor Physicson está parado vendo o carro:
$$V_o=0$$
Quando o carro está se aproximando, a frequência aparente aumenta:
$$f_{ap}=f_0\cdot \dfrac{V_s}{V_s-V_f}$$
Quando o carro está se afastando, a frequência diminui:
$$f_{af}=f_0\cdot \dfrac{V_s}{V_s+V_f}$$
Fazendo a razão entre as duas frequências:
$$\dfrac{f_{ap}}{f_{af}}=\dfrac{V_s+V_f}{V_s-V_f}$$
Aplicando valores:
$$\dfrac{28}{23}=\dfrac{340+V_f}{340-V_f}$$
$$\rightarrow V_f=\dfrac{100}{3}\, \dfrac{m}{s}$$
Comvertendo essa velocidade para $$km/h$$, devendo multiplicar esse valor por $$3,6$$, temos que a velocidade do carro de som é:
$$\boxed{V_f=120\,km/h}$$
Calculando a multa, temos:
$$M=\dfrac{120-60}{60}\cdot (R$ 100)$$
$$\boxed{M=R$200,00}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\boxed{M=R$200,00}$$
[/spoiler]
Intermediário
[spoiler title=’Assunto Abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Efeito Doppler[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Utilizando a mesma fórmula que utilizamos na questão iniciante, e sabendo que $$V_o=0$$, temos:
$$f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{V_s}{V_s\pm\left|V_f\right|}$$
Porém, devemos ter cuidado, visto que a velocidade que deve ser usada para a fonte, é a velocidade relativa na direção da linha que une os dois corpos.
Seja $$\beta$$ o ângulo entre a velocidade da fonte e a linha que une os corpos.
Figura 01: Representação do sistema
A velocidade da fonte na direção da linha que une é:
$$V_f=v\cdot \cos{\beta}$$
Portanto a frequência percebida é dada por:
$$f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{V_s}{V_s\pm v\cos{\beta}}$$
Os valores máximo e mínimo são alcançados para $$\beta=0$$. Logo:
$$f_{max}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0-v}$$ e $$f_{min}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0+v}$$
b) Como visto no item anterior:
$$f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{V_s}{V_s\pm v\cos{\beta}}$$
Basta calcular o valor de $$\beta$$.
Figura 02: Representação dos comprimentos
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo $$ABC$$:
$$CB^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos{\alpha}$$
$$\rightarrow CB=\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cdot \cos{\alpha}}$$
Aplicando a lei dos senos no triângulo $$ABC$$:
$$\dfrac{CB}{\sin{\alpha}}=\dfrac{AB}{\sin{(90^\circ+\beta)}}=\dfrac{AB}{\cos{\beta}}$$
$$\rightarrow \boxed{\cos{\beta}=\dfrac{d}{\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cdot \cos{\alpha}}}\cdot \sin{\alpha}}$$
Portanto, a frequência percebida em função do ângulo $$\alpha$$ é:
$$\boxed{f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0-v\cdot \dfrac{d}{\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cdot \cos{\alpha}}}\cdot \sin{\alpha}}}$$
c) A frequência máxima ocorrerá para $$\beta=0$$ e $$\alpha>0$$.
$$\cos{\beta}=\dfrac{d}{\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cdot \cos{\alpha}}}\cdot \sin{\alpha}=1$$
$$1=\dfrac{2R}{\sqrt{R^2+(2R)^2-2R(2R)\cdot \cos{\alpha}}}\cdot \sin{\alpha}$$
$$\dfrac{2\sin{\alpha}}{\sqrt{5-4\cos{\alpha}}}=1$$
$$4\sin^2{\alpha}=4(1-\cos^2{\alpha})=5-4\cos{\alpha}$$
$$4\cos^2{\alpha}-4\cos^2{\alpha}+1=0$$
$$(2\cos{\alpha}-1)^2=0$$
$$\cos{\alpha}=\dfrac{1}{2}$$
Como $$\alpha>0$$:
$$\boxed{\alpha=60^\circ}$$
Para $$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$$:
$$f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0-v\cdot \dfrac{d}{\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cdot \cos{\alpha}}}\cdot \sin{\alpha}}$$
$$f_{perc}=100 \cdot \dfrac{340}{340-100\cdot \dfrac{2R}{\sqrt{R^2+(2R)^2-2R(2R)\cdot \cos{\dfrac{\pi}{6}}}}\cdot \sin{\dfrac{\pi}{6}}}$$
$$\boxed{f_{perc}\approx 131,12 Hz}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a)
$$f_{max}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0-v}$$ e $$f_{min}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0+v}$$
b)
$$\boxed{f_{perc}=f_0\cdot \dfrac{V_0}{V_0-v\cdot \dfrac{d}{\sqrt{R^2+d^2-2Rd\cdot \cos{\alpha}}}\cdot \sin{\alpha}}}$$
c)
$$\boxed{\alpha=60^{\circ}}$$
$$\boxed{f_{perc}\approx 131,12 Hz}$$
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Efeito Doppler relativístico[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Tomaremos como sentido positivo, o sentido que liga a fonte ao observador.
Seja $$f_0=1/(365\cdot 24\cdot 60\cdot 60)=3\cdot 10^{-8}Hz$$ a frequência com que $$A$$ envia um sinal (Obs: não iremos utilizar o valor numérico). $$A$$ está se afastando de $$B$$.
I) No regerencial de $$A$$:
Consideremos que no referencial de $$A$$ ele envia um sinal a cada $$T_0=\dfrac{1}{f_0}$$ unidades de tempo (1 ano). O tempo para $$A$$ enviar $$n$$ sinais será:
$$\Delta T=nT_0=\dfrac{n}{f_0}$$
$$\rightarrow n=f_0\cdot \Delta T$$
II) No referencial de $$B$$:
O comprimento de onda no referencial de $$B$$, após passar um tempo $$T’=\dfrac{1}{f’}$$ é:
$$\lambda=(c+v) T’=\dfrac{c+v}{f’}$$
$$n$$ sinais serão emitidos após um tempo $$\Delta T’$$:
$$n\cdot \lambda=c\cdot \Delta T’$$
$$n\cdot \dfrac{c+v}{f’}=c\cdot \Delta T’$$
$$\rightarrow n=\dfrac{f’\cdot \Delta T’}{\left(1+\dfrac{v}{c}\right)}$$
Igualando-se os $$n$$:
$$f_0\cdot \Delta T=\dfrac{f’\cdot \Delta T’}{\left(1+\dfrac{v}{c}\right)}$$
$$\dfrac{T’}{T_0}=\dfrac{\Delta T’}{\Delta T}\cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{v}{c}}$$
Pela dilatação do tempo, sabemos que:
$$\Delta T’=\dfrac{\Delta T}{\gamma}=\Delta T\cdot \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$$
Logo:
$$\dfrac{T’}{T_0}=\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{v}{c}}$$
$$\rightarrow \boxed{T’=T_0\sqrt{\dfrac{c-v}{c+v}}}$$
Perceba que o tempo que $$B$$ demora para receber um sinal de $$A$$ é maior que o tempo de um ano, logo $$B$$ pensará estar ficando mais velho.
b) Esse item resultará no mesmo resultado do item a), como desafio, tente resolvê-lo apenas no referencial do observador.
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) e b)
Nos dois casos o observador pensará estar ficando mais velho.
[/spoiler]