Soluções Física - Semana 147

Ciclos termodinâmicos

Primeiramente, temos que para uma máquina operando em um ciclo de Carnot entre temperaturas $T_f$ e $T_q$ ($T_f<T_q$), o seu rendimento será:

$\eta_{carnot}=1-\dfrac{T_f}{T_q}$

Aplicando os valores de temperatura do enunciado ( lembrando que a temperatura deve ser utilizada em Kelvin, e que portanto devemos somar $273$ a esta ) temos:

$\eta_{carnot}=1-\dfrac{27+273}{127+273}$

$\eta_{carnot}=1-\dfrac{300}{400}$

$\eta_{carnot}=0,25=25\%$

O rendimento do nosso ciclo é $40\%$ de uma máquina de Carnot, logo:

$\eta=40\%\eta_{carnot}$

$\eta=0,4\cdot 0,25$

$\eta=0,1=10\%$

Seja $\left|Q_q\right|$ o módulo do calor que é fornecido à máquina, $\left|Q_f\right|=500J$ o módulo calor que é liberado para a fonte fria, e $W$ o trabalho realizado pela máquina.

$\left|Q_q\right|=\left|Q_f\right|+W$

$\left|Q_q\right|=500+W$

Pela definção de rendimento temos:

$\eta=\dfrac{W}{\left|Q_q\right|}$

$\eta=\dfrac{W}{\left|Q_f\right|+W}$

$0,1=\dfrac{W}{500+W}$

$10W=500+W$

$\boxed{W=\dfrac{500}{9} J\approx 55,56 J}$

$\boxed{W=\dfrac{500}{9} J\approx 55,56 J}$

Ciclos termodinâmicos

Pela definição do trabalho de um gás, sabemos que:

$W=\displaystyle \lim_{\Delta V_i \rightarrow 0} \sum_i ( P_i\cdot \Delta V_i)$

Quando aplicamos essa definição analisando um gráfico $P$ x $V$, vemos que o trabalho é numericamente igual à área abaixo do gráfico.

Aplicando essa definição a cada parte do gráfico:

I) Ir do ponto $(V_2, P_1)$ até o ponto $(V_1, P_2)$:

Perceba que nesse processo o volume está diminuindo, e portanto, seu trabalho será negativo.

A área abaixo da linha que rege esse processo é a de um trapézio.

$S_1=\dfrac{(P_1+P_2)(V_2-V_1)}{2}$

O trabalho será:

$W_1=-\dfrac{(P_1+P_2)(V_2-V_1)}{2}$

II) Ir do ponto $(V_2, P_2)$ até o ponto $(V_1, P_1)$:

O volume está diminuindo nesse processo, logo, seu trabalho será negativo.

$S_2=\dfrac{(P_1+P_2)(V_2-V_1)}{2}$

O trabalho será:

$W_2=-\dfrac{(P_1+P_2)(V_2-V_1)}{2}$

III) Ir do ponto $(V_1, P_1)$ até o ponto $(V_2, P_1)$:

Como estamos trabalhando com uma expansão isobárica, seu trabalho será positivo.

A aréa abaixo do gráfico será:

$S_3=P_1(V_2-V_1)$

Logo:

$W_3=P_1(V_2-V_1)$

IV) Ir do ponto $(V_1, P_3)$ até o ponto $(V_2, P_3)$:

O volume do gás está aumentando nesse processo, portanto, o trabalho será positivo.

Da mesma maneira que III) a área será:

$S_4=P_3(V_2-V_1)$

O trabalho será:

$W_4=P_3(V_2-V_1)$

V) Ir do ponto $(V_1, P_2)$ até o ponto $(V_1, P_3)$ e do ponto $(V_2, P_3)$ até o ponto $(V_2, P_2)$:

Essas duas transformações são isovolumétricas, ou seja, não há variação no volume do gás, e portanto, não há trabalho resultante.

$W_5=W_6=0$

Para calcular o trabalho resultante no ciclo, devemos somar todos os trabalhos:

$W=W_1+W_2+W_3+W_4+W_5+W_6$

$W=\left[-\dfrac{(P_1+P_2)(V_2-V_1)}{2}\right]+\left[-\dfrac{(P_1+P_2)(V_2-V_1)}{2}\right]+P_1(V_2-V_1)+P_3(V_2-V_1)$

$W=-P_1(V_2-V_1)-P_2(V_2-V_1)+P_1(V_2-V_1)+P_3(V_2-V_1)$

$\boxed{W=(P_3-P_2)(V_2-V_1)}$

Aplicando a equação para o rendimento:

$\eta=\dfrac{W}{\left|Q_q\right|}$

$0,4=\dfrac{(P_3-P_2)(V_2-V_1)}{Q_q}$

$\boxed{Q_q=\dfrac{5(P_3-P_2)(V_2-V_1)}{2}}$

$\boxed{Q_q=\dfrac{5(P_3-P_2)(V_2-V_1)}{2}}$

Aproximações para o comportamento de um gás real

1ª Parte

a) Devemos primeiramente expressar a pressão em função do volume de maneira que a pressão fique isolada.

