Escrito por Wesley Antônio
Iniciante
Leis de Kepler
Primeiro, façamos uma dedução simples para a Terceira Lei de Kepler, no caso de um corpo em movimento circular uniforme. Nesse caso, podemos igualar o módulo da força centrípeta ao da gravitacional, obtendo:
Assim, como ,
Tal resultado pode ser generalizado para órbitas quaisquer, apenas substituindo o raio pelo semieixo maior
.
Portanto, veja que o lado direito da equação sempre se mantém constante, pois estamos considerando que a massa do corpo orbitado não muda com o tempo. Então, a Terceira Lei de Kepler nos diz que
Utilizando tal resultado no nosso problema, podemos dizer que
Agora, podemos utilizar a aproximação dada no enunciado, para obter que
Intermediário
Oscilações, Energia e Termodinâmica
(a) Em um MHS, podemos escrever a energia do corpo da seguinte forma:
Pela conservação de energia, sabemos que é constante. Além disso, como
,
. Substituindo na equação da energia:
Tal equação pode ser transformada em uma equação de elipse fazendo:
Essa elipse terá um semieixo e outro
. Pelo enunciado, sabemos que a área dessa elipse deve ser conservada. Então, como a área de uma elipse de semieixo maior
e semieixo menor
se dá por
:
Finalmente, como em um M.H.S. , e
,
. Portanto, substituindo na equação anterior, chegamos a
Logo, tal quantia é um invariante adiabático.
(b) Podemos utilizar a informação encontrada no problema anterior para resolver tal problema. Para tanto, devemos, primeiro, expressar e
em função dos valores no enunciado. Para a energia, sabemos que, em
,
. Logo, como a energia se conserva,
. Agora, utilizaremos a expressão encontrada um pouco antes de
, que foi
, pois aí já estaríamos lidando com os dados desse problema. Portanto, temos que:
Assim,
(c) Nesse sistema, temos que o diagrama de fases vai ser da seguinte forma:
Onde é a distância entre as parede em um determinado momento e
é a velocidade da bolinha. A origem, isto é,
, é tomada na parede que permanece fixa. Portanto, podemos utilizar que
. Além disso, podemos considerar que
.
Agora, para incluirmos a pressão nessa equação, podemos usar que , e como estamos considerando um caso de uma bolinha com velocidade bastante elevada, temos que
. Portanto,
Agora, precisamos provar que tal relação é equivalente a . Para tanto, basta provarmos que, nesse caso,
.
Primeiro, pelo teorema da equipartição de energia, e sendo o número de graus de liberdade do sistema, sabemos que
.
Assim, pela relação de Mayer, . Portanto,
.
No nosso sistema, temos que , já que só há um graus de liberdade (o eixo
). Então,
, como queríamos demonstrar.
(a) Demonstração
(b)
(c) Demonstração
Avançado
Eletromagnetismo
(a) Pela lei de Biot-Savart, temos que
Pela figura, e usando a regra da mão direita, podemos ver que . Além disso, pela figura novamente, vemos que
. Logo,
(b) Para um loop circular, . Logo,
, conforme era esperado.
(c)
(d)
Veja que o campo magnético depende apenas do semi-latus rectum , independendo da excentricidade.
(e) Primeiro, calculemos o fluxo na elipse em função do tempo.
Logo, usando a equação de Faraday-Lenz,
(a) Demonstração
(b)
(c)
(d)
(e)