Soluções Física - Semana 151

Cinemática

a) A velocidade média do corpo é calculada por

$v_m=\dfrac{s(t'+\Delta{t})-s(t')}{\Delta{t}}=\dfrac{a(t'+\Delta{t})^3-a(t')^3}{\Delta{t}}$

$v_m=\dfrac{a(t'^3+3t'^2{\Delta{t}}+3t'{\Delta{t}}^2+{\Delta{t}}^3)-at'^3}{\Delta{t}}$

$v_m=\dfrac{a(3t'^2{\Delta{t}}+3t'{\Delta{t}}^2+{\Delta{t}}^3)}{\Delta{t}}$

$\boxed{v_m=a(3t'^2+3t'{\Delta{t}}+{\Delta{t}}^2)}$

b) No caso onde $\Delta{t}\cong0$ é muito pequeno a velocidade média representa a velocidade instantânea no instante $t'$

$\boxed{v(t')=3at'^2}$

c) Podemos encontrar a aceleração em um dado instante com um processo análogo aos itens a) e b), encontrando a aceleração média em um dado $\Delta{t}$ e fazendo $\Delta{t}\cong0$.

$a_m=\dfrac{v(t'+\Delta{t})-v(t')}{\Delta{t}}=\dfrac{3a(t'+\Delta{t})^2-3a(t')^2}{\Delta{t}}$

$a_m=\dfrac{3a(t'^2+2t'\Delta{t}+\Delta{t}^2)-3at'^2}{\Delta{t}}$

$a_m=6at'+3a{\Delta{t}}$

Portanto, a aceleração instantânea é

$\boxed{a=6at'}$

a) $v_m=a(3t'^2+3t'{\Delta{t}}+{\Delta{t}}^2)$

b) $v(t')=3at'^2$

c) $a=6at'$

Cinemática

Uma característica importante do lançamento é que a única força que atua na partícula é o peso, ou seja, a aceleração sempre é a aceleração de queda livre ($g$), portanto para encontrar as componentes tangencial e centrípeta basta decompor a aceleração total ($g$).

Figura 1: Lançamento.

Considere que em um dado instante a velociade forma um ângulo $\alpha$ com a horizontal, então

$a_{cp}=g\cos\alpha$     $a_t=g\cos\alpha$

Para encontrar o ângulo $\alpha$ podemos usar a velocidade, pois

$\tan\alpha=\dfrac{v_y}{v_x}$

A velocidade horizontal é constante e a vertical varia linearmente com o tempo

$\tan\alpha=\dfrac{v_0\sin\theta-gt}{v_0\cos\theta}$

$a_{cp}=g\cos\alpha$     $a_t=g\cos\alpha$

$\alpha=\arctan\left(\dfrac{v_0\sin\theta-gt}{v_0\cos\theta}\right)$

Gravitação/campo gravitacional

Podemos imaginar o hemisfério como um conjunto de cascas esféricas, bem finas, de diferentes raios. Considerando uma casca de raio $x$ e densidade superficial $\sigma$, calcularemos a força entre o tardígrado (de massa m) e essa casca.

Figura 2: Casca e tartígrado.

Por simetria a forçá tem a direção do eixo vertical, logo

$dF=(g\cos{\theta})dM=(g\cos{\theta})\sigma{dA}$

Onde $dA$ é um elemento de área e $g$ o campo gerado pelo tardígrado

$g=\dfrac{Gm}{x^2}$

$dF=\dfrac{Gm\sigma}{x^2}\sigma{dA}\cos{\theta}$

O termo ${dA}\cos{\theta}=dA_{proj}$ é a área projetada da casca.

$dF=\dfrac{Gm\sigma}{x^2}dA_{proj}$

Portanto a força resultante é

$F=\dfrac{Gm\sigma}{x^2}A_{proj}=\dfrac{Gm\sigma}{x^2}(\pi{x^2})$

$F=Gm\sigma\pi$

Essa força é só uma parte da força total, pois ainda temos que somar as varias contribuições das cascas. Dado que as cascas são finas, com espessura $dx$, $\sigma=\rho{dx}$, onde $\rho$ é a densidade volumétrica do hemisfério.

$dF=Gm\pi\rho{dx}$

Então a força total é

$F=Gm\pi\rho{R}$

Portanto o campo gravitacional é

$g=\dfrac{F}{m}=G\pi\rho{R}$

O campo original da terra é calculado por

$g_0=\dfrac{4{\pi}G\rho{R}}{3}$

Portanto

$g=\dfrac{3g_0}{4}$

$g=\dfrac{3g_0}{4}$