$(P-5)^2=16-(V-20)^2$

$(P-5)^2=(24-V)(V-16)$

Há dois casos:

I) $P\geq 5 atm$:

$P=5+\sqrt{(24-V)(V-16)}\leq 9 atm$

Portanto:

$PV=nRT$

$\left(5+\sqrt{(24-V)(V-16)}\right)\cdot V=1\cdot 0,082\cdot T$

$\boxed{T=\dfrac{\left(5+\sqrt{(24-V)(V-16)}\right)\cdot V}{0,082}}$ se $5 atm\leq P\leq 9 atm$

II) $P< 5 atm$:

$P=5-\sqrt{(24-V)(V-16)}\geq 1 atm$

Portanto:

$PV=nRT$

$\left(5-\sqrt{(24-V)(V-16)}\right)\cdot V=1\cdot 0,082\cdot T$

$\boxed{T=\dfrac{\left(5-\sqrt{(24-V)(V-16)}\right)\cdot V}{0,082}}$ se $1 atm\leq P< 5 atm$

A apareência do gráfico $T$ x $V$ será:

Figura 01: Gráfico $T$ x $V$

b) O gráfico $P$ x $V$ dessa transformação será uma circunferência de raio $4$.

O trabalho resultante será:

$W=\pi \cdot r^2=16\pi\, atm\cdot L$

$W=16\pi \cdot 10^5 Pa \cdot 10^{-3} m^3$

$\boxed{W=1600\pi \,J}$

c) O momento de inércia da roda é calculada pela expressão:

$I=\dfrac{mR^2}{2}$

$I=\dfrac{5\cdot (0,3)^2}{2}$

$I=\dfrac{9}{40} kg\cdot m^2$

Pelo teorema da energia cinética temos:

$W=\Delta K=\dfrac{I\omega^2}{2}$

$1600\pi=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{40}\omega^2$

$\boxed{\omega\approx\, 211 rad/s}$

d) Como o gás é ideal, a sua energia interna é função apenas de sua temperatura, e em um ciclo a temperatura inicial é igual a temperatura final:

$\Delta U_{ciclo}=0$

2ª Parte

a) Se o volume dos gás é muito grande, as interações entre as moléculas será muito pequena, e portanto, seu comportamento se aproximará ao de um gás ideal.

$pv=RT$  e  $pv\rightarrow A$

$\boxed{A=RT}$

b) Como $A=RT$:

$Z=1+\dfrac{B(T)}{v}+ \dfrac{C(T)}{v^2}+\dfrac{D(T)}{v^3}+...$

c) Desconsiderando os termos de ordem 3 ou maior temos:

$Z=1+\dfrac{B(T)}{v}+ \dfrac{C(T)}{v^2}$

Aplicando os valores temos:

$\begin{cases} 0,997=1+\dfrac{B}{500}+ \dfrac{C}{500^2} \\ 0,992=1+\dfrac{B}{200}+ \dfrac{C}{200^2} \end{cases}$

Resolvendo o sistema chegamos a:

$B=-\dfrac{129}{90}\, L$  e  $C=-\dfrac{100}{3} \,L^2$

Portanto:

$Z=1-\dfrac{129}{90v}-\dfrac{100}{3v^2}$

Para $v=250 L$:

$\boxed{Z=0,994}$

3ª Parte

a) Isolando a pressão, temos:

$P=\dfrac{RT}{v-b}-\dfrac{a}{v^2}$

Para o ponto de inflexão:

$\dfrac{dP}{dv}=0$  e  $\dfrac{d^2P}{dv^2}=0$

I) $\dfrac{dP}{dv}=\dfrac{2a}{v^3}-\dfrac{RT}{(v-b)^2}=0$

II) $\dfrac{d^2P}{dv^2}=\dfrac{2RT}{(v-b)^3}-\dfrac{6a}{v^4}=0$

Resolvendo o sistema, chegamos a:

$\boxed{v_c=3b}$  ,  $\boxed{T_c=\dfrac{8a}{27Rb}}$  e  $\boxed{P_c=\dfrac{a}{27b^2}}$

b) Aplicando valores:

$Z=\dfrac{\dfrac{a}{27b^2}\cdot 3b}{R\cdot \dfrac{8a}{27Rb}}$

$\boxed{Z=\dfrac{3}{8}}$

c) Manipulando um pouco a equação:

$P=\dfrac{RT}{v-b}-\dfrac{a}{v^2}$

$Pv=\dfrac{RTv}{v-b}-\dfrac{a}{v}$

$\dfrac{Pv}{RT}=\dfrac{v}{v-b}-\dfrac{a}{RTv}$

$Z=\dfrac{v}{v-b}-\dfrac{a}{RTv}$

Pela série de Taylor, sabemos que:

$f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f^n(0)\cdot \dfrac{x^n}{n!}$

Logo, seja $\dfrac{1}{v}=x$, temos:

$Z=\dfrac{1}{1-bx}-\dfrac{a}{RT}x$

No limite de $v\rightarrow \infty$ temos $x=0$. Portanto:

$\boxed{a_0=1}$

I) Calculando a primeira derivada da função:

$\dfrac{dZ}{dx}=\dfrac{b}{(1-bx)^2}-\dfrac{a}{RT}$

Para $x=0$:

$Z'(0)=b-\dfrac{a}{RT}$

Pela equação do enunciado temos:

$Z=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...$

Logo:

$Z'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...$

$Z'(0)=a_1$

Juntando as duas:

$\boxed{a_1=b-\dfrac{a}{RT}}$

II) Calculando a segunda derivada:

$Z''(x)=\dfrac{2b^2}{(1-bx)^3}$

$Z''(0)=2b^2$

Pela equação do enunciado:

$Z''(x)=2a_2+6a_3x+...$

$Z''(0)=2a_2$

Juntando as duas:

$\boxed{a_2=b^2}$

Essa sequência continuará. Podemos ver que, $\forall n \geq 2$:

$a_n=b^n$

Portanto, o nosso fator de compressibilidade será dado por:

$\boxed{Z=1+\dfrac{\left(b-\dfrac{a}{RT}\right)}{v}+\dfrac{b^2}{v^2}+\dfrac{b^3}{v^3}+...+\dfrac{b^n}{v^n}+...}$

d) Inicialmente, sabemos que:

$\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_v=\left(\dfrac{\partial S}{\partial v}\right)_T$

Pela equação de Wan de Walls temos:

$P=\dfrac{RT}{v-b}-\dfrac{a}{v^2}$

$\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_v=\dfrac{R}{v-b}$

Calculando um diferencial de energia:

$dU=TdS-Pdv$

$\left(\dfrac{\partial U}{\partial v}\right)_T=T\left(\dfrac{\partial S}{\partial v}\right)_T-P$

$\left(\dfrac{\partial U}{\partial v}\right)_T=T\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_v-P$

$\left(\dfrac{\partial U}{\partial v}\right)_T=\dfrac{RT}{v-b}-P=\dfrac{RT}{v-b}-\left(\dfrac{RT}{v-b}-\dfrac{a}{v^2}\right)$

$\left(\dfrac{\partial U}{\partial v}\right)_T=\dfrac{a}{v^2}$

Calculando a variação de energia:

$\Delta U_T=\displaystyle \int_{v_1}^{v_2} \dfrac{a}{v^2}dv$

$\boxed{\Delta U_T=a\left(\dfrac{1}{v_1}-\dfrac{1}{v_2}\right)}$

1ª Parte

a) 

$\boxed{T=\dfrac{\left(5+\sqrt{(24-V)(V-16)}\right)\cdot V}{0,082}}$ se $5 atm\leq P\leq 9 atm$

$\boxed{T=\dfrac{\left(5-\sqrt{(24-V)(V-16)}\right)\cdot V}{0,082}}$ se $1 atm\leq P< 5 atm$

b) 

$\boxed{W=1600\pi \,J}$

c)

$\boxed{\omega\approx\, 211 rad/s}$

d) 

$\Delta U_{ciclo}=0$

2ª Parte

a) 

$\boxed{A=RT}$

b)

$Z=1+\dfrac{B(T)}{v}+ \dfrac{C(T)}{v^2}+\dfrac{D(T)}{v^3}+...$

c)

$\boxed{Z=0,994}$

3ª Parte

a)

$\boxed{v_c=3b}$  ,  $\boxed{T_c=\dfrac{8a}{27Rb}}$  e  $\boxed{P_c=\dfrac{a}{27b^2}}$

b)

$\boxed{Z=\dfrac{3}{8}}$

c)

$\boxed{Z=1+\dfrac{\left(b-\dfrac{a}{RT}\right)}{v}+\dfrac{b^2}{v^2}+\dfrac{b^3}{v^3}+...+\dfrac{b^n}{v^n}+...}$

d)

$\boxed{\Delta U_T=a\left(\dfrac{1}{v_1}-\dfrac{1}{v_2}\right)}$